- •1 Методологические основы моделирования сложных систем
- •1.1 Системность
- •Понятия общей теории систем
- •Определение понятия системы
- •Основные свойства, обязательные для любой системы.
- •Взаимодействие и взаимозависимость системы и внешней среды.
- •Определение понятий элементов, связей, функций, внешней среды системы. Элемент
- •Внешняя среда
- •Функции системы
- •Сложность систем
- •Системный подход
- •Классификация систем
- •Развитие искусственной системы и ее жизненный цикл
- •1.2 Моделирование
- •Общая методология моделирования
- •Основные принципы моделирования:
- •Процесс моделирования
- •Анализ и синтез в моделировании
- •Примеры сложных систем Космическая система наблюдения Земли как сложная техническая система Задачи космической системы наблюдения Земли
- •Состав и структура космической системы наблюдения Земли
- •2 Построение математических моделей
- •2.1 Математическая модель, математическое моделирование – основные понятия, термины и определения
- •Цели математического моделирования
- •2.2 Общие методы построения математической модели
- •Микроподход и макроподход в исследованиях системы.
- •Формальная запись модели системы
- •Понятие вариационных принципов
- •Модульное построение моделей
- •2.3 Требования к построению модели
- •Адекватность и достоверность модели
- •Равнозначимость внешнего и внутреннего правдоподобия
- •Анализ чувствительности модели
- •Пример анализа на чувствительность экономической задачи
- •3 Математические модели состояния и структуры системы
- •3.1 Модель состояния системы Состояние системы и ее функционирование
- •Формализация процесса функционирования системы
- •3.2 Модель структуры системы Основные понятия структуры системы
- •Модель состава и структуры системы
- •Методология моделирования структуры системы
- •Виды структур
- •Формирование структуры модели с позиций структурного моделирования.
- •Построение структурных моделей
- •3.3 Модель процесса функционирования
- •Установление функциональных зависимостей
- •Неопределенность функционирования системы
- •Пути уменьшения неопределенностей
- •Основные требования к модели процесса функционирования
- •Анализ функционирования, анализ структуры технической системы
- •Функционально – физический анализ технических объектов.
- •Пример разработки моделей деятельности организации
- •Пример функционально – физического анализа технических объектов
- •Конструкция бытовой электроплитки
- •Функционально стоимостной анализ.
- •4 Этапы построения моделей
- •4.1 Постановка задачи моделирования
- •Разработка содержательной модели
- •Разработка концептуальной модели
- •Описание внешних воздействий
- •Декомпозиция системы
- •Подготовка исходных данных для математической модели
- •Содержание концептуальной модели
- •4.2 Разработка математической модели
- •Разработка функциональных соотношений
- •Выбор метода решения задачи
- •Проверка и корректировка модели
- •Анализ чувствительности модели
- •Проверка адекватности модели
- •Контроль модели
- •Корректировка модели
- •Уточнение модели проектируемого объекта
- •Реализация математической модели в виде программ для эвм
- •4.3 Практическое использование построенной модели и анализ результатов моделирования
- •Примеры построения моделей Математическая реставрация Тунгусского феномена
- •1. Сбор информации о явлении, выдвижение гипотез.
- •2. Содержательная постановка задачи исследования явления.
- •3. Математическая постановка задачи.
- •4. Анализ результатов.
- •5. Проверка адекватности модели – сравнение с натурным экспериментом.
- •6. Анализ результатов.
- •Прогноз климатических изменений
- •1. Содержательная постановка задачи
- •2. Концептуальная постановка. Построение математической модели.
- •3. Проведение вычислительного эксперимента.
- •4. Анализ результатов вычислительного эксперимента.
- •5 Виды математических моделей
- •5.1 Классификация математических моделей
- •Пример представления модели различной сложности и классификации.
- •5.2 Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели
- •Линейные и нелинейные модели
- •Обыкновенные дифференциальные модели
- •5.3 Классификация математических моделей в зависимости от параметров модели Непрерывные и дискретные модели
- •Детерминированные и неопределенные модели
- •Дискретно-детерминированная модель
- •Статические и динамические модели
- •Стационарные и нестационарные модели.
- •Формализация системы в виде автомата
- •Формализация системы в виде агрегата
- •Моделирование процесса функционирования агрегата
- •Моделирование агрегативных систем
- •Модель сопряжения элементов
- •6 Математические модели распределения ресурсов в исследовании операций
- •6.1 Моделирование операций распределения ресурсов
- •Формулировка задачи математического программирования
- •6.2 Модели линейного программирования
- •Формулировка общей задачи линейного программирования.
- •Типовые задачи линейного программирования
- •Транспортная задача.
- •Задача коммивояжера.
- •Задача о ранце.
- •Общая задача теории расписаний.
- •Примеры сведения практических задач к канонической транспортной задаче
- •6.3 Распределительные задачи линейного программирования
- •Примеры распределительных задач.
- •Распределение транспортных единиц по линиям
- •Выбор средств доставки грузов.
- •Задача о назначениях
- •Экономическая интерпретация задач линейного программирования.
- •Перевозки взаимозаменяемых продуктов
- •Перевозка неоднородного продукта на разнородном транспорте.
- •7 Математические модели физических явлений и процессов. Универсальность моделей
- •7.1 Математические модели на основе фундаментальных законов
- •Теоретический метод составления математических моделей
- •Основные фундаментальные законы механики
- •Работа, энергия, мощность
- •7.2 Уравнения движения
- •Динамика поступательного движения.
- •7.3 Уравнения состояния
- •Термодинамическая система.
- •Упругие свойства твердых тел.
- •Жидкости.
- •7.4 Универсальность моделей
- •Модели на основе аналогий
- •Типовые математические модели элементов и подсистем
- •Модель колебательного процесса
- •Модель консервативной системы.
- •Электрическая подсистема.
- •Модели элементов гидравлических систем
- •Модели элементов пневматических систем
- •8 Моделирование производственных процессов
- •8.1 Модели систем массового обслуживания
- •Основные элементы систем массового обслуживания.
- •Характеристики потока
- •Классификация смо
- •Оценка эффективности смо
- •Аналитические и статистические модели
- •8.2 Модели производственных процессов
- •Дискретный производственный процесс
- •Непрерывный производственный процесс
- •Агрегатное представление производственного процесса
- •Имитационное моделирование процессов функционирования
- •Формализация основных операций производственного процесса Формализованная схема дискретного производственного процесса.
- •Формализация отклонения течения производственного процесса от нормального
- •Моделирование комплексного процесса обработки, сборки и управления при поточном производстве
- •Формализованная схема непрерывного производственного процесса.
- •9 Синтез модели (проекта) системы
- •9.1 Проектирование системы как процесс создания (синтеза) ее модели
- •9.2 Методология проектирования
- •Типовые проектные процедуры формирования облика системы
- •9.3 Эффективность системы Понятие эффективности системы
- •Формирование модели цели системы
- •Выбор критериев и показателей эффективности
- •Основные принципы выбора критериев эффективности:
- •Проблемы многокритериальности
- •9.4 Технология проектирования
- •9.5 Принятие решений в проектировании
- •Выбор в условиях неопределенности
- •Моделирование принятия решения
- •Прогнозирование в принятии решений
- •9.6 Анализ инвестиционной привлекательности системы Основные типы инвестиций.
- •Основные экономические концепции инвестиционного анализа.
- •Состав работ при инвестиционном проектировании
- •Конкурентоспособность проектируемой системы Оценка потенциальной емкости рынка и потенциального объема продаж
- •Оценка конкурентоспособности
- •Методы оценки эффективности инвестиций
- •Метод определения чистой текущей стоимости.
- •Метод расчета рентабельности инвестиций
- •Метод расчета внутренней нормы прибыли
- •Расчет периода окупаемости инвестиций
- •Маркетинг и управление проектом
- •Задачи управления проектами
- •9.7 Особенности синтеза модели (проекта) технических систем Этапы проектирования
- •Особенности проектирования адаптивных систем
- •Моделирование функционирования технической системы Особенности построения моделей при проектировании
- •Формирование технического облика системы
- •Формирование структуры системы
- •Выбор основных проектных параметров системы
- •Формирование множества вариантов системы
- •10 Информационное обеспечение синтеза системы
- •10.1 Основные задачи и типы информационных систем Общие свойства информационных систем
- •Файл-серверные информационные системы
- •Клиент-серверные информационные системы
- •Архитектура Интернет/Интранет
- •Хранилища данных и системы оперативной аналитической обработки данных
- •10.2 Особенности проектирования информационных систем
- •Схемы разработки проекта
- •1. Предпроектные исследования
- •2 Постановка задачи
- •3 Проектирование системы
- •Архитектура программного обеспечения
- •Подсистема администрирования.
- •Техническая архитектура
- •Организационное обеспечение системы
- •4 Реализация и внедрение системы
- •10.3 Концепции автоматизации проектирования
- •История развития сапр
- •Классификация сапр
- •Стратегическое развитие сапр Современное состояние сапр
- •Направления разработки проектной составляющей сапр
- •Разновидности сапр
- •Математическое и информационное обеспечение сапр
- •11 Моделирование процесса управления
- •11.1 Основные определения
- •Формальная запись системы с управлением
- •11.2 Модели систем автоматического управления
- •Устойчивость движения систем
- •Определение программного движения и управление движением
- •11.3 Модели автоматизированных систем управления
- •Модели автоматизированных систем управления производственными процессами
- •Модели автоматизированных систем управления предприятием
Динамика поступательного движения.
Основной закон поступательного движения: производная по времени от количества движения К материальной точки или системы точек относительно неподвижной (инерциальной) системы отсчета равна главному вектору всех сил, приложенных к системе: dK/dt = F, или mwс = F, где wс – ускорение центра инерции системы. Кi = mi vi
В прямоугольных декартовых координатах уравнение движения имеет вид:
dKx/dt = Fх, dKy/dt = Fy, dKz/dt = Fz. mi = Fiх, mi = Fiу, mi = Fiz.
m dVx/dt = Fх, m dVy/dt = Fy
П ростейшие случаи поступательного движения твердого тела.
а) Движение по инерции (F = 0) – равномерно поступательное движение (с постоянной скоростью):
mv = const, а = 0. v = const, S = vt.
б) Движение под действием постоянной силы – равномерно ускоренное движение (с постоянным ускорением):
(mv) = F = const, mv = Ft + mv0, где mv - количество движения тела в начальный момент времени t = 0.
Время, за которое происходит изменение скорости из состояния покоя t=V/a
Из состояния покоя изменение скорости к моменту t: V=at Тогда S=vt/2 = at2/2
в) Неравномерно ускоренное движение
dS=Vdt S=
Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v0:
hmax = v02/2g.
Р абота = Сила х Перемещение.
При F = const (в случае постоянной силы в процессе перемещения) A = F s, в случае переменной силы – интеграл от силы по перемещению A = .
Если тело движется в направлении действия силы тяжести, то над телом совершается работа A = mg h.
Чтобы поднять тело (увеличить расстояние от центра Земли), над ним следует совершить работу. Работа, совершаемая силой F при движении против силы тяжести (подъеме тела) на высоту h не зависит от пути – зависит только от того, насколько тело может опуститься до заданного уровня. Эта работа запасается в виде потенциальной энергии тела (энергии положения) A =Wп = mgh, равной работе, затраченной на подъем тела.
Это не полная потенциальная энергия – только приращение энергии при подъеме тела на высоту (начало отсчета выбирается произвольно). С учетом изменения гравитационного поля по высоте Wп = m .
Потенциальной энергией называется энергия, зависящая только от взаимного расположения материальных точек (или тел). Во всех физических явлениях важна не сама потенциальная энергия, а ее изменение, которым определяется совершаемая работа. Уровень отсчета изменений заранее оговаривается.
П ри подъеме на высоту накопилась потенциальная энергия Wп, при падении с этой высоты эта потенциальная энергия превратилась в кинетическую Wк. Wп = Wк = mgh = mv2/2.
Тело брошено горизонтально с начальной скоростью v0 – комбинация двух движений взаимно перпендикулярных друг другу: горизонтального (равномерного прямолинейного) и вертикального (свободного падения).
Координаты каждой точки траектории:
- перемещение тела в горизонтальном направлении x = v0 t;
- перемещение тела в вертикальном направлении (равномерно ускоренное движение с ускорением g) y = gt2/2.
Из этих уравнений движения: t = x / v0 , y = gx2 / 2v0 – парабола.
Тело, брошено под углом к горизонту.
Как и в случае горизонтально брошенного тела, тело движется, в результате комбинации двух движений: равномерного прямолинейного движения под углом к горизонту и свободного падения в вертикальном направлении (под действием только силы тяжести – без реакции опоры).
В двумерной постановке тело, брошенное под углом к горизонту, рассматривается как материальная точка, движущаяся под действием лишь одной силы - постоянной силы его веса Р, направленной вертикально вниз. Начало координат – в точке приложения силы, обеспечившей начальную скорость полета.
Тело массы m, брошенное под углом к горизонту, движется под действием постоянной силы веса Р = Fт, направленной вертикально вниз Р = mg.
Уравнения движения можно представить как в векторной, так и в координатной форме.
Для произвольной точки М (х,у) траектории тела:
mv = Р t + mv0, или v = gt + v0.
Проецируя векторные соотношения на оси координат, получим уравнения движения в координатной форме.
m dvx /dt = 0, vx = dx/dt,
m dvy /dt = - mg, vy = dy/dt
Необходимо найти зависимости x(t), y(t), vx(t), vy(t) из решения полученной системы дифференциальных уравнений при начальных условиях:
x(0) = x0, y (0) = y0, vx (0) = v0 cos Θ 0, vy (0) = v0 sin Θ 0.
Сопротивление воздуха
Cила сопротивления воздуха Fа/д (полная аэродинамическая сила) направлена противоположно вектору скорости тела прямо пропорциональна величине скоростного потока q и характерной площади тела S:
Fа/д = - CrqS, q = ρv2/2,
где Cr - коэффициент сопротивления, зависящий от свойств среды и тела, скорости потока, ρ [кг/м3] – плотность воздуха, зависит от высоты.
Коэффициент сопротивления определяется опытным путем, и для приближенных расчетов для тела в форме шара может быть принят независимым от скорости потока и равным 0,25 (плюс – минус 0,05 – в зависимости от скорости).
Тогда система уравнений запишется в виде:
dvx /dt = Cr qS cos Θ / m, vx = dx/dt,
dvy /dt = Cr qS sin Θ / m - g, vy = dy/dt
ρ = ρ (y), α = arctg vx / vy, q = ρv2/2
при начальных условиях:
x (0) = x0, y (0) = y0,
vx (0) = v0 cos Θ 0, vy (0) = v0 sin Θ 0.
Зависимость ρ = ρ (y) может быть задана в табличном или в аналитическом виде.
Задача не имеет аналитического решения и решается численным интегрированием. Определяется влияние шага интегрирования на точность решения задачи.
Изменение с высотой величины ускорения силы тяжести Земли
Ускорение свободного падения одинаково для всех тел и, также как и вес, зависит от географической широты и высоты над уровнем моря.
Стандартное (нормальное) значение ускорения свободного падения на уровне моря составляет g0 = 9,81 м/сек2. Для определения ускорения при удалении от поверхности Земли на высоту h используется формула g = g0[R0/(R0 + h)]2, R0 = 6370 км - радиус Земли. На географических полюсах (φ = 900) Fц = 0 и вес тела равен силе притяжения его к Земле. Вследствие того, что центростремительная сила зависит от широты, вес тела максимален на полюсах и минимален на экваторе, различие не превышает 0,55%.
Величина выталкивающей силы (закон Архимеда)
На тело действует выталкивающая сила воды в соответствии с законом Архимеда.
По закону Архимеда выталкивающая сила равна Fарх = g(y)Vρ0(y). Здесь Vρ0(y) – масса вытесненного воздуха, V – объем тела.
Величины присоединенной массы
Присоединенная масса может быть определена по формуле: m = 0,5 Vρ0.
Изменения плотности атмосферы с высотой
Гипотеза о постоянстве плотности атмосферы (ρ0 = 1,225 кг/м3) с высотой полета изменяется ρ = ρ (h), где h – высота над уровнем моря [м]: ρ = ρ0- 0, 00014h.
Кривизны Земли
Для учета кривизны Земли необходимо строить новую математическую модель - начало системы координат помещается в центр Земли. В этом случае сила притяжения направлена в начало координат (а не перпендикулярно оси координат), и тип кривой полета становится другим (эллипс, а не парабола).
Движение тела переменной массы.
Дифференциальное уравнение поступательного движения твердого тела, масса которого зависит от времени, имеет вид
(mv) = F + v1 , где F – главный вектор всех сил, действующих на тело, v1 – скорость присоединяющейся массы до присоединения (если dm/dt > 0) или скорость отделяющейся массы после отделения (если dm/dt < 0).
Ускорение w тела переменной массы w = 1/m(F + Fp), где Fp = (v1 – v)dm/dt = udm/dt – реактивная сила, равная произведению производной по времени от массы тела на относительную скорость u = v1 – v присоединяющейся или отделяющейся массы.
Пример. Движение ракеты в условиях отсутствия внешнего силового воздействия.
Реактивная сила, создаваемая двигателем, - сила тяги ракеты: Fp = u dm/dt, где dm/dt - скорость уменьшения массы ракеты за счет выгорания топлива.
Уравнение движения ракеты: m dv/dt = u dm/dt,
где v и m - скорость и масса ракеты в произвольный момент времени t, u - относительная скорость отделяющейся массы.
Векторы dv/dt и u направлены в противоположные стороны, потому m dv/dt = - u dm/dt, откуда при u = const следует уравнение Циолковского: v = v0 + ulnm0/m, где v0 и m0 - начальные значения скорости и массы ракеты (при t =0).