Гл. II. Основы гидравлики. Общие вопросы прикладной гидравлики

или, подставляя выражения размерностей

_М1-'Т~² = (иг~¹у (ЛИ~^ЪУ (М1.-¹Т-¹)^и (иг~'¹)^г 1.*^

Раскрывая скобки в правой части и группируя однородные члены, находим

МЬ~^хТ~^г = ^*+“£0—3*—и+'+И-<7’—

Приравняв показатели степеней при одинаковых основных единицах в обеих частях уравнения, получим систему, аналогичную системе урав­нений (11,79):

1 = г + и |

• \ =-- у — Зг — и + л + б + / [

• 2 = — у — и — 2г ]

В данной системе из трех уравнений — шесть неизвестных, поэтому любые три из этих переменных можно выразить через три других. Выра­зим, например, у, г и I через и, г п б:

у = 2 — 2 г — и г=1-ти I — г— в — и

Подставим значения показателей степеней у, < и ( в искомую степен­ную функцию

Д р = xw¹-‘^2r-^up'^{^}-^u\l^ug^rl^sd'^-^s-^u

или

Ар — ха?х!сГ^2гю~^ирр~^и\1^и^1⁵^_э<1~Ч~^и

Сгруппировав теперь отдельные величины, находим обобщенную зави­симость для определения перепада давлений:

Ар /_ЫэР_\-« ( I V

ри>² \ |1 / V / и, /

Таким образом, искомая функция представлена, в соответствии с я-тео- ремой, в виде соотношения между четырьмя безразмерными комплексами величин, в данном случае — критериями Эйлера, Рейнольдса, Фруда и симплексом геометрического подобия. Числовые значения коэффициента х и показателей степеней — и, —г и 5 должны быть найдены опытным путем. В конечном итоге получают расчетное уравнение для определе­ния Ар.

Найденная обобщенная зависимость идентична уравнению (11,86а), если учесть, что при установившемся движении жидкости критерий гомо- хронности (Но) из него надо исключить.

Таким образом, при правильном выборе величин, входящих в исход­ную функцию, метод анализа размерностей позволяет (не имея полного математического описания процесса) получить ту же конечную, обобщен­ную зависимость, которая может быть выведена подобным преобразова­нием дифференциальных уравнений Навье—Стокса.

13. Гидравлические сопротивления в трубопроводах

Расчет гидравлического сопротивления при движении реальных жидко­стей по трубопроводам является одним из основных прикладных вопро­сов гидродинамики.

Важность определения потери напора И.„ (или потери давления Ар_П) связана с необходимостью расчета затрат энергии, требуемых для ком­пенсации этих потерь и перемещения жидкостей, например, с помощью насосов, компрессоров и т. д. Напомним, что без знания величины Н_п (или ^Ар_п) невозможно применение уравнения Бернулли для реальной жидкости [уравнение (11,52)3.

85

Потери напора в трубопроводе в общем случае обусловливаются сопро­тивлением трения и местными сопротивлениями

Сопротивление трения, называемое также сопротив­лением по длине, существует при движении реальной жидкости по всей длине трубопровода. На него оказывает влияние режим течения жидкости (ламинарный, турбулентный, степень развития турбулент­ности). Так, турбулентный поток, как отмечалось, характеризуется не только обычной, но и турбулентной вязкостью, которая зависит от ги­дродинамических условий и вызывает дополнительные потери энергии при движении жидкости.

Местные сопротивления возникают при любых измене­ниях значения скорости потока или ее направления. К их числу относятся вход потока в трубу и выход из нее жидкости, внезапные сужения и рас­ширения труб, отводы, колена, тройники, запорные и регулирующие- устройства (краны, вентили, задвижки) и др.

Таким образом, потерянный напор является суммой двух слагаемых:

hп — hjр “р йм. с (II»89)

где й_тр и h_u, с — потери напора вследствие трення и местных сопротивлений соответственно.

В случае ламинарного движения по прямой трубе потеря напора на т-рение (т. е. его потеря по длине) h_T^ может быть определена теоре­тически на основании уравнения Пуазеиля (II,32а).

Действительно, согласнд уравнению Бернулли, для горизонтального трубопровода (z_x = г₂) постоянного сечения (w_x = w.₂) напор, теряемый на трение

Pi — Рг _ _ _h Pg Pg ^тр

При подстановке Др — pgh_7P в уравнение (II,32а) и замене объемного расхода Q произведением средней скорости потока w на площадь попереч­ного сечения трубы nd²/4 получим

_Я£*2 nd*pgh_T р ^w~4~~ 128ц/

где I и d — длина и диаметр трубы; ц и р — вязкость и плотность жидкости.

Отсюда, после сокращений, находим потерянный напор:

. 32гш /

^h^~-^dT

Умножая числитель и знаменатель правой части на 2w и группируя величины, окончательно получим

, 64fi I , w* 64 I tir

^тр ~ w dp ' d ' 2g ^— Re d 2g

Таким образом, при ламинарном движении по прямой круглой трубе

64 • / до® «

b-W’-T-W <^п-⁹⁰⁾

т. е. потерянный на трение напор выражается, через скоростной напор

h_CK = w²!2g.

Величину, показывающую, во сколько раз напор, потерянный на тре­ние, отличается от скоростного напора, называют коэффициентом потерь энергии по длине, или коэффициентом сопротивления по длине, или коэффициентом сопротивления трения, и обозначают символом £_тр, а отно­шение 64/Re, входящее в эту величину, ^:— коэффициентом

гидравлического трения, или просто коэффициен­том трения, и обозначают через Я. Поэтому

Следовательно, уравнение (11,90) может быть представлено в виде

или для потери давления Ар_тр (с учетом того, что Др_тр = рgh_rp)

Уравнение (11,93) при Я, = 64/1? е хорошо согласуется с опытными дан­ными для установившегося ламинарного движения (Ие <3 2320). В этих условиях коэффициент трения практически не зависит от шероховатости стенок трубопровода.

Для каналов некруглого сечения в уравнение (11,93) вместо диаметра й подставляют эквивалентный диаметр й_а, причем

где В — коэффициент, значение которого зависит от формы поперечного сечения (для квад­ратного сечения В = 57, для кольцевого сечения В = 96 и т. д.)

Уравнение того же вида, что и уравнение (11,93), может быть исполь­зовано для определения потерь напора на трение также при турбулентном движении жидкости. Однако выражение для коэффициента трения в дан­ном случае не может быть выведено теоретически из-за сложности струк­туры турбулентного потока и невозможности решения для него урав­нений Навье—Стокса. Поэтому расчетные уравнения для определения Я при турбулентном движении получают обобщением результатов экспери­ментов методом теории подобия.

Представим обобщенное уравнение (П,85д) в степенной форме:

В результате обобщения опытных данных, полученных’при движении жидкостей в трубопроводах с гладкими стенками в пределах Не = 4000— ЮС 000, найдены следующие числовые значения коэффициента А и пока^ зателей степеней: А =0,158; т = —0,25; ^ — 1.

Следовательно, расчетное уравнение принимает вид

При подстановке в это уравнение выражения Ей = Др/рдо² (с учетом того, что Ар — pgh_тp) получим

(11,91)

и

Ьгр — ^ -д"

(11,92)

(11,93)

(11,93а)

(II,91а)

(11,94)