7. Прогнозирование методом конечных разностей.

Допустим, что мы имеем ряд динамики у₀, у₁, у₂….у_n

Вычислим для него первые разности:

∆⁽¹⁾_k = y_k+1 - ∆_k k = 0,1,2...n-1 (1)

вторые разности:

∆⁽²⁾_k = ∆⁽¹⁾_k+1 - ∆⁽¹⁾_k = y_k+2 - 2 y_k+1 - y_k (2)

третьи разности:

∆⁽³⁾_k = ∆⁽²⁾_k+1 - ∆⁽²⁾_k = y_k+3 - 3y_k+2 - 3y_k+1 - y_k и т.д. (3)

Общая формула P-й разности будет:

∆^(р)_k = y_k+P- Py_k+P-1+y_k+P-2-y_k+P-3+(-1)^Py₀.

Любой член y_i (1…n) ряда динамики можно выразить через начальный уровень ряда у₀ и конечные разности. Так

; ; но

поэтому и т.д. (5)

откуда получаем:

t=(0,1,2,….n).

Поскольку числовая характеристика времени есть арифметическая прогрессия, можно воспользоваться теоремой: Если коэффициент разности функции, образованной для значений аргумента, изменяющегося в арифметической прогрессии, постоянны, то функция представляет собой многочлен. Значит, если коэффициент разности будут равны, то последнюю формулу можно оборвать на (к+1)-м числе, чтобы получить закономерность, изложения ряда динамики. Если первые разности не равны, но варьируют с незначительным отклонением друг от друга, а средняя арифметическая вторых разностей настолько мала, что его можно пренебречь, то первые разности можно считать практически равными. Тогда обрывая последнюю формулу на втором члене и за коэффициент при t берем среднюю арифметическую первых разностей (7)

Пренебрегая величиной средней арифметической вторых разностей, мы тем самым полагаем, что тенденция ряда динамики есть прямая линия. Определяем параметры этой прямой исходя из того, что уровни ряда динамики представляют собой арифметическую прогрессию. Сумма членов такого ряда:

(8)

Откуда (9)

т.к. ; ;

но ; ; t = 0,1,2,…..n

Подсчитаем найденное значение у₀ в формулу (7)

. (10)

Окончательно закономерность изменения ряда динамики при равных или почти равных первых разностях уровней этого ряда будет иметь вид:

(11)

где: - средний уровень динамики;

- средняя арифметическая первых разностей;

- независимая переменная (время).

Если, вторые разности, мы придем к выводу, что их можно считать практически равными, то в формуле (6) оставляем три члена и вычисляем коэффициенты параболы второго порядка, получаем ряд динамики:

(12)

где: - средний уровень ряда;

- средняя арифметическая первых разностей;

- средняя арифметическая вторых разностей;

n – число уровней ряда динамики;

- независимая переменная (время).

Метод выравнивания рядов динамика с помощью конечных разностей по сравнению с методом наименьших квадратов требует меньшего количества различных вычислений. С помощью метода конечных разностей мы находим ту же линию, что и методом наименьших квадратов, ибо параметры уравнений, полученные обоими методами равны.

8. Классическая модель рыночной экономики.

Класс-кая модель эк-ки даст ответ на задачу поиска равновесия в эк-ке в условиях полной занятости. Кейнс видел свою задачу в том, чтобы показать, что равновесие при полной занятости не является общим случаем. Общий случай - это равновесие при наличии безработицы, а полная занятость - лишь особый случай. Чтобы достигнуть желаемого состояния полной занятости, государство обязано проводить особую политику по ее достижению, поскольку автом-ски дейст-щие рын. силы без этой поддержки не гарантируют ее достижения.

Класс-кая модель экономики математически описывается как система взаимосвязанных моделей, каждая из которых выражает поведение одного из 3-х рынков: рабочей силы, денег и товаров.

Рынок рабочей силы

,

где P- цена продукта;

L- число занятых;

W - ставка заработной платы;

L- кривая предложения;

Lкривая спроса.

Рынок денег

,

где MS - предложение денег; МD - спрос на деньги; К - фиксированный коэффициент; Y - валовой внутренний продукт в натуральном выр ажении.

Рынок товаров

Y=Y(L⁰), E=C(r) + I(r); Y(L⁰) = C(r⁰) + I(r⁰) =Y⁰,

где	E - сумма спроса; C - сумма потребления; I - сумма накопления; r - норма процента; Y(L0) - кривая предложения товаров; Y0- кривая спроса на товары.

В классической модели каждый рынок задается кривыми спроса и предложения и точкой равновесия. Достаточно одному из рынков выйти из состояния равновесия, как все остальные рынки выйдут из этого состояния и потом будут стремиться к некоторому состоянию динамического равновесия.

Модель Кейнса в целом записывается в следующем виде:

Рынок рабочей силы

.

Рынок денег

,

где Lq - спрос на облигации в зависимости от процентной ставки.

Рынок товаров

Y=Y(L), E=C(Y) + I(r), .

Основное новшество модели Кейнса, по сравнению с классической состоит в следующем:

1. Равновесие на рынке товаров достигается при равенстве планируемого спроса и фактического предложения.

2. Фактический спрос на рабочую силу определяется фактически востребованным продуктом, и, следовательно, равновесие на рынке рабочей силы может быть достигнуто, когда рынок товаров находится в равновесии.Эти выводы требуют пояснения.

Предположим, что равновесие устан-лось при занятости Lo<L⁰. Тогда для того, чтобы добиться полной занятости L⁰, надо увел-ть выпуск продукции до Y⁰=F( K,L⁰), где К - фонды, что потребовало бы сместить кривую LM в положение LM⁰. Такое смещение м. обесп-ть при экзогенном заданном предл-нии денег M^Sи фикс-ных коэф-тах только путем сниж-я цен р, но сниж-е цен при фикс-нной ставке зарплаты в модели Кейнса не заложено. След-но, для перехода к полной занятости нужна специальная гос-ная политика.

Общая картина установления равновесия.

В 1ом квадранте изображены кривые IS, LM, в 4ом квадранте - производная функция экономики ПФ как функция, в 3ем квадранте - кривые спроса и предложения на рабочую силу.

Причинные связи направлены от рынков товаров и денег к рынку рабочей силы через производственную функцию, и рынок труда не является определяющим. Равновесие на рынке труда в рассм-мом примере установится в точке А, то есть произойдет сниж-е численности занятых, и необходимы определенные меры государства.