- •Предисловие
- •Введение
- •I. Электрическое поле
- •I.1. Исходные положения. Основные понятия и определения
- •I.2. Основной закон электростатики
- •I.3. Электростатическое поле. Напряженность поля
- •I.4. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля. Потенциал поля
- •I.5. Связь между силовой и энергетической характеристиками электростатического поля
- •I.6. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме
- •I.7. Диэлектрики в электростатическом поле. Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике
- •I.8. Проводники в электростатическом поле. Конденсаторы
- •I.9. Энергия электростатического поля
- •Краткие выводы
- •Вопросы для самоконтроля и повторения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •II. Постоянный электрический ток
- •II.1. Электрический ток и его характеристики
- •II.2. Закон Ома в дифференциальной форме
- •II.3. Последовательное и параллельное соединение проводников. Электроизмерительные приборы
- •II.4. Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца
- •II.5. Закон Ома в интегральной форме
- •II.6. Расчет разветвленных цепей постоянного тока
- •Краткие выводы
- •Вопросы для самоконтроля и повторения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •III. Магнитное поле
- •III.1. Магнитное поле и его характеристики
- •III.2. Закон Био-Савара-Лапласа
- •III.3. Магнитное поле движущегося заряда. Сила Лоренца
- •III.4. Проводник с током в магнитном поле. Закон Ампера
- •III.5. Циркуляция вектора индукции магнитного поля в вакууме
- •III.6. Теорема Гаусса для магнитного поля в вакууме
- •III.7. Магнитные свойства вещества
- •Краткие выводы
- •Вопросы для самоконтроля и повторения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •IV. Электромагнитная индукция
- •IV.1. Закон электромагнитной индукции
- •IV.2. Явление самоиндукции. Индуктивность контура
- •IV.3. Взаимная индукция
- •IV.4. Энергия магнитного поля
- •IV.5. Практическое применение электромагнитной индукции
- •Краткие выводы
- •Вопросы для самоконтроля и повторения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •V. Элементы теории электромагнитного поля
- •V.1. Вихревое электрическое поле
- •V.2. Ток смещения
- •V.3. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля
- •Краткие выводы
- •Вопросы для самоконтроля и повторения
- •VI. Электромагнитные колебания и волны
- •VI.1. Свободные колебания в rlc-контуре
- •VI.2. Вынужденные колебания. Переменный электрический ток
- •VI.3. Резонанс в электрических цепях
- •VI.4. Источники электромагнитных волн
- •VI.5. Уравнения электромагнитной волны
- •VI.6. Плоская электромагнитная волна
- •VI.7. Энергия и импульс электромагнитной волны
- •Краткие выводы
- •Вопросы для самоконтроля и повторения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •VII. Основы волновой оптики
- •VII.1. Краткая история развития представлений о природе света
- •VII.2. Интерференция света
- •VII.3. Дифракция света
- •VII.4. Поляризация света
- •VII.5. Взаимодействие электромагнитных волн с веществом
- •Краткие выводы
- •Вопросы для самоконтроля и повторения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Основные физические величины и их единицы в си
- •Производные единицы электрических и магнитных величин
- •Элементы векторной алгебры
- •Основные законы и формулы классической электродинамики
- •Некоторые знаменательные события в истории развития электродинамики
- •Оглавление
- •Александр Фёдорович Ан
VI.3. Резонанс в электрических цепях
Резонансом в электрической цепи называется режим участка, содержащего индуктивный и емкостный элементы, при котором угол сдвига фаз колебаний напряжения и тока равен нулю. Резонанс характеризуется рядом особенностей, которые обусловили его широкое применение в радиотехнике, электротехнике, измерительной технике и других областях.
Различают несколько видов резонанса: резонанс напряжений (при последовательном соединении элементов), резонанс токов (при параллельном соединении элементов), резонанс в магнитно-связанных цепях и др.
Резонанс напряжений. Из выражения (6.10) следует, что при последовательном соединении ток в цепи приобретает максимальное значение при , то есть при Этому условию удовлетворяет частота
(6.15)
В этом случае , Z = R → min, падения напря-жения на катушке индуктивности и конденсаторе одинаковы по величине и противоположны по фазе (рис. 6.15). Таким образом, при резонансе напря-жений
,
и
(6.16)
где Q – добротность контура. Так как добротность колебательных контуров больше единицы, то напряжение, как на катушке индуктивности, так и на конденсаторе превышает напряжение U, приложенное к цепи. Из выражения (6.16) следует, что добротность контура показывает, во сколько раз при резонансе напряжение на реактивных элементах больше по величине входного напряжения.
Я вление резонанса напряжений используется в радиотехнике и электронике для усиления колебаний напряжения какой-либо определенной частоты. В электроэнергетике явление резонанса напряжений необходимо учитывать при выборе изоляции высоковольтного оборудования, так как иначе может произойти ее пробой.
Резонанс токов возможен в цепи с параллельным соединением ветвей с параметрами и (рис. 6.16). Между током в неразветвленной части цепи и напряжением имеется некоторый сдвиг фаз . Предположим, что цепь имеет емкостный характер, то есть колебания тока опережают по фазе колебания напряжения. Тогда векторная диаграмма будет иметь вид, приведенный на рис. 6.17.
Разложим вектор тока на две составляющие: активную , находящуюся в фазе с вектором напряжения на зажимах цепи, и реактивную , перпендикулярную к . Из векторной диаграммы следует
(6.17)
Так как
и
то, подставляя эти выражения в (6.17), получим
(6.18)
(6.19)
где g и b – активная и реактивная проводимости цепи.
Найдем соотношение между активной g, реактивной b и полной Y проводимостью цепи. Из векторной диаграммы следует, что модуль действующего значения тока в неразветвленной части цепи равен
(6.20)
Так как полная проводимость Y равна обратной величине полного сопротивления, то из (6.18) и (6.19) следует
(6.21)
В режиме резонанса . Для этого реактивная составляющая тока , а, следовательно, и реактивная проводимость b цепи должны равняться нулю. Для схемы на рис. 6.16 общая реактивная проводимость цепи равна сумме реактивных проводимостей и параллельных ветвей. При резонансе
(6.22)
где
Тогда условие (6.22) примет вид
(6.23)
где – циклическая частота резонанса токов.
Из (6.23) после преобразования имеем
(6.24)
где – характеристическое сопротивление контура.
Анализ выражения (6.24) позволяет сделать ряд выводов:
1. Резонансная частота при резонансе токов зависит не только от параметров реактивных элементов, но и от активных сопротивлений и .
2. Резонанс токов возможен, если сопротивления и или больше , или меньше (в этом случае подкоренное выражение в (6.24) положительное), в противном случае – невозможен ( – мнимая величина).
3. При и , что справедливо для многих цепей, то есть резонансная частота при резонансе токов равна резонансной частоте при резонансе напряжений.
Рассмотрим контур с малыми омическими потерями в режиме резонанса токов.
1. Так как и общее сопротивление контура активное, то полная проводимость контура равна активной проводимости и минимальна:
2. Ток в неразветвленной части цепи
минимальный, что позволяет по показаниям амперметра обнаруживать резонанс токов в контуре при изменении частоты , параметров L или C.
3. Активные и реактивные составляющие токов
Так как , то реактивные составляющие токов при резонансе равны и находятся в противофазе
Векторная диаграмма цепи при резонансе токов приведена на рис. 6.18.
Ток в общей части цепи равен активной составляющей тока
Т оки в ветвях
Если то есть и то и то есть токи в ветвях значительно превышают по величине ток в неразветвленной части цепи. Это свойство – усиление тока – является важнейшей особенностью резонанса токов и широко используется на практике. Отсюда и название этого явления.