VII.3. Дифракция света

Дифракцией света называется явление отклонения света от прямолинейного направления при его распространении в среде с резко выраженной оптической неоднородностью. Вследствие дифракции волны могут проникать через небольшие отверстия в экранах, огибать контуры непрозрачных предметов (попадать в область геометрической тени). Дифракцию можно наблюдать для волн любой природы, в том числе и механических (например, звук хорошо слышен за углом дома). Впервые явление дифракции научно описал и дал ему название Ф. Гримальди (1618-1663).

Для наблюдения явления дифракции света необходимо выполнение специальных условий, так как масштабы этого явления сильно зависят от соотношения размеров препятствия и длины волны. При длине волны, сравнимой с размерами препятствия, дифракция выражена очень сильно; в случае, если значительно меньше размеров препятствия, дифракция выражена слабо, то есть свет распространяется прямолинейно.

Первым явление дифракции попытался объяснить Х. Гюйгенс, выдвинув в 1690 г. принцип построения волнового фронта (принцип Гюйгенса): каждая точка, до которой доходит волновое возмущение, служит центром вторичных волн, а огибающая этих волн дает положение волнового фронта в следующий момент времени (рис. 7.8). В качестве примера рассмотрим плоскую волну, падающую нормально на отверстие в непрозрачном экране (рис. 7.9). Каждая точка приходящегося на отверстие волнового фронта является источником вторичной волны. Построив огибающую вторичных волн для некоторого момента времени, убедимся, что фронт волны заходит в область геометрической тени, то есть свет огибает края отверстия.

Рис. 7.8

Рис. 7.9

Однако принцип Гюйгенса не учитывает периодичность световых волн, что не позволяет объяснить структуру дифракционной картины. Он не затрагивает вопроса об амплитуде, а, следовательно, об интенсивности распространяющихся за препятствием световых волн.

В 1816 г. О. Френель сделал принцип Гюйгенса физически более содержательным, дополнив его положением об интерференции вторичных волн. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, волновое возмущение в любой точке пространства является результатом интерференции вторичных волн, излучаемых каждым элементом некоторой волновой поверхности.

Для того чтобы определить результат дифракции (амплитуду световых колебаний) в некоторой точке пространства, Френель предложил разбивать волновую поверхность на отдельные участки (зоны Френеля) так, чтобы волны, посылаемые двумя соседними зонами в данную точку, приходили в противофазе. Таким образом, световые колебания, возбуждаемые в данной точке пространства двумя соседними зонами, противоположны по фазе и при наложении должны взаимно ослаблять друг друга.

Н айдем в произвольной точке М амплитуду световой волны, распространяющейся в однородной среде от точечного источника S (рис. 7.10). Согласно принципу Гюйгенса-Френеля заменим действие источника S действием фиктивных (вторичных) источников, расположенных на волновой поверхности Ф (поверхности сферы радиуса с центром S). Амплитуда волны в точке М определяется результатом интерференции волн от вторичных источников, то есть необходимо сложить когерентные колебания, возбуждаемые всеми фиктивными источниками на волновой поверхности. Так как расстояния от них до точки М различны, то колебания будут приходить в различных фазах. Наименьшее расстояние от точки М до волновой поверхности равно b. Первая зона Френеля ограничивается точками волновой поверхности, расстояния от которых до точки М равны . Границы второй зоны Френеля определяются соотношением и т. д. Так как колебания от соседних зон проходят до точки М расстояния, отличающиеся на , то в точку М они приходят в противофазе, и наблюдается интерференционный минимум. Поэтому амплитуда результирующего колебания в рассматриваемой точке

(7.3)

где – амплитуды колебаний, возбуждаемых соответственно первой, второй, …, m-зонами.

Общее число зон Френеля, умещающихся на полусфере очень велико, поэтому приближенно можно считать, что амплитуда колебаний от некоторой m-й зоны Френеля равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон

Тогда выражение (7.3) можно записать в виде

(7.4)

Полученный результат показывает, что амплитуда результирующего светового колебания определяется действием только половины центральной зоны Френеля (все остальные вторичные волны гасятся в результате интерференции). Следовательно, распространение света от источника S к точке М происходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль SM, то есть прямолинейно. Таким образом, принцип Гюйгенса-Френеля позволяет объяснить прямолинейное распространение света в однородной среде.

Поместим теперь на пути сферической волны, распространяющейся от точечного источника S, препятствие в виде непрозрачной пластины с круглым отверстием (дифракция на круглом отверстии). Для наблюдения дифрак-ционной картины параллельно плоскости отверстия на расстоянии b расположен экран (рис. 7.11).

Р азобьем открытую часть волновой поверхности на зоны Френеля. Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, укладывающихся на ширине отверстия. Амплитуда результирующего светового колебания, возбуждаемого в точке М всеми зонами

где знак «плюс» соответствует нечетному числу m зон Френеля, знак «минус» – четному числу зон Френеля.

Когда отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда результирующего колебания (интенсивность света) в точке М будет больше, чем при свободном распространении волны, если четное – то амплитуда будет равна нулю. Если в отверстие укладывается одна зона Френеля, то в точке М амплитуда , то есть вдвое больше, чем при отсутствии препятствия [см. формулу (7.4)]. Таким образом, дифракционная картина от круглого отверстия вблизи точки М будет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке М: если m четное, то в центре будет темное кольцо, если m нечетное – светлое кольцо, причем интенсивность убывает с увеличением расстояния от центра картины.

Дифракция на щели плоских световых волн. Пусть на узкую щель шириной , расположенную в непрозрачной преграде, нормально падает плоская монохроматическая световая волна (рис. 7.12). За щелью помещена собирающая линза, в фокальной плоскости которой расположен экран для наблюдения дифракционной картины.

По принципу Гюйгенса-Френеля освещенная щель является источником вторичных световых когерентных волн, распространяющихся по всем направлениям и способных интерферировать друг с другом.

Рассмотрим направление, параллельное главной оптической оси линзы Л и совпадающее с направлением падающей волны ( ). Линза соберет световые лучи этого направления в своем главном фокусе F. Все эти лучи до точки F проходят одинаковые оптические пути, поэтому в нее они придут в одинаковой фазе и, интерферируя, усилят друг друга. Следовательно, в главном фокусе линзы всегда наблюдается максимум интенсивности I света, который имеет вид ярко освещенной полосы, параллельной щели.

Р ассмотрим теперь лучи, идущие под углом к первоначальному направлению распространения волны. Эти лучи линза соберет в точке М. Чтобы узнать, каков результат интерференции вторичных волн в данном случае, сделаем следующие построения. Проведем перпендикуляр DC к направлению распространения вторичных волн. Тогда оптическая разность хода между лучами, идущими от крайних точечных источников D и N, равна

Далее воспользуемся методом зон Френеля. Для определения числа зон Френеля на участке разобьем его на отрезки, равные половине длины волны λ/2, и через точки разбиений проведем плоскости, параллельные DC. Эти плоскости разделят щель на зоны Френеля, которые в данном случае представляют собой полоски, параллельные краям щели.

Число зон, укладывающихся в щели, зависит от длины волны и угла ( ). В свою очередь, от числа зон Френеля зависит результат наложения всех вторичных волн. Если число зон Френеля четное, то есть выполняется условие

(7.5)

то в точке М наблюдается дифракционный минимум (вторичные волны, идущие от двух соседних зон, погасят друг друга).

В направлениях, которым соответствует нечетное число зон Френеля, укладывающихся в щели, то есть при выполнении условия

(7.6)

наблюдается дифракционный максимум, обусловленный действием одной некомпенсированной зоны Френеля.

Из условий (7.5) и (7.6) можно найти направления лучей на точки экрана, в которых интенсивность света равна нулю

(7.7)

или максимальна

(7.8)

Распределение интенсивности на экране, получаемое вследствие дифракции, называют дифракционным спектром. При неизменной ширине щели максимумы интенсивности света различной длины волны приходятся на различные углы. Если щель освещать белым светом, то центральный (нулевой) максимум будет белым, а по обе стороны от него расположатся цветные максимумы первого порядка: согласно (7.8) красный свет ( ) отклонится на больший угол, чем фиолетовый ( ). Между ними расположатся остальные цвета спектра.

Дифракционная решетка. Использование дифракции света на одной щели затруднено из-за слабой видимости дифракционной картины. Поэтому в практических целях применяется специальное устройство – дифракционная решетка.

Дифракционная решетка – спектральный прибор, предназначенный для разложения света в спектр и измерения длины световой волны. Простейшая одномерная решетка представляет собой совокупность большого числа регулярно расположенных препятствий и щелей на металлической или стеклянной пластинке (лучшие металлические решетки имеют до 2000 штрихов на один миллиметр поверхности, общая длина решетки составляет 100-150 мм).

Если ширина каждой щели равна а, а ширина непрозрачных участков между щелями b, то величина называется периодом или постоянной дифракционной решетки.

Д ифракционная картина на решетке определяется как результат интерференции волн, идущих от всех щелей (многолучевая интерференция света).

Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально плоскости решетки (рис. 7.13). Так как щели находятся друг от друга на одинаковых расстояниях, то разность хода лучей, идущих от двух соседних щелей, будет для данного направления одинакова в пределах всей дифракционной решетки:

В направлениях (то есть для таких углов φ), в которых световые волны ни от одной из щелей не распространяются (свет от разных частей каждой щели полностью гасится в результате интерференции), они не будут распространяться и при N щелях. Следовательно, главные минимумы интенсивности будут наблюдаться в направлениях, для которых выполняется условие (7.5):

Вследствие взаимной интерференции волн действие одной щели будет усиливать действие другой, если

(7.9)

Соотношение (7.9) выражает условие главных максимумов.

Кроме главных максимумов имеется большое число очень слабых побочных максимумов, разделенных дополнительными минимумами. Условие дополнительных минимумов имеет вид

(7.10)

где р=1, 2, 3,…, кроме N, 2N, 3N и т.д.; N – число штрихов решетки.

Таким образом, после падения плоской волны на дифракционную решетку происходит интерференция волн, дифрагировавших на щелях, что и обусловливает сложную дифракционную картину на экране.

Анализ соотношения (7.9) позволяет:

а) определить число главных максимумов, даваемое дифракционной решеткой; так как , то

(7.11)

б) сделать вывод, что различным длинам волн соответствуют разные углы, на которых наблюдаются интерференционные максимумы; на этом основано главное свойство дифракционной решетки – разложение немонохроматического (например, белого) света в спектр;

в) сделать вывод о целесообразности изготовления решеток с малым периодом; так как

ясно, что большие дифракционные углы, то есть более широкий спектр дают решетки с малым периодом d (с большим числом штрихов на единицу длину).

При освещении дифракционной решетки немонохроматическим светом (например, солнечным), содержащим волны разной длины, решетка разлагает свет в спектр. Из выражения (7.9) следует, что положение главных максимумов зависит от длины волны: чем больше , тем дальше от центра располагается соответствующий максимум. Однако, чем меньше различие двух длин волн и , тем ближе они располагаются на экране. При предельной близости длин волн и их главные максимумы накладываются друг на друга, так что раздельно наблюдать их становится невозможно.

Для того чтобы прибор позволил достаточно точно зафиксировать обе спектральные линии, то есть разрешить их, необходимо выполнение критерия Рэлея: изображения двух близлежащих одинаковых точечных источников или двух близлежащих спектральных линий с равными интенсивностями и симметричными одинаковыми контурами разрешимы (разделены для восприятия), если центральный максимум дифракционной картины от одного источника (линии) совпадает с первым минимумом дифракционной картины от другого (рис. 7.14, а). Если критерий Рэлея нарушен, то наблюдается одна линия (рис. 7.14, б).

Р азрешающей способностью (разрешающей силой) дифракционной решетки называется безразмерная величина

(7.12)

Как следует из формулы (7.12), высокую разрешающую способность имеют решетки с большим числом штрихов N при наблюдении спектров высокого порядка m. Современные спектральные приборы содержат дифракционные решетки с числом штрихов 500-2000 на 1 мм.

Угловая дисперсия дифракционной решетки определяется величиной

(7.13)

Дифференцируя выражение (7.9), получим

следовательно, угловую дисперсию дифракционной решетки можно определить по формуле

(7.14)