§ 6. Свойства степеней с натуральными показателями

№ 181

а) x

2

· x

3

= x

5

; б) y

6

· y

4

= y

10

; в) z

5

· z

12

= z

17

; г) t

10

· t

24

= t

34

.

№ 182

а) a5

· a = a6

; б)b · b6

= b7

; в)c

7

· c = c

8

; г)d n

· d = d n+1

.

№ 183

а) s

3

· s

5

· s

8

= s

3 + 5+ 8

= s

16

; б) r

14

· r

12

· r

51

= r

14 + 12 + 51

= r

67

.

в) m13

· m8

· m = m13 + 8 + 1

= m22

; г) n4

· n · n10

= n4 + 1 + 10

= n15

.

№ 184

а) u15

· u23

· u · u7

= u15 + 23 + 1 + 7

= u46

; б) r

4

· r

12

· r

51

= r

4 + 12 +51

= r

67

;

в) v

3

· v

9

· v

4

· v = v

3 + 9 + 4 + 1

= v

17

; г) q13

· q8

· q7

· q21

= q13 + 8 + 7 + 21

=q49

.

№ 185

а) ( a – b )

3

· ( a – b )

2

= ( a – b )

3 + 2

= ( a – b )

5

;

б) ( c + d )

7

· ( c + d )

8

= ( c + d )

7 + 8

= ( c + d )

15

;

в) ( q + r )

15

· ( q + r )

8

= ( q + r )

15 + 8

= ( q + r )

23

;

г) ( m – n )

5

· ( m – n )

4

= ( m – n )

5 + 4

= ( m – n )

9

.

№ 186

а) ( ax )

5

· ( ax )

7

· ( ax ) = ( ax )

5 + 7 + 1

= ( ax )

13

;

б) ( cd )

8

· ( cd )

8

· ( cd ) = ( cd )

8 + 8 + 1

= ( cd )

17

;

в) ( cd )

8

· ( cd )

8

· ( cd ) = ( cd )

8 + 8 + 1

= ( cd )

17

;

г) (– pq)

13

· (– pq) · ( pq ) = (– pq)

13 + 1

· ( pq ) = ( pq )

15

.

№ 187

а) x

7

· x

18

; б) x

9

· x

16

; в) x

24

· x; г) x · x

24

.

№ 188

а) r

3

· ∗ = r

11

; б) ∗ · r

14

= r

10

; в) r

13

· ∗ · r

18

= r

43

; г) ∗ · r

21

· r

11

= r

40

;

11 – 3 = 8; 10 – 14 = –4; 43 – 13 – 18 = 12; 40 – 21 – 11 = 8;

r

3

· r

8

= r

11

; r

–4

· r

14

= r

10

; r

13

· r

12

· r

18

= r

43

; r

8

· r

21

· r

11

= r

40

.

№ 189

а) r

12

· ∗ · r

3

· ∗ = r

26

; в) ∗ · r

7

· ∗ · r

9

· r

13

= r

48

;

26 – 12 – 3 = 11; 48 – 7 – 9 – 13 = 19;

11 = 5 + 6; 19 = 9 + 10;

r

12

· r

5

· r

3

· r

6

= r

26

; r

9

· r

7

· r

10

· r

9

· r

13

= r

48

;

б) r

44

· ∗ · r

· ∗ = r

51

; г) r · r

14

· ∗ · r

20

· ∗ = r

72

;

51 – 44 – 1 = 6; 72 – 1 – 14 – 20 = 37;

6 = 3 + 3; 37 = 17 + 20;

r

44

· r

3

· r

· r

3

= r

51

; r · r

14

· r

17

· r

20

· r

20

= r

72

.

№ 190

а) 25

· 24

= 25 + 4

= 29

= 512; б) 33

· 32

= 33 + 2

= 35

= 243;

в) 72

· 7 = 72 + 1

= 73

= 343; г) 9 · 92

= 91 + 2

= 93

= 729. 30

№ 191

а) 4 · 2 = 22

· 2 = 22 + 1

= 23

; б) 32 · 8 = 25

· 23

= 25 + 3

= 28

;

в) 64 · 512 = 26

· 29

= 26 + 9

= 215

; г) 16 · 32 = 24

· 25

= 24 + 5

= 29

.

№ 192

а) 5 · 25 = 5 · 52

= 51 + 2

= 53

; б) 53

· 625 = 53

· 54

= 53 + 4

= 57

;

в) 54

· 125 = 54

· 53

= 54 + 3

= 57

; г) 59

· 3125 = 59

· 55

= 59 + 5

= 514

.

№ 193

а) a = (– 13)

9

· (– 13)

8

; б) a = (– 17)

17

· (– 17)

71

;

9 + 8 = 17 – нечетное. 17 + 71 = 88 – четное.

Ответ: отрицательное. Ответ: положительное.

в) а = (– 28)

2

· (– 28)

6

; г) а = (– 43)

41

· (– 43)

14

;

2 + 6 = 8 – четное. 41 + 14 = 55 – нечетное.

Ответ: положительное. Ответ: отрицательное.

№ 194

а) x · 73

= 75

; б) 122

· x = 123

; в) 46

· x = 48

; г) x · 56

= 59

;

x = 75

: 73

; x = 123

: 122

; x = 48

: 46

; x = 59

: 56

;

x = 72

; x = 121

; x = 42

; x = 53

;

x = 49. x =12. x =16. x = 125.

Ответ: 49. Ответ: 12. Ответ: 16. Ответ: 125.

№ 195

а) x

7

: x

4

= x

7 – 4

= x

3

; б) y

16

: y

12

= y

16 – 12

= y

4

;

в) z

13

: z = z

13 – 1

= z

12

; г) m28

: m27

= m28 – 27

= m1

= m.

№ 196

а) a12

: a10

: a = a12 – 10 – 1

= a1

= a; б) b45

: b15

: b29

= b45 – 15 – 29

= b1

= b;

в) c

3

: c : c = c

3 – 1 – 1

= c

1

= c; г) d43

: d14

: d5

= d43 – 14 – 5

= d24

.

№ 197

а) (a – b)

3

: (a – b)

2

= (a – b)

3 –2

= (a – b)

1

= (a – b);

б) (z + r)

13

: (z + r)

8

: (z + r)

3

= (z + r)

13 – 8 – 3

= (z + r)

2

;

в) (c + d)

8

: (c + d)

5

= (c + d)

8 – 5

= (c + d)

3

;

г) (m – n)

42

: (m – n)

12

: (m – n)

29

= (m – n)

42 – 12 – 29

= (m – n)

1

= (m – n).

№ 198

а) 1013

: 108

= 1013 – 8

= 105

= 100000; б) 1217

: 1216

= 1217 – 16

= 12;

в) (–324)

3

:(–324)

2

=(– 324)

3 – 2

= –324; г) 0,75127

:0,75126

=0,75127 – 26

=0,751;

№ 199

а)

8

5

7

7

= 73

= 343; б)

7

5

0,6

0,6

= 0,62

= 0,36;

в)

()

()

6

2

0,2

0,2

−

−

= (– 0,2)

4

= 0,0016; г)

4

3

1

1

3

1

1

3

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

=

1

1

1

3

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

=

1

1

3

. 31

№ 200

а)

18

1

1

3

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

:

17

1

1

3

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

=

18 17

1

1

3

−

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

=

1

1

3

;

б)

6

1

2

7

⎛⎞

− ⎜⎟

⎝⎠

:

4

1

2

7

⎛⎞

− ⎜⎟

⎝⎠

=

64

1

2

7

−

⎛⎞

− ⎜⎟

⎝⎠

=

2

15

7

⎛⎞

− ⎜⎟

⎝⎠

=

225

49

=

29

4

49

;

в)

23

2

3

9

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

:

21

2

3

9

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

=

23 21

2

3

9

−

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

=

2

29

9

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

=

841 31

10

81 81

= ;

г)

15

7

1

8

⎛⎞

− ⎜⎟

⎝⎠

:

14

7

1

8

⎛⎞

− ⎜⎟

⎝⎠

=

15 14

7

1

8

−

⎛⎞

− ⎜⎟

⎝⎠

=

1

7

1

8

⎛⎞

− ⎜⎟

⎝⎠

=

7

1

8

− .

№ 201

а) x

5

: x

2

= x

3

; б) x

18

: x

7

= x

11

; в) x

49

: x

36

= x

13

; г) x

104

: x

5

= x

99

.

№ 202

а) x

52

: x

10

: x

2

= x

52 – 10 – 2

= x

40

; б) r

44

· r

20

· r : r

14

= r

44 + 20 + 1 – 14

= r

51

;

в) x

45

: x

30

: x

15

· x = x

45 – 30 – 15 + 1

= x; г) x

100

: x

26

: x = x

100 – 26 – 1

= x

73

.

№ 203

а) 128 n

: 12856

= 12842

; n – 56 = 42; n = 98; Ответ: 98.

б) 2163

: 216 n

= 216; 3 – n =1; n = 2; Ответ: 2.

в) 395 n

: 395 = 3959

; n – 1 = 9; n = 10; Ответ: 10.

г) 5484

: 548 n

= 5483

; 4 – n = 3; n = 1; Ответ: 1.

№ 204

а) x : 25

= 23

; б) 36

: x = 34

; в) 78

: x = 74

; г) x : 52

= 5;

x = 23

· 25

; x = 36

: 34

; x = 78

: 74

x = 5 · 52

;

x = 28

; x = 32

; x = 74

;

x = 53

;

x = 256. x = 9. x = 2401. x = 125.

Ответ: 256. Ответ: 9. Ответ: 2401. Ответ: 125.

№ 205

а)

312

31214 1

14

77

777

7

+− ⋅

=== ; б)

15 7

19

10 10

10

⋅

= 1015 + 7 – 19

= 103

= 1000;

в)

13

12

15 15

15

⋅

= 151 + 13 – 12

= 152

= 225; г)

12 12

12 11

65 11

43 43

43 43

43 43 43

−

= ==

⋅

.

№ 206

а)

()

3 12 15

2

13 13

0,3 0,3 0,3

0,3 0,09

0,3 0,3

⋅

=== ; б)

16 17

2

15 15

777

749 888

864 77

88

⎛⎞ ⎛⎞

⋅

⎜⎟ ⎜⎟

⎛⎞ ⎝⎠ ⎝⎠

=== ⎜⎟

⎝⎠ ⎛⎞ ⎛⎞

⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

; 32

в)

54 9

2

77

0,09 0,09 0,09

0,09 0,0081

0,09 0,09

⋅

=== ;г)

32 5

4

11 1

·

11 33 3

11 381

33

⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞

⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟

⎛⎞ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠

=== ⎜⎟

⎝⎠

.

№ 207

а)

58 13

10

33

xx x

x

xx

⋅

== ; б)

79 16

11

55

yy y

y

yy

⋅

== ;

в)

12 10 22

21 21

cc c

c

cc

⋅

== ; г)

18 12 30

15

15 15

dd d

d

dd

⋅

== .

№ 208

а) ( x

3

)

2

= x

3 · 2

= x

6

; б) ( x

5

)

6

= x

5 · 6

= x

30

;

в) ( x

7

)

12

= x

7 · 12

= x

84

; г) ( x

10

)

13

= x

10 · 13

= x

130

.

№ 209

а) ( 28

)

5

; б) ( 210

)

4

; в) ( 220

)

2

; г) ( 24

)

10

.

№ 210

а) ( m6

)

3

; б) ( m16

)

3

; в) ( a18

)

3

; г) ( b7

)

3

.

№ 211

а) ( 73

)

2

= 73 · 2

= 76

= 117649; б) ( 33

)

2

= 33 · 2

= 36

= 729;

в) ( 42

)

3

= 42 · 3

= 46

= 4096; г) ( 22

)

5

= 22 · 5

= 210

= 1024.

№ 212

а) ( a6

)

5

= a6 · 5

= a30

; б) ( b2

)

7

= b2 · 7

= b14

;

в) ( z

4

)

3

= z

4 · 3

= z

12

; г) ( p12

)

2

= p12 · 2

= p24

.

№ 213

а) ( a3

)

6

· a4

= a3 · 6 + 4

= a22

; б) b5

· ( b3

)

4

= b5 + 3 · 4

= b17

;

в) c

6

· ( c

2

)

3

= c

6 + 2 · 3

= c

12

; г) ( d8

)

4

· d23

= d8 · 4 + 23

= d55

.

№ 214

а)

256 256

7 8 14 7 8 14

:

1

:

aaa a a

a aaa a

+−

+−

⋅

===

⋅

; б)

13 12 3 13 12 3 22

20 4 20 4 1 23

:1

:

bbb b b

b bbb b b

+−

+−

⋅

= ==

⋅

;

в)

317432 317432

19 44 19 44

zz q q z q

zq

zq zq

++

⋅⋅

⋅=⋅=⋅ ;

г)

79 4 63 57 79 4 63 57

24 8

99 96 99 96 16

1 mmmm m m mm

mmmmm

++

⋅⋅

⋅=⋅=⋅= .

№ 215

а) y

3

; б) y

6

; в) y

10

; г) y

20

.

№ 216

а) ( x

5

)

4

· ( x

6

)

7

= x

5 · 4 + 6 · 7

= x

20 + 42

= x

62

;

б) ( y

8

)

2

· ( y

12

)

3

= y

8 · 2 + 12 · 3

= y

16 + 36

= y

52

; 33

в) ( z

13

)

3

· ( z

5

)

9

= z

13 · 3 + 5 · 9

= y

39 + 45

= y

84

;

г) ( t

25

)

2

· ( t

10

)

4

= t

25 · 2 + 10 · 4

= y

50 + 40

= y

90

.

№ 217

а) ( z

5

)

6

: z

7

= z

5 · 6 – 7

= z

30 – 7

= z

23

; б) ( p3

)

4

: p10

= p3 · 4 – 10

= p12 – 10

= p2

;

в) ( u14

)

3

: u20

= u14 · 3 – 20

= u42 – 20

= z

22

;

г) ( q8

)

6

: q70

= q8 · 6 – 70

= q48 – 70

= q– 22

.

№ 218

а)

( )

4 37 34 7 19

4

15 15 15

xx xx

x

xxx

⋅+ ⋅

=== ; б)

( ) ( )

()

74 52 57 24 43

14 314 42 3

yy yy

y

yy y

⋅+⋅

⋅

⋅

= == ;

в)

( )

()

5 35 35 5 20

2

36318 6

cc cc

c

cc c

⋅+

⋅

⋅

=== ; г)

( )

()

3 215 23 15 21

9

34312 4

dd dd

d

dd d

⋅+

⋅

⋅

=== .

№ 219

а) ( x

3

)

n

= x

3n

; б) ( y

n

)

5

= y

5n

; в) (– a4

)

2n

= a8n

; г) (– b3

)

6n

= b18n

.

№ 220

а)

( )

5 63 635 21

3

18 18 18

22 22

28

222

+⋅ ⋅

==== ; б)

( )

3 68 63 8 26

4

22 22 22

55 55

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