50 Основные законы электрич. Цепей в операторной форме записи.

Законы электрических цепей в операторной форме.

От оригиналов к изображениям:

Изображение тока равно: (1)

Здесь - операторное сопротивление цепи.

Оно может быть получено из комплексного сопротивления путем замены “jω” на “p”. Это соответствует переходу от преобразования Фурье к преобразованию Лапласа:

- закон Ома при нулевых начальных условиях.

схема замещения:

В этой операторной схеме замещения ненулевые начальные условия учитываются введением дополнительных внутренних источников ЭДС, причем источник направлен по направлению протекающего тока, а источник , учитывающий напряжение на емкости, направляется навстречу протекающему току.

Первый закон Кирхгофа в операторной форме:

2-ой закон Кирхгофа в оператор:

51 Переход от изображений к оригиналам. Формула разложения.

Переход от изображений к оригиналам осуществляется с помощью обратного преобразования Лапласа:

Найдем изображения некоторых простейших функций

1) , тогда:

2) , тогда:

3) тогда:

4) Пусть . Тогда:

52. Последовательность расчета переходных процессов операторным методом.

Функция f(t) (i(t) и (t)) – называется оригиналом

Функция F(p) – называется изображением данной функции

Метод расчета основан на замене оригиналов их изображении называются операторными. Это позволяет перейти от ДУ к алгебраическому. Переход от оригинала к изображению с помощью прямого преобразования Лапласа:

F(p) =

p = 0 + jb

Переход от изображения к оригиналу осуществляется с помощью обратного преобразования Лапласа:

F( ) =

Сумма оригиналов соответствует сумме их изображений:

Умножение оригинала на постоянное число соответствует умножению изображения на это число.

Af(t) = AF(p)

Дифференцированию оригинала соответствует умножения изображения на р минус знач. Оригинала в момент времени 0.

Интегрированию оригинала соответствует делению изображение на р

Найдем напряжение на индуктивности:

Найдем ток и напряжение в емкости:

53. Переходные функцииПереходная функция k(t) связывает искомую величину с заданной. Переходные функции k(t) бывают:

1) По напряжению.

2) По току.

3) По сопротивлению.

4) По проводимости.

Переходная функция k(t) определяется классическим или операционным методом.

Переходная функция, связывающая ток в цепи с входным напряжением, имеет размерность проводимости и называется переходной проводимостью.

Найдем переходную проводимость для следующей схемы с помощью классического метода.

1) 2) 3) => 4)

5)

6)

Переходная проводимость y(t), связывающая искомый ток с напряжением, будет равна

54. Включение цепи на импульсном напряжении.

Пусть цепь RC включается на напряжение

б)

a)

55. Расчет переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля.

Расчет переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля производится в тех случаях, когда происходит включение цепи на напряжение сложной формы.

Разбиваем кривую U(t) на равные промежутки времени Δх, тогда можно рассматривать включение цепи на напряжение U(t) как включение цепи в момент времени U(0) и затем, через промежутки времени Δх, включение на ΔU. При этом ΔU берется со знаком “+” при возрастающей кривой, и со знаком “-” – при убывающей. И тогда ток в цепи:

Для получения точного значения тока необходимо перейти в пределе от Δх к dx, а от ΔU - к , где при

Tогда - основная форма записи интеграла Дюамеля.

Всего существует 5 форм записи интеграла Дюамеля.

Последовательность расчета переходных процессов с помощью интегарал Дюамеля.

1) Определяем переходную проводимость y(t) классическим или операторным методом.

2) Находим y(t-x). Для этого в переходной проводимости заменяем t на t-x.

3) Определяем U(0).

4) Определяем . Для этого берем производную от входного напряжения U(t) по времени и переходим от t к x.

5) Подставляем все найденные величины в п.1-4 в формулу интеграла Дюамеля .