12. Основы теории подобия и анализа размерностей. Принципы моделирования п

Выразим размерности величии а, ß, v» в и 0 в единицах длины, времени и массы: ’[<xl = [ L^a'T^b'M°') [б] = [L^a'T^b<M^c>]

[ß] = [L^a'T^b*M^c'-\ [6] = [L^a*T^h'M^c'}

[у] = [£.°»7'^ь’Л1^с"]

В этих выражениях размерностей показатели степени при L, Т и М — некоторые опре­деленные числа.

Учитывая, что размерности обеих частей уравнения (11,77) одинаковы, а х — безраз­мерный коэффициент, заменим в нем все величины их размерностями

(«1 = (ßlW (8Г [6Г (11,78)

илн при подстановке конкретного выражения размерности каждой величины

1*1 т^ь'М^с1 = (L^a* Т^ь8 М^с*)^у (^^в* Т^Ь* М°*У (L^a* 7^* М^е*)^и (L^e» 7^ М^с>)°

Раскрывая скобки в правой части этого уравнения и группируя'однородные члены, получим

L^a'T^b' М^с' = ^^а1!/+⁰>^г+⁰»“+^а>⁰7^,ь=^+*зг+Ь4Н+*5Ч^с₌(/+е,г+е₄н+с₆о

Показатели степеней при одинаковых основных единицах в обеих частях уравнения должны быть равны. Поэтому

^ai = ^ai^lJ + а₃г + а,и + а&о ]

&1 = Ь_гу -f- b₃z + b_tu-\- bffi | (il,79)

С] = с_гу + с₃г + с_хи + c₆v )

В этой системе из трех уравнений имеется четыре неизвестных: у, г, и, v. Любые три из них всегда можно выразить через четвертую. Например, выразив г, и и и через у, найдем

г = Ау + В u—Cy-\-D о= Еу + F

где А, В, С, D, Е и F — определенные числовые коэффициенты, значения которых опре­деляются из системы уравнений (11,79) по значениям всех числовых коэффициентов а, Ь и с. Подставим теперь значения г, и и и в уравнение (11,77):

_а _ _xß!/yAn-i-BgC!/+DfjE!/+F

ИЛИ

а = ;^VV^?ö^Cyö^D0^E"e^F откуда, переходя к безразмерной форме, получим

_J^ = *(ß_YW)» (11,80)

В уравнении (11,80), в соответствии с я-теоремой, связь между пятью исходными вели­чинами а, ß, Y» ö и 0 представлена в виде обобщенной зависимости между двумя безраз­мерными комплексами этих величин:

ГЕ

~ y^Bö°e^F

И

щ = Ру⁴б^с0^£

Для нахождения конкретного вида уравнения (11,80) требуется опре­делить числовые значения неизвестных величин — коэффициента х и показателя степени у. Это может быть сделано путем экспериментального исследования на опытной установке (модели) и обработки результатов экспериментов в виде зависимости между безразмерными комплексами л; и л₂. В итоге получают расчетную зависимость, пригодную для целой группы подобных процессов, но в изученных пределах изменения зна­чений Л i II Л 2*

Для пользования методом анализа размерностей необходимо заранее знать, какие переменные должны входить в зависимость общего вида типа зависимости (11,75). Если при составлении такой исходной зависи­