Вопросы для самоконтроля и повторения

1. Что является причиной возникновения вихревого электрического поля? Чем оно отличается от электростатического поля?

2. Чему равна циркуляция вектора напряженности вихревого электри-ческого поля?

3. Для чего введено понятие тока смещения? Что он собой по существу представляет?

4. Запишите обобщенную теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля.

5. Запишите полную систему уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах, объясните физический смысл каждого из уравнений.

6. Запишите полную систему уравнений Максвелла для стационарных полей и объясните физический смысл каждого из уравнений.

7. Какие основные выводы можно сделать на основе электромагнитной теории Максвелла?

8. Полная система уравнений Максвелла для электромагнитного поля имеет вид

.

Для какого переменного электромагнитного поля справедлива приведенная ниже система уравнений?

.

VI. Электромагнитные колебания и волны

VI.1. Свободные колебания в rlc-контуре

Электромагнитными колебаниями называют периодические процессы, при которых происходят взаимосвязанные изменения электрических параметров (зарядов, токов, напряжений) и превращения энергии электрического и магнитного полей.

Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур – электрическая цепь, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкостью С, катушки индуктивностью L и резистора сопротивлением R.

Рассмотрим колебательный процесс в идеализированном контуре, сопротивление которого (рис. 6.1, а). Для возбуждения в контуре колебаний конденсатор предварительно заряжают от внешнего источника. Тогда в начальный момент времени t=0 между обкладками конденсатора возникает электрическое поле, энергия которого . Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, он начнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со временем ток i (рис. 6.1, б). В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки ( ) – возрастать.

Так как , то, согласно закону сохранения энергии, полная энергия контура

так как она не рассеивается на нагрев. Поэтому в момент , когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля обращается в нуль, а энергия магнитного поля (а, следовательно, и ток) достигает максимального значения. Начиная с этого момента, ток в контуре будет убывать, начнет ослабевать магнитное поле катушки и в ней индуцируется ток, который по правилу Ленца течет в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникает электрическое поле, стремящееся ослабить ток, который к моменту обращается в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигает максимума. Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении, и система к моменту времени вернется к первоначальному состоянию. После этого рассмотренный цикл разрядки и зарядки конденсатора будет повторяться, то есть в контуре совершаются периодические незатухающие колебания заряда q конденсатора, напряжения на его обкладках и тока, протекающего через катушку.

В идеальном контуре ЭДС самоиндукции, возникающая при изменении тока, равна напряжению на обкладках конденсатора , то есть

Учитывая, что , получаем

(6.1)

Полученное дифференциальное уравнение аналогично рассмотренному в курсе механики уравнению . Таким образом, свободные незатухающие колебания электрического заряда в идеальном контуре происходят с циклической частотой

(6.2)

а период этих колебаний определяется формулой Томсона

(6.3)

Решением уравнения (6.1) является гармоническая функция

, (6.4)

где – максимальный заряд на обкладках конденсатора.

По гармоническому закону изменяется не только заряд конденсатора, но и напряжение на его обкладках, и сила тока в контуре:

(6.5)

(6.6)

г де – амплитуда напряжения на обкладках конденсатора, – амплитуда силы тока в контуре.

Из выражений (6.4), (6.5) и (6.6) следует, что колебания заряда (напряжения) и тока в контуре сдвинуты по фазе на , то есть ток достигает максимального значения в те моменты времени, когда заряд (напряжение) на обкладках конденсатора равен нулю, и наоборот (рис. 6.2).

Уравнение (6.1) можно получить, пользуясь законом сохранения энергии. Найдем производную по времени от полной энергии колебательного контура:

Учитывая, что и , получим

.

Так как в идеальном контуре то и, следовательно,

В реальном колебательном контуре (рис. 6.3) , поэтому энергия колебаний будет частично рассеиваться в виде джоулевой теплоты и амплитуды колебаний электри-ческого заряда, напряжения на обкладках конденсатора и силы тока в контуре со временем уменьшаются. Записав для такого контура уравнение по второму правилу Кирхгофа, получим

или

(6.7)

Сравнивая это уравнение с дифференциальным уравнением свободных затухающих колебаний линейной системы

видим, что для электрического колебательного контура коэффициент затухания равен

Решение уравнения (6.7) имеет вид

где

Очевидно, что если , как частный случай получаем циклическую частоту свободных незатухающих колебаний

Разделив зависимость на величину емкости С конденсатора, получим закон изменения во времени напряжения на его обкладках:

Зависимость силы тока в контуре от времени

.

Добротность колебательного контура

П ри увеличении сопротивления R контура коэффициент затухания увеличивается, частота колебаний уменьшается, период возрастает и при обращается в бесконечность. Это означает, что процесс перестает быть периодическим, колеблющаяся величина асимптотически приближается к нулю. Такой процесс называют апериодическим (рис. 6.4). Сопротивление контура, при котором вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора, называется критическим.