Теоретический метод составления математических моделей

При теоретическом методе мaтемaтические модели составляются на основе применения фундаментальных законов природы к конкретной ситуации.

На первый план здесь выдвигается неформализованный ответ на вопрос, какой закон (или законы) применять в каждом конкретном случае и как это делать.

На основе фундаментальных законов природы и аналогий выделяется класс общих моделей с достаточно высоким уровнем абстракции. Такие модели строятся, могут самостоятельно изучаться, анализироваться, дополняться доказанными свойствами и утверждениями. Сведения, полученные при теоретическом рассмотрении, применимы ко всем конкретным соответствующим системам.

Это фундаментальные законы сохранения, которые являются общими для материального мира: массы, энергии, количества движения, импульса, заряда (законы Архимеда, Ньютона, Кулона и др.), постулат о непрерывном движении материи, принцип наименьшего действия (механические процессы протекают так, чтобы произведение затрачиваемой энергии на время ее затрачивания было минимальным).

Основные фундаментальные законы механики

Законы Ньютона.

Рассмотрим систему, модель которой может быть представлена как материальная точка, система материальных точек (механическая система).

Материальная точка - тело, размеры и форма которого несущественны в рассматриваемой задаче.

Пример идеализации исходя из целей и задач.

Материальная точка не имеет размеров. Тогда что такое линия? Определение линии, плоскости: «Существует хотя бы одна прямая или одна плоскость. Каждая прямая и каждая плоскость есть несовпадающее с пространством непустое множество точек». Как не имеющие размеров точки могут заполнить линию? Вводится понятие предела и связанного с ним понятия бесконечно малой величины, непрерывности (основа дифференциального и интегрального исчисления).

Функция непрерывна на интервале, если она непрерывна во всех его точках, тогда ее график представляет собой непрерывную кривую.

Предел по ∆x: lim [f(x + ∆x) - f(x)] = 0.

Производная от функции y = f(x) в точке x есть скорость изменения ее в этой точке: lim ∆у/∆x = [f(x + ∆x) - f(x)] / ∆x = f′(x)

Траектория - линия, описываемая движущейся точкой. Состояние системы описывается точкой фазового пространства, которая тоже движется по некоторой траектории в этом пространстве. Состояние материальной точки не сводится к ее геометрическому положению, включает также и скорость.

Система материальных точек (механическая система) совокупность материальных точек, которая в общем случае взаимодействует как друг с другом, так и с другими телами, не включенными в систему.

В системе, представленной как абсолютно твердое тело расстояние между любыми точками постоянны (размеры и форма не изменяются при движении). Тело может быть представлено как система материальных точек, жестко связанных друг с другом.

Инерционные свойства механической системы выражаются первым и вторым законами Ньютона. Он первым понял, что ускорение, а не скорость объекта пропорциональна приложенной силе.

Инерционные свойства механической системы выражаются первым и вторым законами Ньютона.

Масса тела не зависит от скорости его движения - ускорение, а не скорость объекта пропорциональна приложенной силе.

1-ый закон - если на материальную точку не действуют внешние силы (другие тела), то она находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Этот закон называют законом инерции движения материальных точки, свободной от внешних воздействий – движением по инерции. Любые изменения состояния движения обусловлены действием внешних сил. Под действием внешней силы точка приобретает конечное по величине ускорение, в отсутствие внешних воздействий – сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

2-й закон - произведение массы тела на ускорение равно суме всех действующих на тело сил.

Закон устанавливает связь между действующей силой и вызванным ею изменением состояния (ускорением): ускорение материальной точки прямо пропорционально действующей на нее силе F ~ a.

Отношение силы к приобретенному ускорению постоянно для данного тела. Это отношение называется массой.

Масса = Сила / Ускорение

Здесь масса характеризует инерционные свойства материальной точки и называется инертной массой материальной точки.

Количество движения материальной точки – вектор К_i, равный произведению массы точки m_i на ее скорость v_i: К_i = m_i v_i:

Или: первая производная по времени от импульса (количества движения) материальной точки (системы точек) равна главному вектору F всех внешних сил, приложенных к точке:

dK_i/dt = F_i или d/dt (m_iv_i) = F_i.

Или: элементарное изменение количества движения материальной точки равно элементарному импульсу действующей на нее силы:

d (m_iv_i) = F_i dt, так как m_i = const, то w_i = dv_i / dt = F_i / m_i.

Итак, второй закон Ньютона для материальной частицы m¨x = F.

Здесь m – масса частицы, x(t) = (x₁(t), x₂(t), x₃(t)) – ее положение в момент времени t.

Частица движется в пространстве R³, x₁(t), x₂(t), x₃(t) – ее координаты, F - действующая на частицу сила, может задаваться как функция времени F = F (t). Обычно сила задается как вектор-функция аргументов x  R³, x˙  R³ и времени t. Тогда уравнение второго закона есть векторное дифференциальное уравнение второго порядка mx¨ = F(x, x˙, t).

Для того, чтобы описать движение материальной точки при помощи этого уравнения, недостаточно задать ее начальное положение, задание начальных условий должно включать и задание начальной скорости:

x(0) = x₀, x˙ (0) = v₀.

Здесь x₀ – начальное положение точки x₀(t) = (x₀₁, x₀₂, x₀₃)  R³, v₀(t) = (v₀₁, v₀₂, v₀₃)  R³ – ее начальная скорость.

Таким образом, фазовое пространство данной системы есть R³ х R³, а состояние системы – есть пара (x, v), где x - положение материальной точки, v - ее скорость.

Согласно первому и второму законам Ньютона все изменения состояния движения вызываются силами – силы являются причинами любого изменения.

Ускорение возникает в направлении действия силы. Силы инерции направлены в противоположную сторону. Возникают только в системе отсчета, движущейся с ускорением – это кажущиеся силы.

3-ий закон - две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по величине и направленными в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки.

F_ij = - F_ji.

F_ij - сила, действующая на i–ю точку со стороны j–ой точки.

Тяготение между телами осуществляется через гравитационное поле (поле тяготения), которое является одной из форм материи.

Здесь масса материальной точки характеризует гравитационные свойства этой точки и называется гравитационной массой (массой тяжести).

Для всех тел отношение их инертных и гравитационных масс постоянно. Инертные и гравитационные массы равны и связаны с силой тяжести тела соотношением m = F/g.

Векторная характеристика гравитационного поля – его напряженность g, которая равна отношению силы тяготения, действующей на материальную точку, к его массе: g = F/m.

Закон всемирного тяготения: между любыми двумя материальными точками действуют силы взаимного притяжения

, где f - гравитационная постоянная (сила взаимного притяжения между двумя точками одинаковой массы на расстоянии единицы длины).

Свойство притягивать тела обусловлено массой тела. Гравитационная сила – сила, с которой два тела притягиваются друг к другу (сила тяготения).

Каждое тело создает вокруг себя силовое поле – поле тяготения. Напряженность этого поля в любой его точке характеризует силу, которая действует на другое тело, находящееся в этой точке: g = F/m.

Закон сохранения массы – масса изолированной системы тел (или материальных точек) не изменяется при любых происходящих в ней процессах.

Масса тела – физическая величина, которая является мерой его инерционных и гравитационных свойств.

Масса – величина аддитивная, т.е. масса m любой системы материальных точек (например, твердого тела) равна сумме масс m_i всех n точек системы: m = .

Центром инерции или центром масс системы материальных точек называется точка С (х_с, у_с, z_c), радиус-вектор r_c которой связан с массами m_i и радиус-векторами r_c всех n точек соотношением =

Пример: хранение делящегося вещества.

1. Формулировка содержательной модели.

Объект моделирования: имеется некоторое количество радиоактивного вещества (область I), окруженного толстым слоем защитного материала (область II).

Ф ормулировка цели исследований и задачи моделирования: разработать математическую модель, которая позволит определить закономерности изменения масс радиоактивного вещества и защиты.

Исходные данные: массы М_I(0), М_II(0) и размеры L_I(0), L_II(0) радиоактивного вещества и защитного материала, длина свободного пробега продуктов распада в радиоактивном материале λ_I и защите λ_II, μ_I - атомный вес радиоактивного вещества.

2. Формулировка концептуальной модели.

Формулировка закона, которому подчиняется явление: все, что вылетает из области радиоактивного вещества (области I) поглощается в области защиты (области II), и суммарная масса обоих веществ со временем не меняется – модель строится на основании закона сохранения материи.

Выделение существенных факторов и формулировка гипотез.

Все продукты распада, не испытывая столкновений с атомами вещества, покидают область I: длина свободного пробега продуктов распада λ_I значительно больше характерных размеров самого материала L_I, т.е. λ_I >> L_I, продукты деления полностью поглощаются в защите (области II). Это гарантируется при выполнении противоположного условия λ_II << L_II , где λ_II - длина пробега продуктов распада во втором веществе, L_II - его характерный размер.

3. Разработка математической модели.

В любой момент времени справедлив баланс

M_I (0) + M_II (0) = M_I (t) + M_II (t). (1)

Введение дополнительных гипотез.

Для определения текущих значений двух масс (замыкания математической формулировки задачи) необходимо привлечь дополнительное соображение о характере распада: число атомов радиоактивного вещества, распадающихся в единицу времени (скорость распада), пропорционально общему числу атомов вещества (чем больше самого вещества, тем больше продуктов распада).

Применим еще раз закон сохранения вещества к отрезку времени dt. За небольшое время dt между моментами t и t + dt всего распадется атомов

N_I (t + dt) – N_I (t) = - αN_I (t + ξdt), α>0, 0<ξ<1.

В этом уравнении, описывающем баланс атомов, в правой части стоит знак минус (вещество убывает), а величина N_I (t + ξdt) отвечает некоторому среднему значению числа атомов за рассматриваемое время, α – коэффициент пропорциональности.

Это же уравнение в дифференциальной форме:

dN_I  (t) / dt = - αN_I (t).

Учитывая, что M_I (t) = μ_I N_I (t), где μ_I – атомный вес вещества I, получаем

dM_I (t) / dt = - α M_I (t). (2)

Уравнения (1) и (2) вместе с условиями λ_I >> L_I и λ_II << L_II , а также величинами α, M_I (0), M_II (0) и составляют математическую модель рассматриваемого объекта.

Коэффициент пропорциональности (чем больше самого вещества, тем больше продуктов распада) определяется конкретным веществом.

4. Исследования модели и решение задачи.

Интегрируя (2) получаем, что масса делящегося вещества убывает по экспоненциальному закону

и при t → ∞ в области I вещество полностью исчезает.

Так как суммарная масса в соответствии с (1) остается постоянной, то в области II, количество вещества растет:

и при t → ∞ продукты распада полностью переходят из области I в область II.

Закон Архимеда – на погруженное в жидкость тело действует выталкивающая сила, равная весу жидкости, вытесненной телом:

F = gVρ₀.

Сила приложена в центре тяжести объема погруженной части тела.

Закон сохранения импульса.

Количество движения (импульс) материальной точки Кi = mivi .Это векторная величина, его направление совпадает с направлением скорости. Количество движения (импульс) системы:

К = 

Полный импульс (количество движения) замкнутой системы (на которую не действуют внешние силы) с течением времени не изменяется:

dK / dt = 0, или К =  = const.

В проекциях на оси декартовой системы координат:

, ,

Взаимодействие тел, составляющих замкнутую систему, приводит только к обмену количеством движения между этими телами, но не может изменить движения системы как целого: при любом взаимодействии между телами, образующими замкнутую систему, скорость движения центра инерции системы не изменяется:

, или

Закон сохранения и превращения энергии: при любых процессах в изолированной системе ее полная энергия сохраняется (движение материи несотворимо и неуничтожимо – оно может лишь переходить из одних форм в другие).

Энергия – единая мера различных форм движения. Количественные характеристики зависят от вида энергии (механическая, внутренняя, химическая, ядерная, электромагнитная и др.).

Два способа передачи движения и соответствующей ему энергии от одного тела к другому – в форме работы и в форме теплоты (путем теплообмена). Для микрочастиц (атомы, электроны) эти понятия неприменимы.

Передача энергии в форме работы производится в процессе силового взаимодействия тел (работа сил, приложенных к телу).

Передача энергии путем теплообмена между телами обусловлена различием температур тел и может осуществляться при непосредственном как контакте тел (теплопроводность и конвективный теплообмен), так и посредством испускания и поглощения электромагнитного излучения (лучистый теплообмен).

Полная энергия тела – сумма механической и внутренней энергии.

Механической энергией называется энергия механического движения и взаимодействия тел. Механическая энергия консервативной системы сохраняется неизменной в процессе движения системы. Система тел консервативна, если все внешние силы, действующие на систему, являются стационарными и потенциальными.

Внутренняя энергия тела зависит от его состояния (например, от нагревания, от того, твердое или жидкое тело). При движениях, связанных с преодолением сил трения, механическая энергия системы движущихся тел уменьшается, но возрастает их внутренняя энергия (тела нагреваются). Передача теплоты – процесс, при котором внутренняя энергия одних тел уменьшается, других – увеличивается, механическая энергия не изменяется (не совершается работа). Характеристик процесса теплопередачи - количество теплоты – (изменение внутренней энергии), измеряется в тех же единицах, что и механическая энергия (в джоулях).

Силы, действующие на материальную точку (тело), называются потенциальными, если работа этих сил при перемещении точки (тела) зависит только от начального и конечного положения точки (тела) в пространстве и не зависит от пути перемещения.

Система называется диссипативной, если ее механическая энергия с течением времени уменьшается (рассеивается) за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии.

Процесс уменьшения механической энергии системы называется диссипацией энергии.

Общий закон сохранения энергии в применении к механике означает следующее.

Закон сохранения механической энергии. В замкнутой механической системе сумма механических видов энергии (потенциальной и кинетической, включая энергию вращательного движения) остается неизменной.

W_п + W_к + W_вр = W_полн = const.

Полная механическая энергия системы тел, на которые действуют лишь консервативные силы¹, остается постоянной:

E = К + П_взаим + П_внеш = const

К – кинетическая энергия,

П_взаим – потенциальная энергия взаимодействия системы (слагается из энергий взаимодействия частиц),

П_внеш - потенциальная энергия во внешнем поле сил.

Передача энергии в форме работы производится в процессе силового взаимодействия тел (работа сил, приложенных к телу). Силы являются причиной либо ускорения тела (динамическое действие), либо изменения его формы (статическое действие).