Работа, энергия, мощность

Силы служат причиной либо ускорения тела (динамическое действие), либо изменения его формы (статическое действие).

Если сила перемещает тело на некоторое расстояние, то она совершает над телом работу.

Работа = Сила х Перемещение.

При F = const (в случае постоянной силы в процессе перемещения) A = F s, в случае переменной силы – интеграл от силы по перемещению A = .

Мощность – отношение произведенной работы на время, в течение которой она произведена:

Мощность = Работа / Время.

Мгновенная мощность – производная работы по времени: Р = dA/dt. Поскольку dA = Fds (сила на перемещение), то Р = Fds/dt = Fv. Мгновенная мощность равна произведению мгновенной силы на мгновенную скорость.

Энергия – способность тела совершать работу, единая мера различных форм движения. Количественные характеристики зависят от вида энергии (механическая, внутренняя, химическая, ядерная, электромагнитная и др.).

Два способа передачи движения и соответствующей ему энергии от одного тела к другому – в форме работы и в форме теплоты (путем теплообмена). Для микрочастиц (атомы, электроны) эти понятия неприменимы.

Работа против силы тяжести.

Если тело движется в направлении действия силы тяжести, то над телом совершается работа A = G h или A_т = mg h.

Чтобы поднять тело (увеличить расстояние от центра Земли), над ним следует совершить работу. Работа, совершаемая силой F при движении против силы тяжести (подъеме тела) на высоту h не зависит от пути – зависит только от того, насколько тело может опуститься до заданного уровня. Эта работа запасается в виде потенциальной энергии тела (энергии положения) A =W_п = mgh, равной работе, затраченной на подъем тела.

Это не полная потенциальная энергия – только приращение энергии при подъеме тела на высоту (начало отсчета выбирается произвольно). С учетом изменения гравитационного поля по высоте W_п = m .

Потенциальной энергией называется энергия, зависящая только от взаимного расположения материальных точек (или тел).

Силы, действующие на материальную точку (тело), называются потенциальными, если работа этих сил при перемещении точки (тела) зависит только от начального и конечного положения точки (тела) в пространстве и не зависит от пути перемещения.

Во всех физических явлениях важна не сама потенциальная энергия, а ее изменение, которым определяется совершаемая работа. Уровень отсчета изменений заранее оговаривается.

Потенциальная энергия включает энергию положения и энергию упругой деформации.

Потенциальной энергией может обладать не только система взаимодействующих сил, но и отдельно взятое упруго деформируемое тело (сжатая пружина, растянутый стержень). В этом случае потенциальная энергия зависит от взаимного расположения отдельных частей тела (витков пружины).

Потенциальной энергией может обладать не только система взаимодействующих сил, но и отдельно взятое упруго деформируемое тело (сжатая пружина, растянутый стержень). В этом случае потенциальная энергия зависит от взаимного расположения отдельных частей тела (витков пружины).

Кинетическая энергия тела является мерой его механического движения и измеряется той работой, которую может совершить тело при торможении до полной остановки.

Из состояния покоя изменение скорости и пути к моменту t: V=at, S=Vt/2=at²/2.

При торможении на тело действует сила, направленная против его движения. До полной остановки тело под действием силы F совершит работу А: А = Fs = F v²/2a = mv²/2.

Кинетическая энергия тела К = mv²/2

При подъеме на высоту накопилась потенциальная энергия W_п, при падении с этой высоты эта потенциальная энергия превратилась в кинетическую W_к. W_п = W_к = mgh = mv²/2.

Пример: определение скорости с помощью маятника-груза.

1. Формулировка содержательной модели

О пределить скорость пули. Задача решается с помощью маятника-груза, подвешенного на легком жестком и свободно вращающемся стержне. Исходные данные – в соответствии с рисунком.

2. Формулировка концептуальной модели

Пуля, застрявшая в грузе, сообщит системе "пуля-груз" свою кинетическую энергию, которая в момент наибольшего отклонения стержня от вертикали полностью перейдет в потенциальную энергию системы. В основе решения задачи – закон сохранения энергии. Не учитываются потери энергии на разогрев пули и груза, на преодоление сопротивления воздуха, разгон стержня и т.д.

3. Разработка математической модели.

Эта трансформация описывается цепочкой равенств, из которых определяется искомая скорость v.

(M + m)V²/2 = (M + m) gl (1 – cosα).

4. Исследования модели и решение задачи.

Процессы, происходящие при проникновении пули в груз, уже не являются чисто механическими. Примененный закон дает только нижнюю границу оценки – сохраняется полная, а не механическая энергия системы – для правильного решения задачи надо воспользоваться законом сохранения импульса.

Работа, затрачиваемая на ускорение.

Если под действием постоянной силы F_уск тело равномерно ускоренно перемещается на расстояние s, то над ним совершается работа A_уск = F_уск s = mas.

Если ускорение сообщается телу, находящемуся в состоянии покоя, совершаемая над телом работа запасается в виде кинетической энергии W_к = mv²/2.

Кинетическая энергия тела К = mv²/2 – в случае поступательного движения тела со скоростью v.

В случае вращения под действием момента силы закрепленное на оси твердое тело приобретает угловое ускорение.

Полный момент М = = . Так как Fr = m a r = m ∆v/∆t r = m r ∆/∆t r = mr²a, то М = a ∆m_i = М = I a. a - угловое ускорение, одинаковое у всех элементов массы тела. Или I = М / a.

Момент инерции тела I зависит от распределения массы тела относительно оси вращения.

Момент инерции тела относительно оси – мера инертности тела во вращательном движении вокруг этой оси, и равна сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний относительно той же оси. Зависит только от формы тела и расположения частиц в нем.

Поскольку работа равна силе на перемещение, то в случае вращательного движения А =М, где М – момент силы F,  - угловое перемещение тела.

Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то его кинетическая энергия К = Jw²/2, где J – момент инерции тела, w - угловая скорость.

W_вр – энергия вращательного движения (величина тангенциального ускорения – силы Кориолиса, если тело движется по радиусу во вращающейся системе отсчета). Перемещение тела в радиальном направлении r = vt, где v – скорость по радиусу. Точка за это время пройдет по пути окружности s = rωt = vωt² = at²/2, где ω – угловая скорость вращающейся системы.

Работа против сил трения.

Движущееся тело теряет энергию из-за наличия трения, которое действует на поверхности соприкосновения тел и и затрудняет их перемещение относительно друг друга.

С ила трения направлена вдоль поверхности соприкосновения в сторону, противоположную движению F_тр = μF_н, где μ – коэффициент трения, F_н – нормальная сила, которая прижимает тело к опоре (не зависит от площади соприкосновения тел).

μ = tgα (при каком угле наклона тело начинает двигаться).

Сила трения равна скатывающей силе F_тр = F_с.

Виды трения: покоя (μ₀), скольжения (μ_ск< μ₀), качения (μ_к<< μ₀).

Если тело движется с постоянной скоростью равномерно против сил трения, то над ним совершается работа A_тр = F_тр s = μF_н s.

Работа против сил трения превращается в тепловую энергию.

Работа, затрачиваемая на упругую деформацию тела.

Согласно законам Ньютона все изменения состояния движения вызываются силами. Силы служат причиной либо ускорения тела (динамическое действие), либо изменения его формы (статическое действие).

Внешние силы изменяют форму тела – деформируют его вследствие относительного смещения элементов (молекул). Деформации, исчезающие с приращением действия силы – упругие деформации, тело возвращается к исходной форме. В пределах упругости вещества сила и деформация пропорциональны друг другу.

В этом случае справедлив закон Гука: действующей на тело (пружину) силе противодействует упругая сила F = - cx.

Коэффициент пропорциональности равен коэффициенту упругости (жесткость).

Упругость означает существование однозначной монотонно возрастающей функции, связывающей напряжение  = F/S (S - площадь поперечного сечения) и деформацию ε = x/l (x – относительное перемещение концов, l – длина образца):  = Е ε, Е – модуль упругости.

Пример изменения формы тела – изменение длины пружины. Изменение формы тела (деформация) вызывается относительным смещением элементов (молекул). Деформации, исчезающие с прекращением действия силы – упругие деформации. В пределах упругости вещества силы и деформации пропорциональны друг другу. В этом случае справедлив закон Гука.

Потенциальная энергия включает энергию положения и энергию упругой деформации.

Действующей на тело (пружину) силе противодействует упругая сила F = - сs, где с – жесткость пружины (с = F / s).

Если пружина растягивается на длину s, то действующая на пружину сила возрастет пропорционально s от 0 до F_макс. Среднее значение силы равно 1/2 F_макс.

Работа, затрачиваемая на деформацию пружины A = F/2 s, но F = -с s, тогда А = cs²/2, где с - жесткость тела или пружины. Эта работа запасается в виде потенциальной энергии упругой деформации (растянутой пружины): W_п = cs²/2.

Закон Гука является примером линейной зависимости перемещения от растягивающей силы F = - сx. Нелинейными упругими свойствами обладают, например, высокоэластичные резиновые шнуры – ели такой шнур растянуть в десять раз (ε = 0,9), а затем отпустить, он восстановит свою длину. Если длинные металлические проволоки подвергать малым деформациям (ε = 0,001), нелинейность не обнаруживается. При растяжении металлического стержня по мере возрастания растягивающего напряжения  деформация ε сначала растет по линейному закону. Это означает, что при таких ε первый член разложения функции  = f (ε) (полагая ее аналитической) в степенной ряд  = ε ∂f /∂ε + ½! ε²∂²f /∂ε² + ... значительно превосходит все остальные. Тогда  = Еε (Е – модуль упругости материала при его одноосном сжатии). Нелинейный закон – параболическая зависимость  = Аε - Вε².