48 Гл. II. Основы гидравлики. Общие вопросы прикладной гидравлика

6. Уравнение неразрывности (сплошности) потока

Установим общую зависимость между скоростями в потоке жидкости, для которого соблюдается условие сплошности, или неразрыв- но с т и, движения, т. е. не образуется'пустот, не заполненных жид- костью.

Выделим внутри потока элементарный параллелепипед объемом (IV = = йхйуйг, ребра которого ориентированы параллельно осям координат (рис. 11-12).

Пусть составляющая скорости потока вдоль оси х в точках, лежащих на левой грани параллелепипеда площадью й8 = йуйг, равна гю_х. Тогда,

согласно уравнению (II,25а), через эту грань в параллелепипед войдет вдоль оси х за единицу времени масса жидкости рш_хйуйг, а за про- межуток времени <2т — масса жидко- сти

М_х = рт_хйуй2йх

где р — плотность жидкости на левой грани параллелепипеда.

На противоположной (правой) грани параллелепипеда скорость и плотность жидкости могут отли- чаться от соответствующих величин на левой грани и будут равны

^и <1х^ . Тогда через правую грань параллеле­

пипеда за то же время <2т выйдет масса жидкости

м_х+ах = — <**] Лу/ШX

Приращение массы жидкости в параллелепипеде вдоль оси х: йМ_х = М_х — М_х+ах = —- ЛЫуйгАх

Если составляющие скорости вдоль осей у VI г равны т_у и а>_г соответ­ственно, то приращения массы в элементарном объеме вдоль этих осей по аналогии составят:

<1Му =—-■ <1уйх<1г<1х

йМ_г =■—& йх (1у йх

Общее накопление массы жидкости в параллелепипеде за время йх равно сумме ее приращений вдоль всех осей координат:

Вместе с тем изменение массы в полностью заполненном жидкостью объеме параллелепипеда возможно только вследствие изменения плот­ности жидкости в этом объеме. Поэтому

<Ш = йх йу &г Лх

ного уравнения неразрывности потока.

49

Приравнивая оба выражения dM, сокращая на (—dxdydz) и перенося

др

----- в левую часть уравнения, окончательно получим

Ф , d(pw_x) , d(pw_y) , д(р w_z) _п __ ₊ _ ___ + о (И'41)

Уравнение (11,41) представляет собой дифференциальное уравнение неразрывности патока для неуета- новившегося движения сжимаемой жидкости.

Уравнение (11,41) может быть записано и в несколько иной форме. Проводя дифферен- цирование произведений рw, получим

др , др , др . др , dw_x . dw_u , dw_z

w_x + w_y + ~~ w_z -{—— p + -5-г- p H з^-р = 0

дт dx dy ^y dz dx dy dz

или

1. dp , dw_x ; dw_y , dxsh

T'~1Г ⁺ ~д7 ⁺ -дГ ⁺ -дГ ^{= 0} (^Il’^41a>

где субстанциональная производная плотности (см. стр. 40).

ДТ

В установившемся потоке плотность не изменяется во времени, т. е. = 0, и уравнение (11,41) принимает вид

d(pw_x) д (pwy) d{pw_z) _ дх ^ ду^дг~

Для капельных жидкостей, которые практически несжимаемы, а также для газов в условиях изотермического потока при скоростях, значительно меньших скорости звука, р = const и, следовательно

dw_x , дшу , да

дх ду дг

в (11,43)

Уравнение (11,43) является дифференциальным у рав­нением неразрывности потока несжимаемой жидквоти.

Сумма изменений скорости вдоль осей координат в левой части урав­нения (11,43) называется дивергенцией вектора скорости и обозначается через div w. Поэтому данное уравнение можно представить как

diva>=0 (II,43а)

Для того чтобы перейти от элементарного объема ко всему объему жидкости, движущейся сплошным потоком (без разрывов и пустот) по трубопроводу переменного сечения (рис. II-13), проинтегрируем дифферен­циальное уравнение (11,42).

Если бы площадь сечения трубопровода не изменялась, то для уста­новившегося однонаправленного движения (в направлении оси х) интегри­рование уравнения (11,42) дало бы зависимость

Р w = const

где w — средняя скорость жидкости.

Если же площадь сечения S трубопровода переменна, те, интегрируя также по площади, получим

poiS = const (11,44)

Для трех различных сечений (/—/, 2—2 и 3—3) трубопровода, изобра­женного на рис. II-13, имеем

p₁ai₁5_l = p₂w₂S₂ = p₃ffii₃S₃ (11,44a)

или

M_t = M$ = M_a

где M = pa>S — массовый расход жидкости, кг/сек.