31. Метод экспоненциального сглаживания (мэс).
МЭС – один из наиболее распростр-х методов оценки пар-ров завис-тей. Экспоненциальное сглаживание – весьма эффективный и надежный метод прогнозирования. Достоинство МЭС – возможность учета весов исходной информации, простота вычислительных операций, гибкость описания различных динамик процессов.
МЭС дает возможность получить оценку параметров тренда, характеризующих не средний уровень процесса, а тенденцию, сложившуюся к моменту последнего наблюдения. Наибольшее применение этот метод нашел для реализации среднесрочных прогнозов.
Для МЭС основным и наиболее трудным является выбор параметров сглаживания , начальных условий и степени прогнозируемого... полинома.
Исходный динамический ряд описывается уравнением
МЭС
является обобщением метода скользящего
среднего, позволяет построить такое
описание процесса (указанного уравнением),
при кот-м более поздним наблюдениям
придаются большие веса по сравнению с
ранними наблюдениями, причем веса
наблюдений убывают по экспоненте
где
S
-
экспоненциальная средняя k-го
порядке для ряда Yt;
-
параметр сглаживания.
В расчетах для определения экспоненциальной средней пользуются рекуррентной формулой
Используя
рекуррентную формулу экспоненциальной
средней можно получить оценки начальных
условий
В частности, для линейной модели
S
,
S
,
где a0 - оценка первого коэфф-та уравнения;
=1-- оценка второго коэфф-та уравнения.
Для квадратичной модели
Зная
начальные условия
и
значения параметра ,
можно вычислить экспоненциальные
средние S
.
Оценки коэффициентов прогнозируемого полинома определяются из теоремы Брауна-Мейера.
Для линейной модели получаем:
,
.
Для квадратичной модели:
;
Прогноз
реализуется по выбранному многочлену:
для
линейной модели
для
квадратичной модели
где - период прогноза.
Важную роль в МЭС играет выбор оптимального параметра сглаживания , т.к. именно он определяет оценки коэфф-тов модели, а =>, и результаты прогноза.
В зависимости от величины параметра прогнозные оценки по-разному учитывают влияние исходного ряда наблюдений в формирование тренда, а влияние начальных условий быстро убывает. Чем больше , тем больше вклад последних наблюдений в формирование тренда, а влияние начальных уровней быстро убывает. При малом прогнозные оценки учитывают все наблюдения, при этом уменьшение влияния более “старой” информации происходит медленно.
Приближенную оценку определяют из двух основных соотношений:
1) выводится
из условия равенства скользящей и
экспоненциальной средней
,
где N - число точек ряда, для которых
динамика ряда считается однородной и
устойчивой.
2) соотношения
Мейера
где
-
среднеквадратическая ошибка модели;
-
среднеквадратическая ошибка исходного
ряда.
Выбор параметра целесообразно связывать с точностью прогноза, поэтому для более обоснованного выбора можно использовать процедуру обобщенного сглаживания связывающую дисперсию и параметр сглаживания для линейной модели
,
для квадратичной модели
,
для обобщенной модели вида
,
дисперсия прогноза имеет вид
