10. Уравнение Бернулли

57

Если умножить левую и правую части уравнения (11,50) на удельный вес жидкости у = р£, то уравнение Бернулли для идеальной жидкости может быть представлено в виде

Р£^г1 + Р\ +

рге>\

= Р£2а + Ра +

ря$

(11,50а)

В уравнении (II,50а) каждый член выражает удельную энергию в дан­ной точке, отнесенную не к единице веса, а к единице объема жидкости (1 м³). Например

м-И-Ый-Нт]

В случае горизонтально расположенного трубопровода уравнение Бернулли для идеальной жидкости упрощается:

Рх

Pi

РВ

Рё

(11,51)

Проиллюстрируем применение уравнения Бернулли на примере потока идеальной жидкости, движущейся через произвольно расположенный в пространстве трубопровод переменного сечения (рис. П-15).

Пусть для точек, лежащих на оси трубопровода в поперечных сече- ниях 1—1 и 2—2, нивелирные высоты равны г_х и г₂ соответственно. Уста-

новим в каждой из этих точек две вертикальные открытые так назы- ваемые пьезометрические т р у б к ,и, у одной из которых нижний конец загнут навстречу по- току жидкости в трубопроводе.

В прямых вертикальных трубках (с незагнутыми нижними концами) жидкость поднимается на высоту, отвечающую гидростатическому дав- лению в точках их погружения, т. е. эти трубки будут измерять пьезо- метрические напоры в соответствую- щих точках.

В трубках с нижними концами, направленными навстречу потоку, уровень жидкости будет выше, чем в соседних вертикальных трубках,

так как трубки с загнутыми концами будут показывать сумму пьезометри- ческого и динамического (скоростного) напоров. Однако, согласно урав- нению (11,49), во всех трубках с загнутыми нижними концами жидкость поднимается на одну и ту же высоту относительно произвольной горизон- тальной плоскости сравнения, равную гидродинамическому напору Н (см. рис. 11-15).

Площадь поперечного сечения 2—2 трубопровода меньше сечения 1—1. Поэтому скорость жидкости ни2 при данном ее расходе, согласно уравне-

нию неразрывности потока, будет больше Соответственно -щ-

В любом поперечном сечении трубопровода скоростной напор можно измерить по разности показаний установленных здесь трубок (с загнутым и прямым нижними концами). Следовательно, эта разность должна быть больше для сечения 2—2, чем для сечения I—/, Вместе с тем из уравне­ния Бернулли следует, что высота уровня жидкости в прямой трубке в сечении 2—2 должна быть меньше соответствующей высоты в прямой трубке сечения /—1 настолько же, насколько скоростной напор в сече­нии 2—2 больше, чем в сечении 1—1.

Рис. П-15. К уравнению Бернулли для идеальной жидкости.

Гл. Н. Основы гидравлики. Общие вопросы прикладной гидравлики

Приведенный пример демонстрирует взаимный переход потенциальной энергии в кинетическую и наоборот при изменении площади сечения тру­бопровода, а также постоянство суммы этих энергий в любом поперечном сечении трубопровода.

При движении реальных жидкостей начинают действовать силы вну­треннего трения, обусловленные вязкостью жидкости и режимом ее дви­жения, а также силы трения о стенки трубы. Эти силы оказывают сопро­тивление движению жидкости. На преодоление возникающего гидрав­лического сопротивления должна расходоваться некото­рая часть энергии потока. Поэтому общее количество энергии потока по длине трубопровода будет непрерывно уменьшаться вследствие пере­хода потенциальной энергии в потерянную энергию — затра­чиваемую на трение и безвозвратно теряемую при рассеивании тепла в окружающую среду.

При этом для двух любых сечений 1—1 и 2—2 трубопровода, располо­женных по ходу движения реальной жидкости (см. рис. П-15)

^г1+-^ + -2^>²=+-^+-2|-

При движении реальной жидкости высоты ее подъема (относительно плоскости сравнения) в трубках с концами, обращенными навстречу потоку, уже не будут равны в сечениях 1—1 и 2—2, как было показано на рис. 11-15 применительно к движению идеальной жидкости. Разность высот в этих трубках, обусловленная потерями энергии на пути жидкости от сечения 1—1 до сечения 2—2, характеризует потерянный напор Н_п.

Для соблюдения баланса энергии при движении реальной жидкости в правую часть уравнения (11,50) должен быть введен член, выражающий потерянный напор. Тогда получим уравнение Бернулли для реальных жидкостей;

_0л ИЛ п №о

Потерянный напор И._П характеризует удельную (т. е. отнесен­ную к единице веса жидкости) энергию, расходуемую на преодоление гидравлического сопротивления при движении реальной жидкости.

Уравнение (11,52) может быть представлено в несколько ином виде, если умножить обе его части на р^:

Р а»?

P8^zi + Pi Ч 2— ⁼ Р£²2 Ч- РаЧ 2— + ^д^п (11,52а)

В уравнении (II,52а) величина Ар_п—потерянное давле­ние, равное

&Pn — Pghn (II,53)

Определение потерь напора или давления является практически важ­ной задачей, связанной с расчетом энергии, которая необходима для пере­мещения реальных жидкостей при помощи насосов, компрессоров и т. д. Трудность решения этой задачи обусловлена тем, что решение системы дифференциальных уравнений, описывающих движение реальной жидко­сти, в большинстве случаев оказывается невозможным.