Обыкновенные дифференциальные модели

Одна из основных задач классической механики - задача прогнозирования движения различных тел и сред – решается на основе математической модели механического движения, которая представляет собой систему дифференциальных уравнений относительно координат и скоростей движущегося объекта. С помощью дифференциальных моделей решается большинство задач механики, гидродинамики, электродинамики и др.

Дифференциальное уравнение – уравнение, содержащее неизвестную функцию одного или нескольких переменных, независимые переменные и производные неизвестной функции по независимым переменным.

Обыкновенное дифференциальное уравнение – уравнение, в котором неизвестной является функция от одного независимого переменного, причем, в это уравнение входят не только сама неизвестная функция, но и ее производные различных порядков:

F[x, y(x), y’(x), …, y⁽ⁿ⁾(x)] = 0.

Общее решение: y = y(x, C₁,…, C_n), при любом наборе С – частное решение.

Задача Коши (задача с начальными условиями) – задача о нахождении частного решения, которое удовлетворяет n частным условиям y(x₀) = y₀, y’(x₀) = y’₀,…, y^(n-1)(x₀) = y^(n-1) ₀.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений для r неизвестных функций имеет вид

F_i[x, y₁, y₂, …,y_r, y’₁, y’₂,…, y’_r,…, yⁿ₁, yⁿ₂, …, yⁿ_r] = 0 , i = 1,…, r.

Линейное обыкновенное дифференциальное уравнение – линейно относительно искомой функции, независимого переменного и ее производной, т.е. уравнение вида

y⁽ⁿ⁾ + a₁(x)y^(n-1) + … + a_n-1(x)y¹ + a_n(x)y = f(x),

y(x) – искомая функция, a_i(x), f(x) – заданные функции.

Задача прогнозирования движения (задача математического анализа) решается интегрированием дифференциальных уравнений движения при заданных начальных условиях (задача Коши) - пассивный расчет траектории движения объекта. Усложнение задачи – определить, какими должны быть начальные скорости объекта, чтобы из одного заданного положения он переместился в другое заданное – здесь уже присутствует элемент управления движением. Дальнейшее усложнение – траектория движения из одного положения в другое должна обладать определенным экстремальным свойством, например, минимальное время движения (задача о брахистохроне).

Законы механики – описание движения системы точек или твердого тела могут быть сведены к задаче нахождения решений ОДУ. Анализ устойчивости движения, химические реакции, теория колебаний, теория оптимального управления представляют собой динамические системы и могут быть формализованы ОДУ.

Процесс составления дифференциального уравнения по условию задачи (физической, технической) состоит в выражении на математическом языке связи между переменными величинами и их бесконечно малыми приращениями. Модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, в которых неизвестные функции зависят только от одной переменной - обыкновенные дифференциальные модели.

Построение обыкновенных дифференциальных моделей зависит от законов в конкретной предметной области.

Ответы на вопросы, поставленные при построении дифференциальной модели, получают после интегрирования дифференциальных уравнений. Большинство дифференциальных уравнений не может быть проинтегрировано в замкнутой форме (даже если известно, что такое решение имеется), т.е. не удается представить решение в виде аналитической зависимости, использующей конечное число операций над элементарными функциями (решение в виде бесконечного ряда далеко не всегда позволяет исследовать необходимые свойства).

Приемы и методы, которые позволили бы, не решая самих дифференциальных уравнений, получать необходимые сведения о тех или иных свойствах решений, предоставляет качественная теория дифференциальных уравнений.

В основе этой теории лежат общие теоремы о существовании и единственности решений, о непрерывной зависимости решений от начальных параметров. Численному интегрированию дифференциальных уравнений обязательно должно предшествовать обращение к теоремам существования и единственности.