Формальная запись модели системы

Формализация задачи моделирования предполагает установление формальных правил, которые отражают связи между причинами и следствиями, и зависят от знания исследуемого объекта, цели исследования, вида создаваемой модели.

Формальная запись модели системы определяется формальным определением системы и модели системы. Но поскольку таких формальных определений нет, то не существует четкого определения формальной записи модели системы. Сложились определенные направления формализации, более или менее применимые к конкретным типам систем.

В терминах теоретико-множественного представления система может формально рассматриваться как некоторое абстрактное множество элементов А.

Элементы системы представляются как элементы отображающего ее множества: а₁, а₂, . . ., а_n. Отображение характеристического свойства элемента - а_i: f (а_i).

Каждому элементу а множества А ставится в соответствие вполне определенный элемент b другого множества B, т.е. в виде отображения b (a) или

A → B : b (a) B, a  A.

Множество – совокупность элементов, выделенных по определенному признаку.

Отображение – закон, по которому каждому элементу некоторого заданного множества A ставится в соответствие вполне определенный элемент другого заданного множества B. Такое соотношение между элементами a A и b B записывается в виде b  =  f (a), или b  =  fa, или b =  b (a). Пишут также f: A → B и говорят, что отображение f действует из A в B, или отображение множества A во множество B. Множество A называется областью определения отображения, а множество {b = f (a), a ∈A} ∈B - множеством значений отображения. Логически понятие "отображение" совпадает с понятиями функция, оператор, преобразование.

Оператором F из множества A во множество B называется правило, согласно которому каждому элементу a из некоторого множества A соответствует однозначно определенный элемент F (a) ∈B. Операторные схемы – пронумерованная последовательность действий.

С помощью этих понятий строится формальная запись математические модели системы.

Величина системы, отображаемой некоторым множеством Э, может быть представлена через:

- полный перечень отображений всех входящих в систему элементов: Э = е₁, е₂, . . . е_n,

- характеристический признак, определяющий принадлежность элемента множеству Э, отображающего систему: Э = е_i / f (е_i), где i = 1,. .n,

- полный перечень входящих в систему подсистем: Э = Э ₁, Э ₂, . . . , Э_m.

Формальным отображением связей системы являются отношения. Представления об отношениях универсальны, они пригодны для описания любого вида связей (материальных, энергетических, информационных, социальных).

В теоретико-множественной постановке отношения только устанавливают существования связей, но не определяют их характера. Отношения принадлежности  и включения  формируют представление о величине и ресурсах системы. Они определяют, принадлежит  или не принадлежит  элемент множеству Э. входит  или не входит  элемент е_i (подсистема) в множество Э (систему).

Элементарной ячейкой, в которой реализуется представление об организации системы, является упорядоченная пара. Два элемента е₁ и е₂, связанные некоторым отношением , рассматриваются как элементарная организация – упорядоченная пара, характеризующаяся величиной и структурой. Упорядоченная пара записывается так:  е₁; е₂  или е₁  е₂, при этом элемент е₁ называется первой координатой упорядоченной пары, а элемент е₂ – ее второй координатой. Упорядоченная пара полностью определяется (как по величине, так и по структуре) ее элементами е₁, е₂ и отношением .

Символьная запись системы. Будем обозначать элементы через е, а всю их рассматриваемую возможную совокупность – через {Э}. Принадлежность элемента совокупности – е ∈{Э}.

s₁₂

s₂₁

Применим кортежную^* запись:

 : {{Э}, {S}, F},

где  - система, {Э} – совокупность элементов в ней, {S} – совокупность связей, F – функции системы (интегративные функции системы в целом, состоящей из совокупности элементов).

Разнородность элементов сложной системы: {Э}: {е₁₁, . . . , е_1R}. Аналогично, разнородность связей: { S }: { S ₁₁, . . . , S _1R}.

Например, символьная запись автоматизированной системы с определяющей ролью элементов двух типов – в виде технических устройств и в виде действий человека:

^А: {{Э^Т}, {Э^Ч}, {Э⁰}, {S}, F},

где – Э^Т технические устройства (например, ЭВМ), Э^Ч - решения человека, Э⁰ - остальные элементы. В совокупности {S} в этом случае могут быть выделены связи между человеком и техникой {S^Т-Ч}.

Элемент может быть помещен в систему, исключен из системы, могут быть изменены его связи – это относится к изменению структуры системы.

Задание математических соотношений

В самом общем виде модель может быть представлена в виде схемы:

Здесь:

X - вектор входных переменных;

Y - вектор выходных переменных;

F - оператор модели, обеспечивающий преобразование входных переменных в выходные в соответствие с задачей, решаемой системой.

Алгоритмы – совокупность операторов, задаваемая с помощью конечной системы правил.

Совокупность правил, образующих алгоритм, должна обладать следующими свойствами:

- полнота: в процессе решения задачи не может возникнуть ситуация, для которой отсутствует указание относительно дальнейших действий;

- однозначность: каждое правило, образующее алгоритм, можно понимать лишь единственным образом;

- непротиворечивость: предписания алгоритму не должны противоречить или взаимоисключать друг друга;

- массовость: возможность использования алгоритма на всем множестве возможных численных значений исходных величин;

- результативность: способность для любых допустимых исходных величин получать результат за конечное число шагов.

Примеры алгоритмов: алгоритмы функционирования (совокупность предписаний, ведущих к выполнению какого либо процесса в системе), алгоритмы управления (совокупность предписаний, определяющих характер воздействия органа управления на исполнительные органы для выполнения ими заданного алгоритма функционирования), алгоритмы контроля, информационно-поисковые и др.

Возможный способ записи алгоритмов - с помощью операторных схем, содержащих пронумерованную последовательность операторов, каждый из которых отображает элементарные операции (группу операций).