§ 31. Взаимное расположение графиков линейных функций

№ 936

Если угловые коэффициенты прямых совпадают, то прямые параллель-

ны, если же их уравнения полностью совпадают, то прямые тоже сов-

падают. В остальных случаях они пересекаются;

а) параллельны; б) пересекаются; в) совпадают; г) пересекаются.

№ 937

Если угловые коэффициенты прямых совпадают, то прямые параллель-

ны, если же их уравнения полностью совпадают, то прямые тоже сов-

падают.

В остальных случаях они пересекаются;

а) совпадают; б) пересекаются; в) параллельны; г) пересекаются.

№ 938

Если угловые коэффициенты прямых совпадают, то прямые параллель-

ны, если же их уравнения полностью совпадают, то прямые тоже сов-

падают.

В остальных случаях они пересекаются;

а) параллельны; б) параллельны; в) совпадают; г) параллельны.

№ 939

а) y = 8x + 12 и y = 8x − 3; б) y = 6x + 5 и y = 6x + 7;

в) y = −7x + 6 и y = 12 − 7x; г) y = 4x − 1 и y = 4x + 11.

№ 940

а) y = 3x + 5 и y = 3x + 7; б) y = −6x − 3 и y = −6x + 1;

в) y = 45x − 9 и y = 45x + 7; г) y = 1,3x + 21 и y = 1,3x − 11.

№ 941

а) y = 6x + 1 и y = 5x − 3; б) y = −6x + 5 и y = 9x − 1;

в) y = 7x + 8 и y = 3x − 4; г) y = 2x − 15 и y = 3x + 2. 189

№ 942

а) y = 2x + 5 и y = 2x −(−5); б) y = 2x − 1 и y = 3x + 3;

в) y = 2x − 6 и y = 3x − 7; г) y = 2x + 17 и y = 3x + 9.

№ 943

а) Задание определено не корректно, потому что какой бы мы число не

поставили вместо звездочки, уравнения прямых не будут идентичны.

б) y = 5x + 8 и y = 5x + 8. в) y = 6x − 3 и y = 6x − 3.

г) Задание определено не корректно, потому что какое бы мы число не

поставили вместо звездочки, уравнения прямых не будут идентичны.

№ 944

а) Задание определено не корректно, потому что какое бы мы число не

поставили вместо звездочки, уравнения прямых не будут идентичны.

б) y = 4,5x − 2 и y = 4,5x − 2; в) y = 0,35x − 3 и y = 0,35x − 3;

г) y = 2x + 5 и y = 2x + 5.

№ 945

а) 2x + 3 = 3x + 2; x = 1, y = 2 · 1 + 3 = 5. Ответ: (1; 5).

б) Задание не корректно, потому что прямые параллельны.

в) 7x + 4 = −x + 4; x = 0, y = 7 · 0 + 4 = 4. Ответ: (0; 4).

г) Задание не корректно, потому что прямые параллельны.

№ 946

а) Прямые совпадают, следовательно, точек пересечения бесконечно

много.

Укажем одну из них (0; 17);

б) −3x + 4 = 2x − 1; 5x = 5; x = 1, y = 2 · 1 − 1 = 1.

Ответ: (1; 1).

в) Прямые совпадают, следовательно, точек пересечения бесконечно

много.

Укажем одну из них (0; −8);

г) −5x + 3 = x − 3; 6x = 6; x = 1, = 1 − 3 = −2.

Ответ: (1; −2).

№ 947

а) Задание не корректно, потому что прямые параллельны.

б) Прямые совпадают, следовательно, точек пересечения

бесконечно много. Укажем одну из них (0; 4).

в) Задание не корректно, потому что прямые параллельны.

г) 79x = 75x; x = 0, y = 79 · 0 = 0.

Ответ: (0; 0).

№ 948

k1 = k2 = 1; m1 = 2; m2 = 0.

№ 949

k1 = k2 = 1; m1 = 2; m2 = 0. 190

№ 950

a1 = 2; a2 = 3; b1 = 5; b2 = 5; 2x + 5 = 3x + 5; x = 0, y = 5;

(0; 5) − точка пересечения.

№ 951

Из того что прямая y = ax + b проходит через начало координат следует,

что b = 0. Значит, уравнение прямой имеет вид : y = ax.

Прямая y = ax проходит через третий координатный угол (она там пере-

секается с прямой y = kx + m). Из этого следует, что a > 0.

Прямая y = kx + m проходит через третий координатный угол значит

либо (k > 0) либо (k < 0 и m < 0). Но второй случай не подходит, потому

что во втором случае прямая y = kx + m проходит через второй коорди-

натный угол.

Итак k > 0. Если m ≥ 0 то прямая проходит через второй координатный

угол (если учитывать, что точка (0; 0) принадлежит второму коорди-

натному углу). Значит, m < 0.

Ответ: a > 0; b = 0; k > 0; m < 0

№ 952

Прямая y = kx + m не проходит через третий координатный угол значит

k < 0 и m > 0 (считается что точка (0; 0) не принадлежит не одному из

координатных углов). Рассмотрим прямую y = ax + b.

1.Случай a ≤ 0, тогда для того чтобы эта прямая проходила через пер-

вый координатный угол, необходимо чтобы b было больше 0.

2.Случай a > 0. Прямая всегда проходит через первый координатный

угол. Но она также должна проходить через третий координатный угол,

что выполнимо только при b > 0.

Ответ: k < 0; m > 0; a − может иметь любое значение; b > 0.

ГЛАВА 7. Функция y = x2

§ 32. Функция y = x

2

и ее график

№ 953

а) y =x2 = 12 = 1; б) y = 32 = 9; в) y = 22 = 4; г) y = 02 = 0.

№ 954

а) y = (− 2) 2 = 4; б) y = (− 1,5) 2; в) y = (− 3) 2; г) y = (− 0,5) 2 = 0,25.

№ 955

а)

9

4

5

9

49

3

7

3

1

2

2 2

= = ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

= ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

= y ; б)

9

4

5

3

7

3

1

2

2 2

= ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

− = ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

− = y ;

в)

16

9

10

16

169

4

13

4

1

3

2 2

= = ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

− = ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

− = y ; г)

16

9

10

4

13

3

1

3

2 2

= ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

= ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

= y .

191

№ 956

а) x

2

= 4; x

2

− 4 = 0; (x − 2)(x + 2) = 0; x = 2; x = − 2;

б) x

2

= 9; x

2

− 9 = 0; (x − 3)(x + 3) = 0; x = 3; x = − 3;

в) x

2

= 1; x

2

− 1 = 0; (x − 1)(x + 1) = 0; x = 1; x = − 1;

г) x

2

= 16; x

2

− 16 = 0; (x − 4)(x + 4)= 0; x = 4; x =− 4.

№ 957

а) x

2

= 0,25; x

2

− 0,25 = 0; (x − 0,5)(x + 0,5) = 0; x = 0,5; x = − 0,5;

б) x

2

= 6,25; x

2

− 6,25 = 0; (x − 2,5)(x + 2,5) = 0; x = 2,5; x = − 2,5;

в) x

2

= 2,25; x

2

− 2,25 = 0; (x − 1,5)(x + 1,5) = 0; x = 1,5; x = − 1,5;

г) x

2

= 0; x = 0.

№ 958

а) 2; − 2;б) 1; − 1;в) 0; 3;г)4; 5.

№ 959

а) 2; 1;б) − 1; 0;в) 0,2; − 0,2;

г) таких значений нет, потому что квадрат числа всегда ≥ 0.

№ 960

а) 22 = 4, значит, принадлежит; б) 32 = 9, значит не принадлежит;

в) 42 = 8, значит, не принадлежит; г) (− 3) 2 = 9 значит принадлежит.

№ 961

а) (0,5) 2 = 0,25, значит, принадлежит;

б) (1,2) 2 = 1,44, значит, не принадлежит;

в) (1,5) 2 = 2,25 значит, не принадлежит;

г) (− 2,5) 2 = 6,25 значит, принадлежит.

№ 962

Точка принадлежит графику функции, если ее координаты x и y удовле-

творяют уравнению функции.

Тогда непосредственной проверкой легко убедиться, что:

а) да; б) да; в) да; г) нет.

№ 963

y = x2;

y 0 1 − 1 2 − 2

x 0 1 1 4 4

а) при x = 0;

б) при −∞<x<0 и при 0<x<+∞;

в) ни при каких x.

X

Y

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0 192

№ 964

а) наибольшее 1; б) наибольшее 9;

наименьшее 0; наименьшее 0;

[− 1;1]; [− 3;2];

в) наибольшее не существует; г) наибольшее 9;

наименьшее 0; наименьшее 0;

(− 2;1]; [− 1;3].

№ 965

а) наибольшее не существует; б) наибольшее 9

наименьшее 0; наименьшее 0;

[− 2;3); [− 3;0];

в) наибольшее 9; г) наибольшее не существует;

наименьшее 0; наименьшее 0;

[− 2;3]; (− 3;2).

№ 966

а) наибольшее 4; б) наибольшее 9;

наименьшее 0; наименьшее (− 1);

(− 2;2]; [− 3;− 1];

в) наибольшее не существует; г) наибольшее не существует;

наименьшее 0; наименьшее 0;

(− 2;3); (− 1;3).

№ 967

а) наибольшее 9; б) наибольшее 9;

наименьшее не существует; наименьшее не существует;

[− 3;−2); ( 2;3];

в) наибольшее 9; г) наибольшее 9;

наименьшее не существует; наименьшее не существует;

(0;3); [− 3;− 1).

№ 968

Во всех пунктах, на отрезках функция возрастает, значит наибольшее

значение и наименьшее получаем на концах отрезка;

а) наибольшее 4; б) наибольшее 22 = 4;

наименьшее 1; наименьшее 02 = 0;

в) наибольшее 12 = 1; г) наибольшее 32 = 9;

наименьшее 02 = 0; наименьшее 22 = 4.

№ 969

а) наибольшее (− 1) 2 = 1; б) наибольшее (− 2) 2 = 4;

наименьшее 02= 0; наименьшее (− 1) 2 = 1;

в) наибольшее (− 2) 2 = 4; г) наибольшее (− 3) 2 = 9;

наименьшее 02 = 0; наименьшее (− 1) 2 = 1.

№ 970

В каждом из этих пунктов промежуткам принадлежит число 0. А как

известно все значения функции y = x2 больше либо равны нулю, причем 193

в нуле функция имеет значение 0, т. е. для всех пунктов наименьшим

значением будет число 0. Установим только наибольшие значения.

а) 12 = 1; б) 32 = 9; в) (− 3) 2 = 9; г) 32 = 9.

№ 971

В каждом из этих пунктов промежуткам принадлежит число 0. А как

известно все значения функции y = x2 больше либо равны нулю, причем

в нуле функция имеет значение 0, т. е. для всех пунктов наименьшим

значением будет число 0.

№ 972

а) 0; б)12 = 1; в) 22 = 4; г) 32 = 9.

№ 973

а) 0; б) 0; в) 0; г) 0.

№ 974

а) x2 = 1; б) x2 = 0; в) x2 = 4; г) x2 = − 3;

x2 − 1 = 0; x = 0; x2 − 4 = 0; решений нет;

x = 1; x = − 1; x = 2; x = − 2; точек пересечения

(1;1), (− 1;1); (0;0); (2;4), (− 2;4); нет.

№ 975

а) x2 = 2x; б) x2 = − 3x; в) x2 = x; г) x2 = − x;

x2 − 2x = 0; x2 + 3x = 0; x2 − x = 0; x2 + x = 0;

x(x − 2) = 0; x(x + 3) = 0; x(x − 1) = 0; x(x + 1) = 0;

x = 0; x = 2; x = 0; x = − 3; x = 0; x = 1; x = 0; x = − 1.

№ 976

а) x2 = x + 2; б) x2 = x − 3;

x2 − x − 2 = 0; x2 − x + 3;

x2 + x − 2x − 2 = 0; 0

4

3

2

4

1 2

= + + − x x ;

x(x + 1) − 2(x + 1) = 0;

4

3

2

2

1

2

− = ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

− x ;

(x + 1)(x − 2) =0; решений нет, значит, нет точек

x = 2; x = − 1; пересечения;

(2;4), (− 1;1);

в) x2 = − x + 2; г) x2 = x − 5;

x2 + x − 2 = 0; x2 − x + 5 = 0;

x2 − x + 2x − 2 = 0; 0

4

3

4

4

1 2

= + + − x x ;

x(x − 1) + 2(x − 1) = 0;

4

3

4

2

1

2

− = ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

− x ;

(x − 1)(x + 2) =0; решений нет, значит, нет точек

x = − 2; x = 1; (− 2;4), (1;1); пересечения. 194

№ 977

а) x2 = 2x + 3; б) x2 = −

3

5

− 5;

x2 − 2x − 3 = 0; 0 5

3

5 2

= + + x x ;

x2 + x − 3x − 3 = 0; 0

36

9

4

36

25

3

5 2

= + + + x x ;

(x + 1)(x − 3) = 0;

36

9

4

6

5

2

− = ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+ x ;

x = 3; x = − 1; решений нет, значит, нет точек

(3;9), (− 1;1); пересечения;

в) x2 = 3 − 2x; г) 5

3

5 2

− = x x ;

x2 + 2x − 3 = 0; 0 5

3

5 2

= + − x x ;

x2 − x + 3x − 3 = 0;

36

9

4

36

25

3

5 2

− = + − x x ;

x(x − 1) + 3(x − 1) = 0;

36

9

4

6

5

2

− = ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

− x ;

(x − 1)(x + 3) =0; решений нет, значит, нет точек

x = − 3; x = 1; (1;1), (− 3;9); пересечения.

№ 978

а) (1;3); б) (− 2;2);

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

в) (0;2); г) (− 2;− 1). 195

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

№ 979

а) (0;+ ∞); б) (− 1;+ ∞);

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

в) (− ∞;− 0,5); г) (− ∞;0).

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

№ 980

а) (− ∞;1]; б) (− ∞;− 2]; 196

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

в) [2;+ ∞); г) [1;+ ∞).

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

№ 981

а) [0,1); б) [0;2);

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

в) (0;3]; г) (0;2,5]. 197

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

№ 982

а) (− 1;3]; б) (− 1;1];

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

в) [− 1;0); г) [− 1;2).

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

№ 983 198

а) наибольшее 22 = 4; б) наибольшее не существует;

наименьшее 0; наименьшее 0;

в) наибольшее (− 2,5) 2 = 6,25; г) наибольшее не существует;

наименьшее 0; наименьшее 0.

№ 984

а) наибольшее не существует; б) наибольшее не существует;

наименьшее 0,52 = 0,25; наименьшее 0;

в) наибольшее не существует; г) наибольшее не существует;

наименьшее 0; наименьшее 0.

№ 985

Везде в этих пунктах в промежутках есть − ∞, значит, наибольшего

значения не существует. Найдем наименьшее значение:

а) 0; б) 0; в) 0; г)

25

1

5

1

2

= ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

− .

№ 986 № 987

A = 0; B = (− 3) 2 = 9, C = 22 = 4, D = − 2 + 3 = 1,

значит, B > A. следовательно, C > D.

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

B

A

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

y = x2

y = 2x + 3

C

D

№ 988

M = 32 = 9, N = − 1, значит M > N.

y = x2

y = x

M

N

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

199

№ 989

y = x

2

; L = (− 1)

2

= 1, N =12

= 1, следовательно, L = N.

L N

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

№ 990

y = x

2

, P = 0, Q = 0; значит, P = Q.

Q

@

P

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

№ 991

y = x

2

; y = x + 2; A = 22 = 4, B = 3 + 2 = 5.

y = x2

y = x + 2

A

B

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

200

№ 992

A = (− 3) 2 = 9, B = − 1 · 3 = − 3; значит, A > B.

№ 993

y = x2. Среди особых промежутков есть значение 0. 02 = 0.

Оно и будет наименьшим, значит R = S.

№ 994

а) x

2

= 2x − 1; б) x

2

= 4x − 4; в) x

2

= − 2x − 1; г) x

2

= − 4x − 4;

x

2

− 2x + 1 = 0; x

2

− 4x + 4 = 0; x

2

+ 2x + 1 = 0; x

2

+ 4x + 4 = 0;

(x − 1) 2 = 0; (x − 2) 2 = 0; (x + 1) 2 = 0; (x + 2) 2 = 0;

x = 1; y = 1. x = 2; y = 4. x = − 1; y = 1. x = − 2; y = 4.

Ответ: (1;1). Ответ: (2;4). Ответ: (− 1;1). Ответ: (− 2;4).