5.2 Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели

Любая математическая модель может рассматриваться как некоторый оператор – алгоритм или совокупность уравнений. Наиболее распространенный в математическом моделировании вид оператора – функция (элементы измеряются в числовых шкалах). В этом случае задается отношение на множестве элементов в виде числовой функции многих переменных f: Rⁿ→R, где n - мерный вектор переменных системы x = (x₁, x₂,…,x_n), характеризующий ее поведение, R- вещественная ось.

Конкретное задание функции связано с построением математической модели системы – на выбор функции накладываются ограничения, вытекающие из содержательной постановки задачи.

Построить функциональную зависимость, адекватно описывающую поведение сложной системы сложно, а чаще практически невозможно – устанавливаются функциональные зависимости между отдельными элементами системы. Но и в этом случае возникают сложности, связанные с недостатком информации о характере и механизмах взаимодействия между элементами системы (необходим итеративный подход). В этом случае оператор представляет систему уравнений.

Часто внутренними переменными системы являются не числа, а функции, тогда выходными параметрами могут выступать также функции или функционалы.

Классификационный признак при классификации в зависимости от оператора:

- «вид зависимости выходных параметров от значений входных параметров» - линейные или нелинейные модели;

- «вид функциональной зависимости» - алгебраические, дифференциальные (обыкновенные, в частных производных), интегродифференциальные и др. уравнения или системы уравнений.

Линейные и нелинейные модели

Линейность или нелинейность анализируемого процесса оказывает решающее влияние на вид модели, метод программирования и быстродействие программы при ее выполнении на ЭВМ.

Линейная модель - оператор обеспечивает линейную зависимость выходных параметров от входных - линейное соотношение (прямая пропорциональная зависимость) между двумя числовыми переменными. Использование такой зависимости позволяет описывать многие процессы в реальных системах (это и закон Ньютона и закон Гука в механике, и закон Ома в электротехнике).

Использование такой зависимости позволяет описывать многие процессы в реальных системах (это и закон Ньютона в механике, и закон Ома в электротехнике). В линейной модели множества входов X, состояний Z и выходов Y – линейные пространства, операторы переходов входов в состояния α и состояний в выходы β – линейные операторы (одновременно однородны и аддитивны).

В линейной модели объекта его параметры связаны линейно. Это означает, что при изменении какого-либо параметра линейное соотношение модели предсказывает линейное изменение зависящего от него выходного параметра, при изменении двух и более параметров - сложение их влияний, линейная модель обладает свойством суперпозиции.

Мир линейных функций утомительно однообразен: стоит изучить лишь одну линейную функцию, как вы знаете все наиболее существенное о всех линейных функциях. Не приносит каких-либо неожиданностей и переход к большему числу измерений. Геометрический образ линейной функции, каков бы ни был ее физический смысл, в зависимости от числа независимых переменных — прямая, плоскость или гиперплоскость. На одинаковые приращения независимой переменной линейная функция беспристрастно (то есть независимо от значения независимой переменной) откликается одинаковыми приращениями. Это означает, что линейная зависимость не обладает избирательностью. Она не может описывать ни резонансных всплесков, ни насыщения, ни колебаний — ничего, кроме равномерного неуклонного роста или столь же равномерного и столь же неуклонного убывания.

Благодаря быстродействию и простоте линейные модели широко применяются разработчиками, хотя большинство природных и промышленных процессов – нелинейно.

В более общем случае, если не учитывается воздействие случайных факторов, а малые изменения входных воздействий приводят к такого же порядка малым изменениям выходного воздействия и состояниям системы, модель можно представить в виде векторного дифференциального уравнения dy/dt = F(x(t), v(t), g(t) t), где F – вектор-функция закона функционирования системы; – x, v, h, y - векторы входных, внутренних, управляющих и выходных воздействий соответственно.

В случае линейности систем, когда переменные обладают свойством однородности и аддитивности, вид уравнений упрощается, что позволяет решать их аналитическими или численными (приближенными) методами.

Линейность – свойство системы, которое позволяет делать выводы о поведении системы для всего класса входных воздействий, основываясь на том, как она реагирует лишь на некоторые из них. Общая реакция системы на входные воздействия является суммой отдельных реакций.

Основное свойство линейных систем – выполнение принципа суперпозиции решений: линейной комбинации произвольных входных сигналов ставится в соответствие та же линейная комбинация сигналов на выходе из системы: любая линейная комбинация решений также является решением задачи, т.е. если известны решения Y₁при Х₁ и Y ₂ при Х₂, то решение для выходных параметров при Х =Х₁ + Х₂ есть Y= Y₁ +Y₂.

Пусть на одном интервале t₀t заданы два фрагмента Х_t0t' и Х_t0t'' различных входных процессов Х_Т' и Х_Т'', а в момент времени t₀ - два различных состояния z' (t₀) и z'' (t₀). Введем в рассмотрение фрагменты Х_t0t = Х_t0t' + Х_t0t'' и кХ_t0t , а также состояния z (t₀) = z' (t₀) + z'' (t₀) и к z (t₀).

По отношению к операциям умножения и сложения операторы могут быть однородны и аддитивны.

Операторы α и β однородны, если

α (t₀t, к z (t₀), кХ_t0t) = к α (t₀t, z (t₀), Х_t0t);

β (t₀t, к z (t₀), кХ_t0t) = к β (t₀t, z (t₀), Х_t0t).

Операторы α и β аддитивны, если

α (t₀t, z (t₀), Х_t0t) = α (t₀t, z' (t₀), Х'_t0t) + α (t₀t, z'' (t₀), Х''_t0t);

β (t₀t, z (t₀), Х_t0t) = β (t₀t, z' (t₀), Х'_t0t) + β (t₀t, z'' (t₀), Х''_t0t).

Принцип суперпозиции предполагает

[x (t) = x₁ (t) + x₂ (t)] → [y (t) = y₁ (t) + y₂ (t)],

где x₁ (t) и x₂ (t) - некоторые входные воздействия, а y₁ (t) и y₂ (t) - выходные отклики на каждый из них в отдельности.

Конечное состояние системы определяется как сумма состояний, в которые перешла бы система под воздействием фрагментов входных воздействий.

Линейные системы дают возможность разложения величин z (t) и y (t) на составляющие, изучение которых можно проводить независимо друг от друга.

Пользуясь принципом суперпозиции, можно, найдя решение в каком-либо частном случае, построить решение для более общей ситуации. О качественных свойствах общего случая можно судить по свойствам частного – различие между решениями носит только количественный характер. Или: в случае линейных моделей отклик системы на изменение каких-либо условий пропорционален величине этого изменения.

Линейной моделью представляются простые объекты, она полезна в начале цепочки моделей, последовательно приближающихся к модели с требуемой адекватностью. Линейная модель часто позволяет сразу получить оценку порядка значений выходных переменных.

Нелинейная модель не подчиняется принципу суперпозиции, знание о поведении части системы еще не гарантирует знания поведения всей системы, а ее отклик на изменение каких-либо условий может качественно зависеть от величины этого изменения.

Иногда нелинейную задачу удается свести к последовательности линейных. Линеаризацией нелинейной задачи можно получить линейную модель для достаточно корректной оценки воздействия на систему малых возмущений.

То, что точно схватывает и передает характерные особенности одного класса нелинейных функций, ничего не говорит даже о простейших особенностях типичного представителя другого класса. Геометрический образ нелинейной функции — кривая на плоскости, искривленная поверхность или гиперповерхность в пространстве трех или большего числа измерений. На одинаковые приращения независимой переменной одна и та же нелинейная функция откликается по-разному в зависимости от того, какому значению независимой переменной придается приращение. Почти полным безразличием к изменению одних и повышенной чувствительностью к изменению других значений независимой переменной нелинейные функции разительно контрастируют с линейными. Именно здесь и проходит демаркационная линия между миром нелинейных и миром линейных явлений.

В какой бы области естествознания ни возникала нелинейность явлений, она глубоко «функциональна». В физике нелинейность — это учет различного рода взаимодействий, обратных влияний и тонких эффектов, ускользающих от более грубых сетей линейной теории. В химии нелинейность отражает обратные связи в сокровеннейших механизмах реакций. В биологии нелинейность исполнена высокого эволюционного смысла: только сильная нелинейность позволяет биологическим системам «…услышать шорох подползающей змеи и не ослепнуть при близкой вспышке молнии. Те биологические системы, которые не смогли охватить громадный диапазон жизненно значимых воздействий среды, попросту вымерли, не выдержав борьбы за существование. На их могилах можно было бы написать: «Они были слишком линейными для этого мира»

Вопрос о возможности и целесообразности перехода от нелинейности к линейности решается в каждой задаче конкретно на рациональном уровне.

Большинство реальных процессов нелинейны, а линейные их модели отвечают весьма частным случаям и, как правило, служат первым приближением к реальности.

Нелинейные уравнения можно разделить на два подкласса: алгебраические, в которых над переменными производятся только действия сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с рациональным показателем, и трансцендентные, в которые входят другие функции от переменных (показательные, тригонометрические и др.). В любом случае сложность модели существенно зависит от числа уравнений и вида входящих в них функций. Обычно наиболее просто решаются алгебраические уравнения 1-й степени (линейные), наиболее сложно – трансцендентные.

Пример – закон Гука о линейной зависимости перемещения от растягивающей силы F = - кx. Упругость означает существование однозначной монотонно возрастающей функции, связывающей напряжение  = F/S (S - площадь поперечного сечения) и деформацию ε = x/l (x – относительное перемещение концов, l – длина образца):  = f (ε), f (0) = 0. Функция f в общем случае нелинейная. Нелинейными упругими свойствами обладают, например, высокоэластичные резиновые шнуры – ели такой шнур растянуть в десять раз (ε = 0,9), а затем отпустить, он восстановит свою длину. Если длинные металические проволоки подвергать малым деформациям (ε = 0,001), нелинейность не обнаруживается. При растяжении металлического стержня по мере возрастания растягивающего напряжения  деформация ε сначала растет по линейному закону. Это означает, что при таких ε первый член разложения функции  = f (ε) (полагая ее аналитической) в степенной ряд  = ε ∂f /∂ε + ½! ε²∂²f /∂ε² + ... значительно превосходит все остальные. Тогда  = Еε (Е – модуль упругости материала при его одноосном сжатии). Нелинейный закон – параболическая зависимость

 = Аε - Вε².

Применение иерархического подхода позволяет на определенном этапе моделирования принимать упрощающие предположения, например, о линейности моделей.

Линейные модели занимают определенную нишу в исследованиях – любая линейная теория ограничена в определенных пространственных и временных рамках при малых интенсивностях воздействий на систему. Например, в строительстве не учитывают кривизну Земли, в космической технике не прибегают к теории относительности при несоизмеримых скоростях.

Методы исследования линейных систем очень развиты и обоснованное применение линейной модели для нелинейной системы часто оказывается весьма эффективным.

Если нелинейность является принципиальной, то применение линейных систем не дадут даже качественной картины процесса.

Например, закон тяготения изначально нелинейный (квадратичная зависимость силы взаимодействия между массами), и потому основанные на нем модели также нелинейны. Нелинейность может быть также обусловлена геометрией явления, изменением состояния (изменение жесткости пружины при исследовании колебательного процесса).

Источником нелинейности могут быть различные причины. Обычно принято считать, что при малых (не всегда) отклонениях системы от положения равновесия соотношения между перемещениями или скоростями ее элементов и возникающими силами линейны.

Например, силы трения между поверхностями (поверхности разделены смазочным материалом жидкостью или газом) линейно зависят от скорости перемещения поверхностей, с увеличением скорости эта зависимость становится нелинейной – вязкое трение зависит от квадрата скорости:

P_тр = - к │v│^{α -1} , α, к = const, при α =2 – турбулентное трение.