Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
КАСАТКИН.docx
Скачиваний:
181
Добавлен:
19.11.2019
Размер:
4.52 Mб
Скачать

6. Основные характеристики движения жидкостей

43

Движению цилиндра оказывает сопротивление сила внутреннего тре­ния Т, для которой, согласно уравнению (11,11) с учетом (II, 12а), спра­ведливо выражение

, =

где ау — скорость движения жидкости вдоль оси цилиндра на расстоянии г от оси; Р =

  • г1 — наружная поверхность цилиндра; ц — вязкость жидкости.

Знак минус указывает на убывание скорости с увеличением радиуса г (при г — Я величина тг 0).

При установившемся движении разность сил давления —Ръ затра­чивается на преодоление силы трения Г, и сумма проекций всех этих сил на ось потока должна быть равна нулю. Вследствие трения движение рас­сматриваемого цилиндрического слоя тормозится, значит, сила трения, приложенная к его боковой поверхности, направлена противоположно разности РхР 2 и проектируется на ось, направление которой совпа­дает с направлением движения, со знаком минус. Следовательно

Рхлггр2лг2 — ц/7 -^г~) — 0

или

(Р) — Р2) я/-2 = — \i2nrl

откуда, после сокращения и разделения переменных, получим

Р±=-Р^гЛг = -Ли,г

Переходя ко всему объему жидкости в трубе, проинтегрируем это диффе­ренциальное уравнение, учитывая, что радиус в левой части уравнения изменяется от г до г — Я, а переменная скорость в правой части — от № — Ы}г ДО IV — 0 (у стенки, где г — Я)-

|а^Г-"'г = -|Лю'-

г ХЛЗГ

Тогда

2ц/ \ 2 2 /

или

2-'2) (п-30)

Скорость имеет максимальное значение на оси трубы, где г = 0:

^тах = ^ -.В- да (11,30а)

Сопоставляя выражения (11,30) и (II,30а), находим

/?2г2 / Г2 \

тг — ^тах ^2 “ а)тах у 1 ) (И, 31)

Уравнение (11,31) представляет собой закон Стокса, выражаю­щий параболическое распределение скоростей в сечении трубопровода при ламинарном движении.

44

Гл. II. Основы гидравлики. Общие вопросы прикладной гидравлики

Для определения расхода жидкости при ламинарном движении рас- смотрим элементарное кольцевое сечение (рис. П-9, б) с внутренним радиу- сом г и внешним радиусом + йг), площадь которого равна йБ = 2пгйг. Объемный расход жидкости через это сечение составляет

  • и),2ягс1г

или с учетом уравнения (11,30)

dQ = p-^p-(R2-r2)2nrdr

Интегрируя последнее уравнение, получим общий расход жидкости через трубу:

« - Рл-1 <*’ - '’> 2Л - (2й' I -2п I - тр5*-

(11,32)

Подставляя вместо Я диаметр трубы с1 = и обозначая (рхр2) = = Ар, окончательно находим

пй* Ар

128ц;

(I1,32а)

Уравнение (11,32) или (II,32а), определяющее расход жидкости при ее ламинарном движении по круглой прямой трубе, носит название урав­нения Пуазейля.

Соотношение между средней скоростью т и максимальной скоротью датах можно получить, сопоставив значение <2 из уравнений (11,25) и (11,32):

откуда

<3 — и>Б= ттф и ■ ■ Р-г- пЯ1

о]Х/

<и-33>

Сравнивая уравнения (II,30а) и (11,33), находим

ю—^25- (11,34)

Таким образом, при ламинарном потоке в трубе средняя скорость жид­кости равна половине скорости по оси трубы.

Соответственно параболический закон распределения скоростей по сечению трубы, выражаемый уравнением (11,31), может быть представлен в виде

и*.-2ю(1--^-) (II,31 а)

Этот закон, выведенный теоретически, хорошо подтверждается эпю­рами скоростей, полученными опытным путем (рис. П-10, а).

Некоторые характеристики турбулентного потока. В промышленной практике наиболее распространено турбулентное движение жидкостей.

При турбулентном движении из-за хаотического движения частиц про­исходит выравнивание скоростей в основной массе потока и их распределе­ние по сечению трубы характеризуется кривой, отличающейся по форме от параболы на рис. П-10, а; кривая имеет значительно более широкую вершину (рис. П-10, б).

Опыт показывает, что средняя скорость но при турбулентном движении не равна половине максимальной (как для ламинарного движения), а зна­чительно больше, причем в>/а>тах = / (Ие). Например, при Ие = 104 ско­рость но яа 0,8 вушах, а при Ке = 108 величина гю «=< 0,9 а>тах.