§ 12. Деление одночлена на одночлен

№ 348

а) a3

: a2

= a; б) y

20

: y

18

= y

2

; в) x

8

: x

3

= x

5

; г) z

54

: z

50

= z

4

. 52

№ 349

а)

3

1

x : 3 =

9

1

x; б)

5

1

y : y

50

11

11

10

= ;

в)

5257

:

7495

aa

⎛⎞

−=− ⎜⎟

⎝⎠

; г)

13 26 1

:1

15 45 2

bb

⎛⎞

−−= ⎜⎟

⎝⎠

.

№ 350

а) – 8x : (– 4x) = 2; б) 3c : c = 3; в) 7a : (– a) = – 7; г) – 9b : (– b) = 9.

№ 351

а) 6x

3

: x

2

= 6x; б) – 27y

2

: (– 9y

2

) = 3;

в) – 15z

8

: z

8

= – 15; г) – 90p4

: (– 5p) = 18p3

.

№ 352

а) – 19a : (– 19a) = 1; б) – 45b : (– 15b) = 3;

в) – 100cd : 20cd = – 5; г) 18dy : 6dy = 3.

№ 353

а) 16abc : 8a = 2bc; б) 24pqr : ( – 4pq) = – 6r;

в) – 42cdm : 12c = – 3,5dm; г) – 99xyz : (– 9x) = 11yz.

№ 354

а) 4,8axy : 1,6xy = 3a; б) (– 8,8abc) : 1,1b = – 8ac;

в) – 0,81pqs : 0,009pq = – 90s; г) 6,4xz : (–1,3z) = – 4

13

12

x.

№ 355

а) 18a12

: 6a4

= 3a8

; в) 12a7

y

4

: 6a2

y

3

= 2a5

y;

б) 24b10

: 6b10

= 4; г) 6b5

x

3

: 3b3

x

2

= 2b2

x.

№ 356

а) 44a3

b2

c

6

: 11a2

bc

5

= 4abc; б) 198x

4

y

4

z

2

: 2x

4

y

3

z = 99yz;

в) 144m8

n9

r

4

: 12m2

n7

r = 12m6

n2

r

3

; г) 258p8

q4

r

17

: 3p6

q2

r

15

= 86p2

q2

r

2

.

№ 357

а) некорректно; б) корректно; в) некорректно; г) корректно.

№ 358

а) нет; б) да; в) да; г) нет.

№ 359

а) 30x

5

y

6

z

7

: 6x

2

y

4

z = 5x

3

y

2

z

6

; б) 75a8

b11

c

31

: 5a3

b4

c

10

= 15a5

b7

c

21

;

в) p11

m6

q16

: p3

m2

q7

= p8

m4

q9

; г) d2

n3

z

10

: dnz

5

= dn2

z

5

.

№ 360

а) (5a2

b2

)

3

: (5ab)

2

= 125a6

b6

: 25a2

b2

= 5a4

b4

;

б) (10x

3

y

3

)

4

: (2x

4

y

3

)

2

= 10000x

12

y

12

: 4x

8

y

6

= 2500x

4

y

6

;

в) ( 49z

10

t

14

) : (7zt)

0

= 49z

10

t

14

: 1 = 49z

10

t

14

;

г) (– x

2

y

3

z)

4

: xyz = x

8

y

12

z

4

: xyz = x

7

y

11

z

3

. 53

№ 361

а) (2m2

n2

)4 : (4mn)

2

= 16m8

n8

: 16m2

n2

= m6

n6

;

б) 55p3

q4

: (5pq)

0

= 55p3

q4

: 1 = 55p3

q4

;

в) (– x

2

y

3

z

4

)

5

: (– xyz)

6

= x

10

y

15

z

20

: x

6

y

6

z

6

= x

4

y

9

z

14

;

г) (– 5ac

3

d)

3

: (5cd)

2

= – 125a3

c

9

d3

: 25c

2

d2

= – 5a3

c

7

d.

№ 362

а)

32 5

23

(2 ) ·8

(4 )

cy c y

cy

=

26 5

63

4·8

64

cy cy

cy

=

77

63

32

64

cy

cy

=

1

2

cy

4

;

б)

343

22 49

(9 )

(3 ) ·27

ab

ab ab

=

912

42 49

729

9·27

ab

ab ab

=

3912

2811

9

9·3

ab

ab

= 3ab;

в)

232 154

25

(3 ) ·9

(3 )

x cxc

xc

=

46 154

5105

9·9

3

x cxc

xc

=

41910

5105

3

3

x c

x c

=

1

3

x

9

c

5

;

г)

332 2 3

323

(7 ) ·( )

(2 )

ab ab

ab

−

−

=

66 63

96

49 ·( )

8

ab ab

ab

−

−

=

12 9

96

49

8

ab

ab

= 6

1

8

a3

b3.

.

Глава 4. Многочлены.

Операции над многочленами

§ 13. Основные понятия

№ 366

а) 3a + 4b – многочлен; б) 5x

2

– 3y

2

– многочлен;

в) 5(5x

2

– 12y

2

) – многочлен; г) (a +1)(b – 2) – многочлен.

№ 367

а) 5x

2

– 6x

2

+

1

x

– не многочлен; б)

2

2

3

4

ab

ab

– не многочлен;

в)

2

4

b

+ 12z

2

–

5

ab

– многочлен; г) 0,3p2 + 13p – 1 – многочлен.

№ 368

а) 3x

2

+ 5y +

7

c

– не многочлен; б)

8

4

a

–

6

5

b

+

4

7

c

+

3

9

d

– многочлен;

в) 9x

3

– 4y

2

– 5 – многочлен; г)

5

10

z

+

3

2

z

+

2

5

z

–

1

11

z

– многочлен.

№ 369

а) 5a + 8a2

– 2,5ab; б) 5a – 4ab + 8a2

– 2,5ab;

в) 5a – 4ab + 8a2

; 12a – 2,5ab – a2

; г) 5a – 4ab +

2

1

8a

. 54

№ 370

а) 0,5x

2

+ 12xy + 4xy

2

; б) 0,5x

2

y – xy

2

– 3xy

2

;

в) 0,5x

2

y – xy

2

+ 12xy; –3x

2

y – 0,2xy + 4xy

2

г) 12xy – 3x

2

y +

2

1

4xy

– 0,2xy.

№ 371

а) 5x

2

–3x

2

– x

3

= 2x

2

– x

3

; б) 1,2c

5

+ 2,8c

5

– 4c

5

;

в) 7y

3

+ y

3

+ 12y

3

= 20y

3

; г)

1

2

dn

–

1

3

dn

+

1

6

dn

=

1

3

dn

.

№ 372

а) 5x

2

– 3xy – 2xy = 5x

2

– 5xy;

б) 7a2

b – 5a2

b + ab2

+ 2ab2

= 2a2

b + 3ab2

;

в) 3t

2

– 5t

2

– 11t – 3t

2

+ 5t + 11 = –5t

2

– 6t + 11;

г) z

3

+ 2z

2

+ z

3

– 4z – z

2

= 2z

3

+ z

2

– 4z.

№ 373

а) 4b2

+ a2

+ 6ab – 11b2

– 6ab = –7b2

+ a2

;

б) 3a2

x + 3ax

2

5a3

– 3ax

2

– 8a2

x – 10a3

= –5a2

x – 5a3

;

в) 9x

3

– 8xy – 6y

2

– 9x

3

– xy = – 9xy – 6y

2

;

г) m4

– 3m3

n + n2

m2

– m2

n2

= m4

– 3m3

n.

№ 374

а) m · m · m · m – n · n · n = m4

– n3

;

б) pq · pq – qp · qp = (pq)

2

– (qp)

2

= (qp)

2

– (qp)

2

= 0;

в) 3s · 2r + 2rs + 4r · 8s = 6rs + 2rs + 32rs = 40rs;

г) 12m · 2n – 3m · 4n – 7m · 8n = 24mn – 12mn – 56mn = –44mn.

№ 375

а) 4p3

· 2p+3p2

· 4p+2p2

· 2p2

– 2p3

· 4 = 8p4

+ 12p3

+ 4p4

– 8p3

=12p4

+ 4p3

;

б) y · 2y – 3y – y

2

– 5 + 2y · y – y · 5 + y · 7y

2

=

= 2y

2

– 3y – y

2

– 5 + 2y

2

– 5y + 7y

3

= 7y

3

+ 3y

2

– 8y – 5;

в) x ·

2

3

x+

1

4

x+0,8x – x ·

1

6

x – x =

8

12

x

2

+

3

12

x +

4

5

x –

1

6

x

2

–x=

1

2

x

2

+

1

20

x;

г) 5/6a · a 1/3a – 0,6a · a + a · 0,1a =

5

6

a2

+

1

3

a 0,6a2

+ 0,1a2

=

1

3

a +

1

3

a2

.

№ 376

а) 2x · 4y – 3x · 2y – 0,2x · 5y + y · 5x – 5xy + 8xy =

= 8xy – 6xy – xy + 5xy – 5xy + 8xy = 9xy;

б) x · p · x · x – p · 3px – p · 4x

3

+ 7p · x · p =

= x

3

· p – 3p2

· x – 4x

3

· p + 7p2

· x = 4p2

· x – 3x

3

· p;

в) 7x⋅a⋅x+a · 2a⋅x+x · 9x · a–8a · x · a=7x

2

· a+2a2

x+9x

2

a–8a2

x=10x

2

a– 6a2

x;

г) 15r

3

s – s · r · s · r

2

– 3s · r · r · r + 2r

2

· s · r = 15r

3

s – 5r

3

s + 2r

3

s = 9r

3

s. 55

№ 377

а) 15p + 18p2

+ 4 – 12p + 3p2

– p4

= –p4

+ 21p2

+ 3p + 4;

б) 1,4x

2

– 4,1x

3

+ x – 3,1 + x + 1,3x

3

= –2,8x

3

+ 1,4x

2

+ 2x – 3,1;

в)

4

1

a +

5

3

a2

–

4

3

a2

+

8

7

–

3

2

a = –

20

3

a2

–

12

5

a +

8

7

;

г) 0,2y

4

– 3,5y – 1,2y

4

– 1 + 3,5y = – y

4

– 1.

№ 378

а) a3

b + a2

b – 3ab + 2a2

b + 2ab2

= a3

b + 3a2

b + 2ab2

– 3ab;

при а = – 1; b = 2; (– 1)

3

· 2 + 3 · (– 1)

2

· 2 + 2 · 1 · 22

– 3 · (– 1) · 2 =

= – 2 + 6 + 8 + 6 = 18;

б)

2

1

x –

3

1

y

3

+ 0,3x – x +

9

5

y

2

= – 0,2x +

9

2

y

2

;

при x = 5; y =

4

3

; – 0,2 · 5 +

9

2

·

2

4

3

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

= – 1 +

8

1

= –

8

7

;

в) m4

– 3m3

n + m2

n2

– m3

n – 4m2

n2

= m4

– 4m3

n – 3m2

n2

;

при m = –

2

1

; y =

3

1

;

4

2

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

− – 4 ·

3

2

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

− ·

3

1

– 3 ·

2

2

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

− ·

2

3

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

;

г) 6p2

q – 5pq2

+ 5p3

+ 2pq2

– 8p3

– 3p2

q = 3p2

q – 3pq2

– 3p3

.

№ 379

а) x

3

+ 2x

2

+ 7x + 8x – x

3

– x

2

– x

2

= 15x; 15x = 1; x =

5

1

.

Ответ:

5

1

.

б) 0,5y

3

+ 2,7y

2

+ 3,5y + 6,5y – 0,5y

3

– 2y

2

– 0,7y

2

= 10y; 10y = 1; y =

10

1

.

Ответ:

10

1

.

в) 3z

4

– z

2

+ 4z + z + z

2

– 2z

4

– z

4

+ 8 = 5z + 8; 5z + 8 = 1; 5z = – 7;

z = –

5

7

; z = –1

5

2

.

Ответ: – 1,4

г) 6p3

– p2

+ 4p3

+ p2

– 10p3

– 3p + 19 = – 3p + 19;

–3p + 19 = 1; 3p = 18; p = 6.

Ответ: 6.

№ 380

3a + 11; a = 5x + 4;

11 + 3(5x + 4) = 11 + 15x +12 = 15x + 23. 56

№ 381

14 – 8a; a = 3x

2

– 4x + 2;

14 – 8(3x

2

– 4x + 2) = 14 – 24x

2

+ 32x – 16 = – 24x

2

+ 32x – 2.

№ 382

а) c ·

2

1

c – 0,1c

5

– c

3

+ c · c

2

· 2c

2

– c ·

8

1

c + c · c · c =

=

2

1

c

2

–0,1c

5

–c

3

+ 2c

5

–

8

1

c

2

+ c

3

= 2c

5

– 0,1c

5

+

8

4

c

2

–

8

1

c

2

=1,9c

5

+

8

3

c

2

;

б)

9

1

m · m–m ·

2

1

m · m+0,5m+m · m · 1/8m–1/3m2

+

2

1

m=

9

1

m2

–

2

1

m3

+

+ 0,5m +

8

1

m3

+

2

1

m =

24

3

m3

–

24

12

m3

–

24

8

m3

+

9

1

m3

+

9

1

m2

+ m =

=

24

17

− m3

+

9

1

m2

+ m;

в) aba + aa – a · 2ab + bab – 2ba · 2b – 6a · 2b2

– aa=

= a2

b + a2

– 2a2

b + ab2

– 4b2

a – 12ab2

– a2

= – a2

b – 15ab2

;

г) y · 2yy – y · 5xy + x· 3xy – xy · 6y + x · 12xy – y

3

=

= 2y

3

– 5xy

2

+ 3x

2

y – 6xy

2

+ 12x

2

y – y

3

= y

3

– 11xy

2

+ 15x

2

y.

№ 383

а) 12m · 0,2 m3

+ 3,5m · 2m – 27 + 4,5m2

· 0,2m – 15m =

= 2,4m4

+ 7m2

– 27 + 0,9m3

– 15m = 2,4m4

+ 0,9m3

+ 7m2

– 15m – 27;

б) 3,6r · 5r

2

– 0,4r

2

· 7r + 1,4r

3

– 10r

2

· 2r + 15r · 0,5r

2

=

= 18r

4

– 2,8r

3

+ 1,4r

3

– 20r

3

+7,5r

3

= 18r

4

– 13,r

3

;

в) 9a3

· 0,3a – 12a · 0,4a2

+ 7a · 0,2a3

+ 1,7a2

· (– 3a) – 13a · 0,5a =

= 2,7a4

– 4,8a3

+ 1,4a4

– 5,1a3

– 6,5a2

= 1,3a4

– 9,9a3

– 6,5a2

;

г) 0,5b · 4b2

– 5b · 0,3b – 3b2

· (–0,2b) + 14b2

· 0,5 – 25b · 0,3b2

= 2b3

–

– 1,5b2

+ 0,6b3

+ 7b2

– 7,5b3

= – 4,9b3

+ 5,5b2

.

№ 384

а) 5a–13+8a–7a + 25 + (– 6a) = 12; б) 7b–15+10a – 2a + 13 – 8a = 7b – 2;

в) 12a–23+2a–3a + b + (– 11a) = b – 23; г) 8a2

– 7a2

– 4 + (– a2

) = – 4.

№ 385

а) a2

+ 2a2

– b2

– 3c + (– 3a2

) = – b2

– 3c;

б) 3ax

2

– 5x

3

+4a2

+ 8x

2

a2

– 5 + 11a2

+ (– 15a2

= 3ax

2

– 5x

3

+ 8x

2

a – 5; в)

2x

2

+ 3ax – 9a2

+ 8x

2

– 5ax + 8a2

+ a2

= 10x

2

– 2ax;

г) 2y

2

– 5ay + a2

+ 7y

2

+ 3ay – 5a2

+ 4a2

= 9y

2

– 2ay.

№ 386

а) 7x + 4y – 11; y = 3x

2

– 12x + 5;

7x + 4(3x

2

– 12x + 5) – 11 = 7x + 12x

2

– 48x + 20 – 11 = 12x

2

– 41x + 9;

б) 13a + 6b – 7; b = 4 – a2

+ 3a;

13a + 6(4 – a2

+ 3a) – 7 = 13a + 24 – 6a2

+ 18a – 7 = – 6a2

+ 31a + 17. 57

№ 387

Пусть x = 3a +12; y = 13 – a; z = 5 +4a;

а) x + y + z = 3a + 12 +13 – a + 5 + 4a = 6a + 30;

б) x – y + z = 3a + 12 – 13 + a + 5 + 4a = 8a + 4;

в) y – x + z = 13 – a – 3a – 12 + 5 + 4a = 6;

г) z – x – y = 5 +4a – 3a – 12 – 13 + a = 2a – 20.

№ 388

Пусть a = 3x

2

+ 4x + 8; b = 1,2 – 2x

2

– 7x; c = 12,5x

2

– 3,5x + 21,8;

а) a+b+c=3x

2

+4x+8+1,2–2x

2

– 7x + 12,5x

2

– 3,5x + 21,8=13,5x

2

– 6,5x + 31;

б) a–b+c=3x

2

+ 4x + 8–1,2+2x

2

+7x + 12,5x

2

–3,5x+21,8=17,5x

2

+7,5x + 28,6;

в) b–a–c=1,2–2x

2

–7x–3x

2

–4x–8 – 12,5x

2

+ 3,5x – 21,8=–17,5x

2

–7,5x – 28,6;

г) c– b–a=12,x

2

–3,5x+21,8–1,2+2x

2

+ 7x – 3x

2

– 4x – 8=11,5x

2

– 0,5x + 12,6.

№ 389

Пусть R = 5a3

+ 4a2

b + 8ab2

– 24b3

, L = 7a3

– 13a2

b – 4ab2

+ 17b3

,

m = –12a3

+ 9a2

b – 4ab2

+ 15b3

;

а) R + L + m = 5a3

+ 4a2

b + 8ab2

– 24b3

+ 7a3

– 13a2

b – 4ab2

+ 17b3

+

+ (– 12a3

) + 9a2

b – 4ab2

+ 15b3

= 8b3

;

б) L + R – m = 7a3

– 13a2

b – 4ab2

+ 17b3

+ 5a3

+ 4a2

b +8ab2

– 24b3

+

+ 12a3

– 9a2

b + 4ab2

– 15b3

= 24a3

– 18a2

b + 8ab2

– 22b3

;

в) m – L – r = – 12a3

+ 9a2

b – 4ab2

+ 15b3

– 7a3

+ 13a2

b + 4ab2

– 17b3

–

– 5a3

– 4a2

b – 8ab2

+ 24b3

= – 24a3

+ 18a2

b – 8ab2

+22b3

;

г) L – R + m = 7a3

– 13a2

b – 4ab2

+ 17b3

– 5a3

– 4a2

b – 8ab2

+ 24b3

–

– 12a3

+ 9a2

b – 4ab2

+ 15b3

= – 10a3

– 8a2

b – 16ab2

+ 56b3

.