Гл. II. Основы гидравлики. Общие вопросы прикладной гидравлики

Соотношение между силами, действующими на жидкость, которая на- ходится в состоянии покоя, определяющее условия равновесия жидкости, выражается дифференциальными уравнениями равновесия Эйлера,

3. Дифференциальные уравнения равновесия Эйлера

В объеме жидкости, находящейся в покое, выделим элементарный параллелепипед объемом (IV с ребрами йх, йу и йг, расположенными парал- лельно осям координат х, у и г (рис. II-2). Сила тяжести, действующая на параллелепипед, выражается произведением его массы йт на ускорение

свободного падения т. е. равна цИт. Сила гидростатического давления на лю- бую из граней параллелепипеда равна произведению гидростатического давления р на площадь этой грани. Будем считать, что давление р является функцией всех трех координат: р — / (*, у, г). Выясне- ние вида этой функции, т, е. закона распределения гидростатического давле- ния по объему жидкости, и является на- шей задачей.

Согласно основному принципу статики, сумма проекций на оси координат всех сил, действующих на элементарный объем, находящийся в равновесии, равна нулю.

Рис. 11-2. К выводу дифференцн- ^в Противном случае происходило бы альных уравнений равновесия перемещение жидкости.

Эйлера. Рассмотрим сумму проекций сил на

ось г. Сила тяжести направлена вниз, параллельно оси г. Поэтому при выбранном положительном направ­лении оси г (см. рис, П-2) сила тяжести будет проектироваться на эту ось со знаком минус:

gdm = — gpdV = — №<1х<1у Аг

Сила гидростатического давления действует на нижнюю грайь парал­лелепипеда по нормали к ней, и ее проекция на ось г равна рйхйу. Если изменение гидростатического давления в данной точке в направлении оси г

равно —, то по всей длине ребра йг оно составит-^ йг. Тогда гидростати­ческое давление на противоположную (верхнюю) грань равно ^р -\-^йг^ и проекция силы гидростатического давления на ось г

-{р + -%Г<ь)*с<1у

Проекция равнодействующей силы давления на ось г рйхйу— (р + йхйу^ йг/1хЛу

Сумма проекций сил на ось г равна нулю, т, е.

—Р

31

Проекции сил тяжести на оси хну равны нулю» Поэтому сумма проек­ций сил на ось х

рйу йг — (р + -4^- йх\йу йг — О

откуда после раскрытия скобок и сокращения находим

др

или

Соответственно для оси у

^ йхйуйг — О (И,На)

І-0

ОХ

ИЛИ

—1^ = 0

ду

Таким образом, условия равновесия элементарного параллелепипеда выражаются системой уравнений:

дх

.РР _о

ду

др _п -м—аГ = °

(11,15)

Уравнения (11,15) представляют собой дифференциальные уравнения равновесия Эйлера.

Для получения закона распределения давления во всем объеме покоя­щейся жидкости следует проинтегрировать систему уравнений (11,15). Интегралом этих уравнений является основное уравнение гидростатики, широко используемое в инженерной практике.

4. Основное уравнение гидростатики

^;^Из уравнений (11,15) следует, что давление в покоящейся жидкости изменяется только по вертикали (вдоль оси 2, рис, П-2), оставаясь одина­ковым во всех точках любой горизонтальной плоскости, так как изменения давлений вдоль осей х и у равны нулю, В связи с тем, что в этой системе

уравнений частные производные ~ и ^ равны нулю, частная произ­водная может быть заменена на и, следовательно

Отсюда

• йр — pgdz = 0 (11,16)

Разделив левую и правую части последнего выражения на pg и пере­менив знаки, представим это уравнение в виде

с1г -] !— ёр = 0

98

Гл. П. Основы гидравлики. Общие вопросы прикладной гидравлики

Для несжимаемой однородной жидкости плотность постоянна и, сле­довательно

йг + с! ( —— ) = О

• ре )

или

откуда после интегрирования получим

р _ Р5

СОП5І

(II-17)

Для двух произвольных горизонтальных плоскостей 1 и 2 уравне­ние (11,17) выражают в форме

г₁ +

Рл

Рё.

Рі

Р§

(11,18)

у р а в н е -

Уравнение 11,17) пли (11,18) является основным нием гидростатики.

В уравнении (11,18): 2, иг₂ — высоты расположения двух точек внутри покоящейся однородной капельной жидкости над произвольно вобранной горизонтальной плоскостью отсчета (плоскостью сравнения), а р_х и р₂ — гидростатические давления в этих точках.

Рассмотрим, например, две частицы жидкости, из которых одна рас- положена в точке 1 внутри объема жидкости (рис. П-З) — на высоте г

, от произвольно выбранной плоскости

сравнения 0—0„ а другая находится в точ- ке 2 на поверхности жидкости — на вы- соте г₀ от той же плоскости. Пусть р и р₀ — давления в точках 1 и 2 соответст- венно. При этих обозначениях, согласно уравнению (11,18)

р Р£

*

1 Ро

О-

2 ■

^г0 +

-О

Р о Рё

(11,18а)

Рис. 11-3. К основному уравнению гидростатики.

ИЛИ

Ро

(11,186)

Член г в уравнении гидростатики [уравнение (11,17)], представляющий собой высоту расположения данной точки над произвольно выбранной плоскостью сравнения, называется нивелирной высотой. Она,

как и другой член этого уравнения выражается в единицах длины

или в системе МКГСС

[-£-] = _д Гі^-1 _{= [м]}

[ у ] I м²-кгс J I кгс ]

Величину называют напором давления, или пьезо­метрическим напором.

Следовательно, согласно основному уравнению гидростатики, для каждой точки покоящейся жидкости сумма нивелирной высоты и пьезо­метрического напора есть величина постоянная.

а б

Рис. П-4. Условия равновесия в сообщающихся сосудах: а <?- однородная жидкость; б разнородные (несмещивакициеся) жидкости

Принцип сообщающихся сосудов и его использование. Пусть два от­крытых сообщающихся сосуда (рис. П-4, а) заполнены жидкостью плот­ностью р. Выберем произвольно плоскость сравнения 0—0 и некоторую точку А внутри жидкости, лежащую в этой плоскости. Если считать точку А принадлежащей левому сосуду, то, согласно уравнению (П,18г), давление в данной точке

Р Р атм "Ь Р£^г0

2 А. Г. Касаткин

Если же считать точку А принадлежащей правому сосуду, то давление в ней

(г' — г" = 0, так как плоскость 0—0 проходит через точку А).

При равновесии для каждой точки давление одинаково в любом на­правлении (в противном случае происходило бы перемещение жидкости). Следовательно

. Аналогичный вывод может быть сделан для двух закрытых сообщаю­щихся сосудов, в которых давления над свободной поверхностью жид­кости одинаковы.

Таким образом, в открытых или закрытых находящихся под одинаковым давлением сообщающихся сосудах, заполненных однородной жидкостью, уровни ее располагаются на одной высоте независимо от формы и попереч­ного сечения сосудов. Этот принцип используется, в частности, для измере­ния уровня жидкости в закрытых аппаратах с помощью водомерных стекол.

Если сообщающиеся сосуды заполнены двумя несмешивающимися жидкостями, имеющими плотности р' (левый сосуд) и р" (правый сосуд), то при проведении плоскости сравнения 0—0 через границу раздела жидко­стей (рис. П-4, б) аналогично предыдущему получим

Отсюда следует, что в сообщающихся сосудах высоты уровней разно­родных жидкостей над поверхностью их раздела обратно пропорциональны плотностям этих жидкостей.

Если сосуды заполнены одной жидкостью плотностью р, но давления над уровнем жидкости в них неодинаковы и равны р' (левый сосуд) яр" (правый сосуд), то

Р 4- Р£2ц = р + Р£2о откуда разность уровней жидкости в сосудах

Р Ратм Р^о

Рапп Н~ Р«*Ь Ратм ’Р8^го

ИЛИ

^г0=2₀

Рис. П-5. К определению высо­ты гидравлического затвора в не­прерывно действующем ЖИДКОСТ­НОМ сепараторе.

Рис. 11-6. Пневматический изме­ритель уровня ЖИДКОСТИ.

Р ² о — Р ²о

(11,20)

ИЛИ

(II,20а)

р —р

/у

(11,21)

Уравнение (11,21) применяют при измерениях давлений или разностей давлений между различными точками с помощью дифференциальных и-образных манометров (см., например, рис. 11-16 и П-17).

Условия равновесия жидкостей в сообщающихся сосудах используют также для определения высоты гидравлического затвора в различных ап- паратах. Так, в непрерывно действующих сепараторах (рис. .11-5) смесь жидкостей различной плотности (эмульсия) непрерывно поступает в ап- парат 1 по центральной трубе 2 и расслаивается в нем, причем более легкая жидкость плотностью р' удаляется сверху через штуцер 3, а более тяжелая имеющая плотность р", — снизу через О-образный затвор 4. Если при- нять, что уровень границы раздела фаз поддерживается на границе ци-

линдрической и конической частей аппарата и провести через эту границу плоскость сравнения 0—0, то . необходимая высота гидравлического затвора, согласно уравне- нию (11,20), составит

*о =^го-й- (П.206)

Рис.

ІІ-7. Схема гидравличе­ского пресса.

При этом допускается, что давление над жидкостью внутри аппарата и на выходе из затвора одинаково.

Пневматическое измерение количества жидкости в резервуарах. Для контроля за

объемом жидкости в каком-либо резервуаре 1, например подземном (рис. П-6), в него помещают трубу 2, нижний конец которой доходит почти до днища резервуара. Давление над жидкостью в резервуаре равно р₀. По трубе 2 подают сжатый воздух или другой газ, постепенно повышая его давление, замеряемое манометром 3. Когда воздух преодолеет сопротивление столба жидкости в резервуаре и начнет барботировать сквозь жидкость, давление р, фиксируемое манометром, перестанет воз- растать и будет равно, согласно уравнению (П,18г)

Р~Ро + Р£2о

откуда уровень жидкости в резервуаре

• —Р — Ро

98

(11,22)

По величине.2₀ и известной площади поперечного сечения резервуара определяют объем находящейся в нем жидкости.

Гидростатические машины. На использовании основного уравнения гидростатики основана работа гидростатических машин, например гид­равлических прессов (рис. ІІ-7), применяемых в химической промышленности для прессования и брикетирования различных материа­лов. Если приложить относительно небольшое усилие к поршню /, дви­жущемуся в цилиндре меньшего диаметра и создать давление р на поршень, то, согласно закону Паскаля, такое же давление р будет при­ходиться на поршень 2 в цилиндре большего диаметра При этом сила давления на поршень 1 составит

а сила давления на поршень 2

пйі

пйі

В результате поршень в цилиндре большего диаметра передаст силу давления, во столько раз большую, чем сила, приложенная к поршню в цилиндре меньшего диаметра, во сколько поперечное сечение цилиндра 2

* 35

Гл. II. Основы гидравлики. Общие вопросы прикладной гидравлики

больше, чем цилиндра 1. Таким способом с помощью сравнительно не­больших усилий осуществляют прессование материала 3, помещенного между поршнем 2 и неподвижной плитой 4.

Давление жидкости на дно и стенки сосуда. Если жидкость помещена в сосуд любой формы, то гидростатическое давление во всех точках гори­зонтального дна сосуда одинаково, давление же на его боковые стенки возрастает с увеличением глубины погружения.

Гидростатическое давление р на уровне дна сосуда (см. рис. П-З), как и для любой точки внутри жидкости, определяется уравнением (П,18г), но для всех точек дна величина (г₀ — г) представляет собой высоту жид­кости в сосуде. Обозначив последнюю через Н, получим

Р — Ро + Р8^н (П,23)

Таким образом, сила давления Р на горизонтальное дно сосуда не зави­сит от формы сосуда и объема жидкости в нем. При данной плотности жидкости эта сила определяется лишь высотой столба жидкости Н и пло­щадью И дна сосуда:

р=,рГ

или /

Р=(Ро + Р§Н)Г (И,24)

Гидростатическое давление жидкости на вертикальную стенку сосуда изменяется по высоте. Соответственно сила давления на стенку также раз­лична по высоте сосуда. Поэтому

Р — (Ро +.Р£Й) Р (11,24а)

где Л — расстояние от нерхнего уровня жидкости до центра тяжести смоченной пло­щади /■" стенки.

В уравнении (II,24а) выражение в скобках представляет собой гидро­статическое давление в центре тяжести, смоченной площади стенки. По­этому сила давления на вертикальную стенку равна произведению ее смо­ченной площади на гидростатическое давление в центре тяжести смоченной площади стенки.

Точка приложения равнодействующей Р сил давления на стенку называется центром давления. Эта точка расположена всегда ниже центра тяжести смоченной площади. Если давление р„ передается жидкостью в одинаковой степени каждому элементу стенки, независимо от глубины его погружения, и, следовательно, равнодействующая сила этого давления приложена в центре тяжести стенки, то давление столба жидкости на стенку тем больше, чем глубже расположен соответствующий ее элемент. В результате, в частности, для вертикальной прямоугольной

2

стенки центр давления расположен на расстоянии -у Н от верхнего уровня жидкости,

Б. ГИДРОДИНАМИКА

Движущей силой при течении жидкостей является разность давлений, которая создается с помощью насосов или компрессоров либо вследствие разности уровней или плотностей жидкости.

Знание законов гидродинамики позволяет находить разность давлений, необходимую для перемещения данного количества жидкости с требуемой скоростью, а значит, и расход энергии на это перемещение, или наоборот — определять скорость и расход жидкости при известном перепаде давления.

Различают внутреннюю и внешнюю задачи гидродинамики. Внутренняя задача связана с анализом движения жидкостей внутри труб и каналов. Внешней задачей гидродинамики является изучение зако­номерностей обтекания жидкостями различных тел (при механиче­ском перемешивании, осаждении твердых частиц в жидкости и т. п.).