Формализация процесса функционирования системы

Формализация процесса функционирования системы основана на следующих положениях:

- любая система функционирует во времени, взаимодействуя с внешней средой, и в каждый момент времени может находиться в одном из возможных состояний;

- в данный момент времени состояние системы определяется предыдущими состояниями и входами системы, выходные параметры определяются состояниями и входами, относящимися к данному и предшествующим состояниям системы.

Основные составляющие модели: модели отдельных элементов (подсистем) системы,  внешние параметры (воздействия окружающей среды или управлений), внутренние параметры (состояние и процессы в моделируемой системе, которые определяют выходные параметры), функциональные соотношения между внешними и внутренними параметрами модели (оператор модели). В динамической модели все составляющие модели имеют временной характер.

Параметры могут быть постоянными или переменными, управляемыми или неуправляемыми. На переменные параметры устанавливаются ограничения - пределы их изменения.

Математическая модель системы - это задание множества входов, состояний, выходов и связей между ними (отображений):

.

Здесь:

Х – входы в систему, x  X;

Z – состояние системы z (t) = α (t), z ∈Z;

Y – выходы системы у (t) = β (t, z (t)), t ∈ T;

α – отображение (функция, правило перехода), определяющее зависимость состояния системы от входных воздействий;

β – отображение (функция, правило перехода), определяющее зависимость выходных воздействий от состояния системы.

Конкретизируя множества X, Z и Y и отображения α и β, можно перейти к моделям различных систем.

В обобщенном виде модель характеризуется следующими воздействиями, параметрами и правилами:

x - набор входных воздействий в системе и вся их допустимая совокупность X, x  X;

у - набор выходных воздействий в системе и вся их допустимая совокупность У , у У;

р - набор постоянных параметров, характеризующих свойства системы и влияющих на выходные воздействия, и вся их допустимая совокупность Р, р  Р;

z - набор изменяющихся параметров (параметров состояния), характеризующих свойства системы, влияющих на выходные воздействия, и вся их допустимая совокупность Z, z  Z;

t - параметры процесса в системе и вся их допустимая совокупность T, t  T;

α - правило (функция, оператор) определения параметров состояния z системы по входам х, постоянным параметрам р, параметру процесса t.

β - правило (функция, оператор) определения выходных характеристик у системы по входам х, постоянным параметрам р, параметру процесса t и параметрам состояния z.

Параметры состояния системы находятся по правилу α из уравнения состояния:

z = α (х, р, t).

Выходные характеристики системы находятся по правилу β из уравнения выхода:

у = β (x, p, t, z).

Входной процесс Х _T - множество значений х (t) входных воздействий, определенных для всех t  T за весь период функционирования: Х _T {х (t): t  T}.

Фрагмент входного процесса - отрезок входного процесса, ограниченный моментами времени t0 и t1. Любой входной процесс может быть расчленен на совокупность фрагментов (наоборот – объединение фрагментов - не всегда является входным процессом).

Выходной процесс – выходное воздействие у (t1) на внешнюю среду или другие элементы: У T {у (t): t ∈ T}.

Для всех моментов времени, для которых заданы входные и выходные процессы, определено состояние системы.

Модель функционирования в общем случае для произвольного начального момента времени t T и интервала t₀t₁

z (t₁) = α (t₀t₁,р, z (t₀), Хt₀t₁); у (t₁) = β (t₀t₁,р, z (t₀), Хt₀t₁).

Уравнения состояния и уравнения выхода позволяют описать процесс функционирования системы траекториями Z_Т и У_Т, каждая точка которых характеризует для некоторого момента времени t ∈T состояние системы z (t). Конкретный вид обеих траекторий определяется входным процессом ХТ, начальным состоянием z (t₀) и операторами α и β.

На основе введения приведенных воздействий, параметров и правил модель может быть записана как кортеж

∑ : {x, у, p, t, z, α, β, β *}, x  X, у  У, p  P, t  T, z  Z.

Разбор конкретной модели по такой формализованной схеме состоит в отнесении различных величин, объектов, понятий к составляющим кортежа (составление списков существенных входов, выходов, процессов, параметров), что является эффективным средством понимания функционального содержания системы, составления и корректировки ее модели, выявления важнейших сторон моделирования.

Примеры формальной записи моделей.

Автомобильный двигатель:

- входы (внешние воздействия): своевременная подача в камеру сгорания газовой смеси определенного состава;

- выход: мощность двигателя;

- неизменяемые параметры системы: объем камеры сгорания. Число и расположение цилиндров, степень сжатия, размеры и массы частей силового механизма (поршней, коленвала, маховика);

- параметр процесса: время или угол поворота коленвала;

- параметры состояния: температура и давление в камере сгорания, скорости движущихся частей, силы трения в двигателе;

- правило α (уравнение состояния): термодинамические уравнения, описывающие процесс сгорания газовой смеси, и механические уравнения, описывающие движение частей силового механизма;

- правило β: запись мощности двигателя в виде функции от скоростей движения частей силового механизма;

- правило β *: зависимость мощности в виде функции от скорости подачи газовой смеси, ее состава и внешнего момента (нагрузки).

Информационная система обработки текста:

- входы: объем текста, численная оценка его сложности;

- выход: длительность обработки текста;

- неизменные параметры: скорость чтения текста. Число повторных чтений в зависимости от сложности;

- изменяющиеся во времени параметры: объем проделанной работы:

- параметр процесса: стадия работы или время;

- правило α: зависимость объема проделанной работы от объема и сложности текста, параметров распознающей системы, времени;

- правило β: зависимость длительности обработки от объема проделанной работы;

- правило β *: зависимость длительности обработки от объема текста, его сложности и параметров системы.

Все составляющие кортежа не обязательны: их может быть больше (системы с управлением) или меньше («черный ящик»).

Другими составляющими кортежа могут быть входные случайные воздействия (выделяется отдельно часть входов х), характеристики структуры системы в отличие от характеристик элементов (выделяются отдельно из параметров р), некоторые свободные параметры модели, все множество значений которых должно быть учтено при расчете выходов (операции взятия максимума), управления в целенаправленных системах.

Часто даже при незначительных изменениях постановки задачи может происходить переход величин из одной составляющей кортежа в другую. Например, при некоторых условиях мало меняющуюся величину, сделав ее условно постоянной, отнести к неизменным параметрам р, или наоборот, отнести ее к параметрам состояния. Путем математической замены переменной меняют местами параметр процесса и один из параметров состояния.

Модель может задаваться в виде описания или в виде количественных воздействий.

В модели "черного ящика" присутствует минимальное число элементов, описывающих модель - только входы и выходы, т.е. связи системы со средой, и отсутствуют сведения о внутреннем содержании системы и о границах между системой и средой ("стенки ящика"):

∑ : {x, у, β *}, где у = β *(х).

Модель "черного ящика" предполагает, что преобразование β* неизвестно.

Если это преобразование β* известно (модель "белого ящика"), то его можно описать тем или иным способом (в зависимости от того, что известно о содержании системы и о ее свойствах): инерционность или безинерционность, непрерывность, гладкость, монотонность, симметричность, наличие шумов, помех или искажений на входе и выходе, зависимость от предыстории движения – выход определяется не только значением входа в данный момент, но и теми значениями, которые были на входе в предыдущие моменты, и т.д. В самой системе с течением времени как под влиянием входных воздействий, так и независимо от них могут происходить изменения, что также нужно отразить в модели.

Уточним понятие входных переменных, поскольку их много и список их весьма неоднороден.

● X может быть не одной переменной, а вектором переменных {X₁, X₂, …, X_n}, так как сложные системы, которые мы моделируем, обычно связаны со средой множеством факторов {X₁, X₂, …, X_n}.

● Логически удобно разделить вектор X на входные переменные (собственно X) и переменные управления U. Тогда под X обычно понимают не зависящие от воли владельца системы факторы, а под U — факторы, которыми владелец системы может непосредственно распоряжаться по собственной воле. Такие факторы принято называть управляемыми переменными или просто управлением. Заметим, что обычно значения переменных U чем-то ограничены. В самом деле, нельзя открыть водопроводный кран больше чем на 1 (кран открыт полностью) или меньше чем на 0 (кран полностью закрыт). Поэтому если понимать под U степень открытия крана, то 0 ≤ U ≤ 1. В других случаях пишут более общий вариант U_min ≤ U ≤ U_max. В этом смысле здесь и далее мы будем считать, что управление, поскольку оно ограничено, это некоторый ресурс.

● P — мало меняющиеся переменные, которые в этом случае называют параметрами системы; по своей сути они мало отличаются от X. В прикладных задачах их часто выносят отдельно, так как динамически они (на отрезке времени рассмотрения или существования задачи) не меняются и не меняют свойств системы.

● Помехи Q. Это переменные, которые действуют на систему помимо воли ее владельца и ухудшают значение желаемого показателя Y. Помехи всегда действуют во вред владельцу системы, занижая желаемые показатели системы. Управление U — фактор, который призван компенсировать негативное действие помех Q на выходной показатель цели Y. То есть при одном и том же значении U, при действии помех, в отличие от случая их отсутствия, показатель Y будет ниже.