10. Уравнение Бернулли

55

Слагаемые левой части этого уравнения могут быть представлены как

\ ( %\ ( пи^ХЮу = Л \—ф-], ХИЗгйпиг = й |

следовательно, их сумма

■) + dl^LJ+d

2

->

где до = |до| —скорость, составляющие которой вдоль соответствующих осей равны т_ХУ

т_у и т_г.

В то же время сумма членов, стоящих в скобках в правой части запи- санного уравнения, представляет собой полный дифференциал давления.йр (при установившихся условиях давление зависит лишь от положения точки в пространство, но в каждой данной точке не меняется со временем). Значит

• §&2

(4)

Разделив обе части этого уравнения на ускорение свободного падения g и перенеся все его члены в левую часть, находим

(т)

+ + dz = О Рg

причем для несжимаемой однородной жидкости р = const.

Сумма дифференциалов может быть заменена дифференциалом суммы, следовательно

rffz + —+ ~) = 0

• PS 2g J

откуда

Рg 2g

: const (II,49)

Уравнение (11,49) для любых двух поперечных сечений 1 я 2 потока* (трубопровода) можно представить в виде

о, п„

^{г1 +} -й-⁺^-=^га+-^⁺^- ^(И’⁵⁰⁾

Уравнение (11,49) является уравнением Бернулли для идеальнойжидкости.

Величину (г Ч—называют полным гидродина­

мическим напором, или просто гидродинамическим напором.

Следовательно, согласно уравнению Бернулли, для всех поперечных сечений установившегося потока идеальной жидкости гидродинамический напор остается неизменным.

Гидродинамический напор включает три слагаемых, из которых первые

два слагаемых, г и входили в основное уравнение гидростатики, рас­смотренное выше (см. стр. 32):

* Скорости о) и давления р неодинаковы в различных точках любого поперечного сечеиия (см. рис. II-10). Поэтому, строго говоря, уравнение (11,49) относится не к сечениям в целом, а к любой паре сходственных точек в этих сечениях (например,£к точкам, лежа­щим на оси трубопровода). При сопоставлении соответствующих величин не для точек, а для целых сечений приближенно предполагают, что в уравнение (И,49) входят средние значения шири соответственно — средние значения г для обоих сечений.

Гл. II. Основы гидравлики. Общие вопросы прикладной гидравлики

г>— нивелирная высота, называемая также геометри­ческим, или высотным, напором (И._т), представляет собой удельную потенциальную энергию положения в данной точке (данном сечении);

■— напор давления (йдавл)» ^или пьезометриче-

ский напор, характеризует удельную потенциальную э н ер гию давления в данной точке (данном сечении).

Сумма ^2 + -^г)> называемая полным гидростатическим, или просто

статическим напором (Н_ст), следовательно, выражает пол­ную удельную п-о тенциальную энергию в данной точке (данном сечении),

Величины г и -—могутбыть выражены как в единицах длины, так и

в единицах удельной энергии, т. е. энергии, приходящейся на единицу веса жидкости.

Третья составляющая, -^т, также выражена в единицах длины

[ш* 1 Г л² • се/с² 1 _г ,

1. 2я ] ^— [ сек² -и ] “ ^

или после умножения и деления на единицу веса (я — в СИ или кгс *•= в системе МК.ГСС)

_[

ш² 1 Г «■* 1 Г бае "I

"27 ] “ I.^-н~] “ [ « ]

ИЛИ

Г а>^а 1 _ Г кгс-ж ~[

\_~2^ ] ~ [ кгс ]

Величину называют скоростным, или динамическим,

напором и обозначают через Л_ск. Скоростной напор характеризует удельную кинетическую энергию в данной точке (данном сечении).

Таким образом, согласно уравнению Бернулли, при установившемся движении идеальной жидкости сумма скоростного и статического напоров, равная гидродинамическому напору, не меняется при переходе от одного поперечного сечения потока к другому.

Вместе с тем из уравнения Бернулли в соответствии с энергетическим смыслом его членов следует, что при установившемся движении идеальной

жидкости сумма потенциальной ^и кинетической энер­

гии жидкости для каждого из поперечных сечений потока остается неиз­менной.

При изменении поперечного сечения трубопровода и соответственно скорости движения жидкости Происходит превращение энергии: при суже­нии трубопровода часть потенциальной энергии давления переходит в кинетическую и, наоборот, при расширении трубопровода часть кинети­ческой энергии переходит в потенциальную, но общее количество энергии остается постоянным. Отсюда следует, что для идеальной жидкости коли­чество энергии, поступающей с потоком через начальное сечение трубо­провода, равно количеству энергии, удаляющейся с потоком через конеч­ное сечение трубопровода.

Таким образом, уравнение Бернулли является част­ным случаем закона сохранения энергии и выра­жает энергетический баланс потока.