- •1 Методологические основы моделирования сложных систем
- •1.1 Системность
- •Понятия общей теории систем
- •Определение понятия системы
- •Основные свойства, обязательные для любой системы.
- •Взаимодействие и взаимозависимость системы и внешней среды.
- •Определение понятий элементов, связей, функций, внешней среды системы. Элемент
- •Внешняя среда
- •Функции системы
- •Сложность систем
- •Системный подход
- •Классификация систем
- •Развитие искусственной системы и ее жизненный цикл
- •1.2 Моделирование
- •Общая методология моделирования
- •Основные принципы моделирования:
- •Процесс моделирования
- •Анализ и синтез в моделировании
- •Примеры сложных систем Космическая система наблюдения Земли как сложная техническая система Задачи космической системы наблюдения Земли
- •Состав и структура космической системы наблюдения Земли
- •2 Построение математических моделей
- •2.1 Математическая модель, математическое моделирование – основные понятия, термины и определения
- •Цели математического моделирования
- •2.2 Общие методы построения математической модели
- •Микроподход и макроподход в исследованиях системы.
- •Формальная запись модели системы
- •Понятие вариационных принципов
- •Модульное построение моделей
- •2.3 Требования к построению модели
- •Адекватность и достоверность модели
- •Равнозначимость внешнего и внутреннего правдоподобия
- •Анализ чувствительности модели
- •Пример анализа на чувствительность экономической задачи
- •3 Математические модели состояния и структуры системы
- •3.1 Модель состояния системы Состояние системы и ее функционирование
- •Формализация процесса функционирования системы
- •3.2 Модель структуры системы Основные понятия структуры системы
- •Модель состава и структуры системы
- •Методология моделирования структуры системы
- •Виды структур
- •Формирование структуры модели с позиций структурного моделирования.
- •Построение структурных моделей
- •3.3 Модель процесса функционирования
- •Установление функциональных зависимостей
- •Неопределенность функционирования системы
- •Пути уменьшения неопределенностей
- •Основные требования к модели процесса функционирования
- •Анализ функционирования, анализ структуры технической системы
- •Функционально – физический анализ технических объектов.
- •Пример разработки моделей деятельности организации
- •Пример функционально – физического анализа технических объектов
- •Конструкция бытовой электроплитки
- •Функционально стоимостной анализ.
- •4 Этапы построения моделей
- •4.1 Постановка задачи моделирования
- •Разработка содержательной модели
- •Разработка концептуальной модели
- •Описание внешних воздействий
- •Декомпозиция системы
- •Подготовка исходных данных для математической модели
- •Содержание концептуальной модели
- •4.2 Разработка математической модели
- •Разработка функциональных соотношений
- •Выбор метода решения задачи
- •Проверка и корректировка модели
- •Анализ чувствительности модели
- •Проверка адекватности модели
- •Контроль модели
- •Корректировка модели
- •Уточнение модели проектируемого объекта
- •Реализация математической модели в виде программ для эвм
- •4.3 Практическое использование построенной модели и анализ результатов моделирования
- •Примеры построения моделей Математическая реставрация Тунгусского феномена
- •1. Сбор информации о явлении, выдвижение гипотез.
- •2. Содержательная постановка задачи исследования явления.
- •3. Математическая постановка задачи.
- •4. Анализ результатов.
- •5. Проверка адекватности модели – сравнение с натурным экспериментом.
- •6. Анализ результатов.
- •Прогноз климатических изменений
- •1. Содержательная постановка задачи
- •2. Концептуальная постановка. Построение математической модели.
- •3. Проведение вычислительного эксперимента.
- •4. Анализ результатов вычислительного эксперимента.
- •5 Виды математических моделей
- •5.1 Классификация математических моделей
- •Пример представления модели различной сложности и классификации.
- •5.2 Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели
- •Линейные и нелинейные модели
- •Обыкновенные дифференциальные модели
- •5.3 Классификация математических моделей в зависимости от параметров модели Непрерывные и дискретные модели
- •Детерминированные и неопределенные модели
- •Дискретно-детерминированная модель
- •Статические и динамические модели
- •Стационарные и нестационарные модели.
- •Формализация системы в виде автомата
- •Формализация системы в виде агрегата
- •Моделирование процесса функционирования агрегата
- •Моделирование агрегативных систем
- •Модель сопряжения элементов
- •6 Математические модели распределения ресурсов в исследовании операций
- •6.1 Моделирование операций распределения ресурсов
- •Формулировка задачи математического программирования
- •6.2 Модели линейного программирования
- •Формулировка общей задачи линейного программирования.
- •Типовые задачи линейного программирования
- •Транспортная задача.
- •Задача коммивояжера.
- •Задача о ранце.
- •Общая задача теории расписаний.
- •Примеры сведения практических задач к канонической транспортной задаче
- •6.3 Распределительные задачи линейного программирования
- •Примеры распределительных задач.
- •Распределение транспортных единиц по линиям
- •Выбор средств доставки грузов.
- •Задача о назначениях
- •Экономическая интерпретация задач линейного программирования.
- •Перевозки взаимозаменяемых продуктов
- •Перевозка неоднородного продукта на разнородном транспорте.
- •7 Математические модели физических явлений и процессов. Универсальность моделей
- •7.1 Математические модели на основе фундаментальных законов
- •Теоретический метод составления математических моделей
- •Основные фундаментальные законы механики
- •Работа, энергия, мощность
- •7.2 Уравнения движения
- •Динамика поступательного движения.
- •7.3 Уравнения состояния
- •Термодинамическая система.
- •Упругие свойства твердых тел.
- •Жидкости.
- •7.4 Универсальность моделей
- •Модели на основе аналогий
- •Типовые математические модели элементов и подсистем
- •Модель колебательного процесса
- •Модель консервативной системы.
- •Электрическая подсистема.
- •Модели элементов гидравлических систем
- •Модели элементов пневматических систем
- •8 Моделирование производственных процессов
- •8.1 Модели систем массового обслуживания
- •Основные элементы систем массового обслуживания.
- •Характеристики потока
- •Классификация смо
- •Оценка эффективности смо
- •Аналитические и статистические модели
- •8.2 Модели производственных процессов
- •Дискретный производственный процесс
- •Непрерывный производственный процесс
- •Агрегатное представление производственного процесса
- •Имитационное моделирование процессов функционирования
- •Формализация основных операций производственного процесса Формализованная схема дискретного производственного процесса.
- •Формализация отклонения течения производственного процесса от нормального
- •Моделирование комплексного процесса обработки, сборки и управления при поточном производстве
- •Формализованная схема непрерывного производственного процесса.
- •9 Синтез модели (проекта) системы
- •9.1 Проектирование системы как процесс создания (синтеза) ее модели
- •9.2 Методология проектирования
- •Типовые проектные процедуры формирования облика системы
- •9.3 Эффективность системы Понятие эффективности системы
- •Формирование модели цели системы
- •Выбор критериев и показателей эффективности
- •Основные принципы выбора критериев эффективности:
- •Проблемы многокритериальности
- •9.4 Технология проектирования
- •9.5 Принятие решений в проектировании
- •Выбор в условиях неопределенности
- •Моделирование принятия решения
- •Прогнозирование в принятии решений
- •9.6 Анализ инвестиционной привлекательности системы Основные типы инвестиций.
- •Основные экономические концепции инвестиционного анализа.
- •Состав работ при инвестиционном проектировании
- •Конкурентоспособность проектируемой системы Оценка потенциальной емкости рынка и потенциального объема продаж
- •Оценка конкурентоспособности
- •Методы оценки эффективности инвестиций
- •Метод определения чистой текущей стоимости.
- •Метод расчета рентабельности инвестиций
- •Метод расчета внутренней нормы прибыли
- •Расчет периода окупаемости инвестиций
- •Маркетинг и управление проектом
- •Задачи управления проектами
- •9.7 Особенности синтеза модели (проекта) технических систем Этапы проектирования
- •Особенности проектирования адаптивных систем
- •Моделирование функционирования технической системы Особенности построения моделей при проектировании
- •Формирование технического облика системы
- •Формирование структуры системы
- •Выбор основных проектных параметров системы
- •Формирование множества вариантов системы
- •10 Информационное обеспечение синтеза системы
- •10.1 Основные задачи и типы информационных систем Общие свойства информационных систем
- •Файл-серверные информационные системы
- •Клиент-серверные информационные системы
- •Архитектура Интернет/Интранет
- •Хранилища данных и системы оперативной аналитической обработки данных
- •10.2 Особенности проектирования информационных систем
- •Схемы разработки проекта
- •1. Предпроектные исследования
- •2 Постановка задачи
- •3 Проектирование системы
- •Архитектура программного обеспечения
- •Подсистема администрирования.
- •Техническая архитектура
- •Организационное обеспечение системы
- •4 Реализация и внедрение системы
- •10.3 Концепции автоматизации проектирования
- •История развития сапр
- •Классификация сапр
- •Стратегическое развитие сапр Современное состояние сапр
- •Направления разработки проектной составляющей сапр
- •Разновидности сапр
- •Математическое и информационное обеспечение сапр
- •11 Моделирование процесса управления
- •11.1 Основные определения
- •Формальная запись системы с управлением
- •11.2 Модели систем автоматического управления
- •Устойчивость движения систем
- •Определение программного движения и управление движением
- •11.3 Модели автоматизированных систем управления
- •Модели автоматизированных систем управления производственными процессами
- •Модели автоматизированных систем управления предприятием
5.3 Классификация математических моделей в зависимости от параметров модели Непрерывные и дискретные модели
Процесс функционирования системы может протекать непрерывно или дискретно, и фазовое пространство, в котором функционирует система, может быть дискретным или непрерывным. Решение о дискретности или непрерывности модели принимается на этапе постановки задачи также на рациональном уровне.
Непрерывной во времени модель является в том случае, когда характеризующая ее переменная определена для любого значения времени; дискретной во времени - если переменная получена только в определенные моменты времени.
Дискретность модели может также возникнуть в том случае, если она состоит из непрерывных компонентов, но информация переходит от одной компоненты к другой по заданной схеме (такие переходы возможны только по окончании соответствующих операций).
Непрерывные модели применяются при изучении систем, связанных с непрерывными процессами, которые описываются с помощью систем дифференциальных уравнений, задающих скорость изменения переменных системы во времени. Непрерывные модели можно описать с помощью конечно-разностных уравнений, которые в пределе переходят в соответствующие дифференциальные уравнения.
Непрерывная система функционирует в непрерывном времени (интервал ее функционирования T = [t0, tk] представляет собой отрезок оси действительных чисел, заданный началом t0 и концом tk), непрерывно изменяется состояние системы (непрерывны операторы α и β). Малые изменения входных воздействий приводят к такого же порядка малым изменениям состояния системы и выходных воздействий.
Модель непрерывная, если она описывает поведение системы для всех моментов времени из некоторого промежутка.
Модель S = gt2/2, 0 < t < 100 непрерывна на промежутке времени (0; 100).
Непрерывные системы могут быть описаны с помощью дифференциальных или алгебраических уравнений.
Дискретная система функционирует в дискретном временном пространстве и определяется дискретными состояниями. Изменения ее состояния происходят лишь в дискретные моменты времени (дискретный интервал функционирования.
Дискретными могут быть системы, для которых дискретным является или только время, или только состояния. Это широкий и практически важный класс систем – в него входят все дискретные (цифровые, измерительные, управляющие и вычислительные, в том числе ЭВМ) устройства.
Дискретность временного пространства означает, что явления, сопровождающие изменения состояния системы, могут происходить лишь в моменты времени, образующие некоторое дискретное множество, в котором моменты времени можно пронумеровать. В частности, переходы системы из одного состояния в другое могут осуществляться в целочисленные моменты времени. Общий случай сводится к этому частному введением целочисленной нумерации моментов возможных изменений состояний.
Если рассматривать только t - 0, 1, 2, ..., 10 (с), то модель S1 = gt2/2, или числовая последовательность S0 = 0, S = g/2, S2 = 2g, S3 = 9g/2, ..., S10= 50g, может служить дискретной моделью движения свободно падающего тела.
Непрерывная система может рассматриваться как дискретная. Это достигается путем учета ее состояния лишь в отдельные моменты времени и округления их значений до целых единиц.
Системы с дискретными состояниями характеризуются тем, что в любой момент времени можно однозначно определить, в каком именно состоянии находится система. Для такой идентификации обязательно нужно знать тот признак, который отличает одно состояние системы от другого. Например, при исследовании систем массового обслуживания в качестве такого признака обычно используют число заявок в системе. Соответственно, изменение числа заявок в системе интерпретируется как переход системы в новое состояние.
Если же не удается подобрать такой признак, либо его текущее значение невозможно зафиксировать, то систему относят к классу систем с непрерывным множеством состояний.
Смена состояний может происходить либо в фиксированные моменты времени, множество которых дискретно (например, поступление новых заявок на обслуживание), либо непрерывно (изменение температуры тела при нагревании). В соответствии с этим различают системы с дискретным временем переходов (смены состояний) и системы с непрерывным временем переходов (точнее, «живущие» в непрерывном времени).
По условиям перехода из одного состояния в другое различают детерминированные системы и стохастические.
Дискретизация (преобразование непрерывной функции в дискретную) применяется в системах передачи, хранения и обработки информации, поступающей в виде непрерывных сигналов.
Например, передача фото или телевизионных изображений (функция двух или трех переменных) осуществляется путем разбивки на дискретные строки. Передача звука (функция одной переменой) с помощью импульсно-кодовой модуляции сопряжена с дискретизацией непрерывного сигнала и последующим кодированием (модуляция – изменение параметров некоторого физического процесса во времени в соответствии с текущим значением сигнала).
Дискретными могут быть системы с дискретным вмешательством случая – эти системы почти всегда ведут себя как непрерывные и только в дискретные моменты времени испытывают случайные воздействия.
В модели функционирования дискретной системы предполагается дискретность интервала функционирования T = [t0, tk].
Дискретизация по времени обычно выполняется так, чтобы интервал = t+1 - t между ближайшими в множестве Т моментами времени t+1 и t был один и тот же для всех . Тогда называется временем такта, а моменты t - тактами функционирования системы.
Фрагменты входного и выходного процессов дискретной системы представляются в виде пронумерованных последовательностей входных и выходных воздействий:
Хt0t = {x(), x( + 1), . . ., x()} = Х;
Уt0t = {у(), у( + 1), . . ., у()} = У,
однозначно задаваемых номерами первого и последнего тактов функционирования системы. Тогда модель функционирования дискретной системы:
z () = α (, z (), Х);
у () = β (, z (), Х).
Если фрагмент входного процесса Х разбить на два подфрагмента и представить его как их объединение, то уравнения состояния и выхода в дискретной системе имеют вид:
z (+1) = α (, z (), x (), x (+1));
у (+1) = β (, z (), x (), x (+1)),
где α и β - функции действительных переменных , z (), x () и x (+1).
Величина x (+1) не влияет на z (+1), если состояние системы изменяется с некоторой задержкой относительно момента поступления входного воздействия. При этом
z (+1) = α (, z (), x ()).
Выходное воздействие у (+1) определяется значениями z и x в том же (+1)–м такте, и потому
у () = β (, z (), x ()).
Изучением свойств непрерывного характера занимается классическая математика. В дискретной математике отказываются от основополагающих понятий классической математики – предела и непрерывности.
Использование классической или дискретной математики зависит от задач исследований – какая модель явления рассматривается – дискретная или непрерывная. Основные разделы дискретной математики: математическая логика, вычислительная математика (численное интегрирование), теория графов (задачи анализа структур, экономические задачи, электротехнические задачи – трассировка), теория кодирования (хранение, обработка, передача информации), теория функциональных систем (описание функционирования сложных систем по функционированию их компонент, правила построения сложных управляющих систем).
Дискретное представление пространства и времени обуславливает дискретность фазовых переменных, которыми являются величины, характеризующие состояния элементов. Роль элементов и внутренних параметров выполняют системы и выходные параметры некоторых подсистем. Так, элементами ЭВМ можно считать арифметическое устройство, оперативную память, устройство ввода и вывода и т.п. Фазовые переменные, характеризующие состояния этих элементов, могут принимать только два значения: «занято», если в данный момент устройство работает, или «свободно», если устройство находится в состоянии ожидания.
Примерами выходных параметров служат вероятность обслуживания поступивших в систему заявок (сообщений), среднее время простоя в очереди на обслуживание, быстродействие устройства.
Для построения математических информационных моделей широко используют математическую логику, теорию массового обслуживания, методы теории автоматического управления.
Пример. Реле как дискретная система.
Реле – это элемент, входная и выходная величины которого могут принимать лишь конечное число значений (как правило, два или три).
Электромагнитное реле - типичный релейный элемент, исполнительные органы (контакты) которого могут находиться только в двух устойчивых состояниях – в замкнутом и разомкнутом.
Реле состоит из сердечника с обмоткой, якоря, контактов и входного выключателя; кроме того, имеются входные клеммы х и выходные клеммы у. Если входной выключатель разомкнут – обмотка обесточена, контакты разомкнуты; если замкнут – в обмотке появляется ток. Когда ток достигает определенной величины, сердечник притягивает якорь, контакты замыкаются, на выходных клеммах появляется напряжение.
Э
Обычная формализация процессов такого рода сводится к интерпретации наличия напряжения на входе (сигнал х = 1) или на выходе (сигнал у = 1) как истинных высказываний, а отсутствие напряжения на входе (сигнал х = 0) или на выходе (сигнал у = 0) – как ложных высказываний, а также зависимости у = f(x) как некоторой функции исчисления высказываний. Таким образом, реле здесь выступает в качестве логического элемента.
Устройства релейного действия применяются для изменения состояния во многих областях техники – в пневматических, гидравлических, электрических цепях и т.д. Реле выполняют функции защиты, контроля, управления, сигнализации. Реле времени создает необходимую задержку в передаче воздействий между отдельными узлами автоматики.
В соответствии с физической природой внешних явлений, вызывающих действие реле, их делят на электрические (ток, напряжение, мощность, сопротивление, частота), механические (перемещение, скорость, давление, уровень), тепловые, акустические, химические, магнитные и т.д.
Релейные элементы характеризуются порогом срабатывания и порогом отпускания. Порог срабатывания - минимальное абсолютное значение возрастающего воздействия, при котором элемент изменяет свое состояние и одновременно изменяет воздействие на выходе в соответствии с релейной характеристикой (преобразование непрерывной входной величины в дискретное значение выходной величины). Порог отпускания – минимальное абсолютное значение уменьшающегося выходного воздействия, при котором релейный элемент возвращается в первоначальное состояние. Релейный элемент с фиксацией – элемент остается в занятом состоянии и после снятия воздействия на входе, возвращение в первоначальное состояние – после подачи воздействия на другой вход элемента (или другого знака на тот же вход). Другие характеристики релейного элемента – быстродействие, время срабатывания, время отпускания.