Гл. II. Основы гидравлики. Общие вопросы прикладной гидравлики

Выражение (11,44) или (11,44а) представляет собой уравнение неразры внести (сплошности) потока в его инте­гральной форме для установившегося движения. Это уравнение называется также уравнением постоянства расхода.

Согласно уравнению постоянства расхода, при установившемся движе­нии жидкости, полностью заполняющей трубопровод, через каждое его попе­речное сечение проходит в единицу времени одна и та же масса жидкости.

в различных поперечных сечениях трубопровода обратно пропорциональны площадям этих сечений.

Согласно уравнению (11,44), массовый расход жидкости через началь­ное сечение трубопровода равен ее расходу через конечное сечение трубо­провода. Таким образом, уравнение постоянства расхода является част­ным случаем закона сохранения массы и выражает материальный баланс потока.

В некоторых случаях, например при вскипании жидкости вследствие резкого понижения давления, образуется пар, что может привести к раз­рыву потока. В таких условиях, наблюдаемых иногда при работе насосов, уравнение неразрывности потока не выполняется.

Рассмотрим установившийся поток идеальной жидкости. Как уже говорилось, она не обладает вязкостью, т. е. движется без трения.

Как и при выводе дифференциальных уравнений равновесия Эйлера, выделим в потоке элементарный параллелепипед .объемом йУ = йхйуйг, ориентированный относительно осей координат (см. рис. 11-2).

Выше было показано (см. стр, 31), что проекции на оси координат сил тяжести и давления, действующих на параллелепипед, составляют: для оси х

Согласно основному принципу динамики, сумма проекций сил, дей­ствующих на движущийся элементарный объем жидкости, равна произ­ведению массы жидкости на ее ускорение.

Масса жидкости в объеме параллелепипеда

Для капельных жидкостей р_х = = р₂ = р₃ = р = const, и уравне­ние (11,44) принимает вид

Следовательно

ffiijS-, = ai₂S₂ = w_sS_s = const (11,45a)

или

Рис. II-13. К выводу уравнения по­стоянства расхода.

Qi — Qi — Qs

где Q = o)S — объемный расход жидко­сти, мУсек.

Из уравнения (11,45а) следует.

что скорости капельной жидкости

8. Дифференциальные уравнения движения Эйлера

для оси у

для оси г

(pg-f- dxdydz

dm = pdxdydz

Юг

(II >47)

Система уравнений (11,46) с учетом выражений (11,47) представляет собой дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Эйлера для установивше­гося потока.

При неустановившемся движении скорость жидкости изменяется не только при перемещении частицы потока из одной точки пространства в другую, но и с течением времени в каждой точке. Поэтому, в соответ­ствии с уравнением (11,28), составляющие ускорения в уравнении (11,46), выражаемые субстанциональными производными для неустановившихся условий, имеют вид:

йт_х дш_х

йх

йпВу

(їх

иО)_г

йх

дх

дпоу

дх

дш_г

дх

дм_х

дх

ды)у

дх

діщ_г

дх

+

ш.

ди>_х

ду

дщ

ду

да»_г

ду

■а>д +

дг

дг

дхаз_г

дг

(11,47а)

Система уравнений (11,46) с учетом выражений (11,47а) представляет собой дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Эйлера для неустановив- шегвся потока.

Как показано ниже (стр. 54 сл.), интегралом уравнений движения Эйлера для-установившегося потока является уравнение Бернулли, ши- роко используемое для решения многих технических задач.

9. Дифференциальные уравнения движения Навье—Стокса

При движении реальной (вязкой) жидкости в потоке жидкости помимо сил давления и тяжести действуют также силы трения.

Действие сил трения Т на выделенный в потоке вязкой жидкости эле- ментарный параллелепипед (рис. II-14) проявляется в возникновении на его

поверхности касательных напряжений т. Рас- смотрим первоначально относительно про- стой случай одномерного плоского потока капельной жидкости в напра- влении оси х, когда проекция скорости хю_х зависит только от расстояния г до горизон- тальной плоскости отсчета.

В этих условиях касательные напряже- ния возникают лишь на поверхностях йР верхней и нижней граней элементарного параллелепипеда, причем <1Р = йхйу. Если касательное напряжение на нижней грани параллелепипеда равно т, то на верхней оно

составляет (т + йг^ . Производная -Щ-

выражает изменение касательного напря-

жения вдоль оси 2 в точках, лежащих на нижней грани параллелепи- педа, а йг представляет собой изменение этого напряжения вдоль

всей длины йг ребра параллелепипеда.

Указанные на рис. II-14 стрелками направления сил трения, прило-' женных к параллелепипеду на его нижней и верхней гранях, обусловлены, например, тем, что более медленные вышележащие слои жидкости затор­маживают слой, в котором находится параллелепипед, а более быстрые нижележащие слои «разгоняют» его (вспомним, что на стр. 26 мы услови­лись проводить нормаль к поверхностям соприкосновения перемещаю­щихся относительно друг друга слоев в направлении уменьшения их скорости).

Тогда проекция равнодействующей сил трения на ось х гйхйу — (т + йг ) йхйу — йхйуйг

Подставив в это выражение значение касательного напряжения т по уравнению (II, 12а) {т = —у, где у — вязкость жидкости], получим

д

\ дг / ... д²сг>* ...

Р- ^ йхйуйг = ц йхйуйг

В более общем случае трехмерного потока составляющая скорости ы>_х будет изменяться не только в направлении г, но и в направлениях всех трех осей координат. Тогда проекция равнодействующей сил трения на ось х примет вид

Рис. П-14. К выводу уравнений Навье—Стокса.

/ д*0)_х д^гхю_х \ . . .

** \-~W- + ~ду*~ + -ЯГ) ^Лхйуй*