Элементы векторной алгебры

Векторное поле

Если каждой точке М ставится в соответствие вектор , то говорят о векторном поле (например, поле электрической напряженности, гравитационное поле, поле магнитной напряженности). В декартовых координатах

где – радиус-вектор. Компоненты A_x, A_y, A_z образуют три скалярных поля и однозначно определяют – векторную функцию векторного аргумента.

Дивергенция векторного поля

Дивергенцией векторного поля (обозначается ) называют следующую производную по объему поля в точке М:

Величина есть скалярный поток векторного поля через замкнутую поверхность S, которая окружает точку М и охватывает область G с объемом V.

Дивергенция есть мера источников поля . Если в области G , то векторное поле называется свободным от источников. Те точки поля, в которых , принято называть источниками поля, а те, в которых – стоками поля.

Ротор векторного поля

Ротором (вихрем) векторного поля (обозначается ) называют следующую производную по объему поля в точке М:

Теорема Стокса

Циркуляция векторного поля по замкнутой кривой L равна потоку ротора этого поля через поверхность S, опирающуюся на кривую L:

Формула Гаусса-Остроградского

Для пространственной области G, ограниченной замкнутой поверхностью S,

_{Приложение 4}

Основные законы и формулы классической электродинамики

1. Закон Кулона

.

2. Напряженность электростатического поля

.

3. Напряженность электростатического поля точечного заряда q

.

4. Принцип суперпозиции полей

.

5. Электрический момент диполя

.

6. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

.

7. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура L

.

8. Потенциал электростатического поля

.

9. Потенциал электростатического поля точечного заряда q

.

10. Связь между потенциалом электростатического поля и его напряженностью

.

11. Связь между векторами электрического смещения и напряженности электростатического поля

.

12. Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике

.

13. Электрическая емкость уединенного проводника

.

14. Электрическая емкость плоского конденсатора

.

15. Электрическая емкость цилиндрического конденсатора

.

16. Электрическая емкость сферического конденсатора

.

17. Электрическая емкость параллельно соединенных конденсаторов

.

18. Электрическая емкость последовательно соединенных конденсаторов

.

19. Энергия заряженного уединенного проводника

.

20. Энергия заряженного конденсатора

.

21. Объемная плотность энергии электростатического поля

.

22. Сила электрического тока проводимости

.

23. Плотность тока проводимости

.

24. Электродвижущая сила, действующая в цепи,

.

25. Электрическое сопротивление однородного линейного проводника

.

26. Электрическое сопротивление последовательно соединенных проводников

.

27. Электрическое сопротивление параллельно соединенных проводников

.

28. Электрическое напряжение на участке цепи

.

29. Закон Ома для однородного участка цепи

.

30. Закон Ома в дифференциальной форме

.

31. Мощность постоянного электрического тока

.

32. Закон Джоуля-Ленца

.

33. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме

.

34. Закон Ома в интегральной форме (для неоднородного участка цепи)

.

35. Закон Ома для замкнутого участка цепи

.

36. Правила Кирхгофа

.

37. Вращающий момент, действующий на рамку с током в магнитном поле,

.

38. Магнитный момент рамки с током

.

39. Связь между индукцией и напряженностью магнитного поля

.

40. Закон Био-Савара-Лапласа

.

41. Индукция магнитного поля прямого тока

.

42. Индукция магнитного поля в центре кругового витка с током

.

43. Сила Лоренца

.

44. Закон Ампера

.

45. Циркуляция вектора индукции магнитного поля в вакууме вдоль замкнутого контура L (закон полного тока)

.

46. Теорема Гаусса для потока вектора индукции магнитного поля

.

47. Закон электромагнитной индукции

.

48. ЭДС самоиндукции

.

49. Индуктивность длинного соленоида

.

50. Энергия магнитного поля, связанного с контуром,

.

51. Объемная плотность энергии магнитного поля

.

52. Полная система уравнений Максвелла в интегральной форме

где

53. Дифференциальное уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний и его решение

54. Формула Томсона

.

55. Дифференциальное уравнение свободных затухающих электромагнитных колебаний и его решение

56. Логарифмический декремент затухания колебаний в электрическом колебательном контуре

.

57. Добротность колебательного контура

.

58. Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний и его решение для установившихся колебаний

59. Амплитуда вынужденных электромагнитных колебаний

.

60. Резонансная циклическая частота и резонансная амплитуда

.

61. Индуктивное сопротивление контура

.

62. Емкостное сопротивление контура

.

63. Полное сопротивление цепи переменного тока

.

64. Сдвиг фаз колебаний напряжения и силы тока

.

65. Закон Ома для цепи переменного тока

.

66. Средняя мощность, развиваемая в цепи синусоидального тока

67. Коэффициент мощности

.

68. Фазовая скорость распространения электромагнитных волн

.

69. Волновые уравнения для векторов и

.

70. Уравнения плоской электромагнитной волны

71. Объемная плотность энергии электромагнитного поля

.

72. Вектор Умова-Пойнтинга (вектор плотности потока электромагнитной энергии)

.

Приложение 5