§ 16. Умножение многочлена на многочлен

№ 435

а) (x +1)(x + 2) = x(x + 1) + 2(x+1) = x

2

+ x + 2x + 1 = x

2

+ 3x + 1;

б) (a – 3)(a + 8) = a(a + 8) – 3(a + 8) = a2

+ 8a – 3a – 24 = a2

+ 5a – 24;

в) (b+10)(b–4) = b(b – 4) + 10(b – 4) = b2

– 4b + 10b – 40 = b2

+ 6b – 40;

г) (y – 5)(y – 9) = y(y – 5) – 9(y – 5) = y

2

– 5y – 9y + 45 = y

2

– 14y + 45.

№ 436

а) (x – 5)(9 – x) = 9(x – 5) – x(x – 5) = 9x – 45 – x

2

+ 5x = –x

2

+ 14x – 45;

б) (y–10)(–y–6) = –y(y – 10) – 6(y – 10) = –y

2

+ 10y – 6y + 60=–y

2

+ 4y – 60; 70

в) (b + 10)(b – 4) = b(b – 4) + 10(b – 4) = b2

– 4b + 10b – 40 = b2

+ 6b – 40;

г) (–7 – b)(a – 4) = a( –7 – b) – 4( –7 – b) = –7a – ab + 28 + 4b.

№ 437

а) (2a + 4)(5a + 6) = 2a(5a + 6) + 4(5a + 6) = 10a2

+32a + 24;

б) (7b – 3)(8b + 4) = 7b(8b + 4) – 3(8b + 4) = 56b2

+ 4b – 12;

в) (8c + 12)(3c – 1) = 8c(3c – 1) + 12(3c – 1) = 24c

2

+ 28c + 12;

г) (15d + 27)(–5d – 9) = –75d2

– 135d – 135d – 243 = –75d2

– 270d – 243.

№ 438

а) (m2

+ n)(m + n) = m2

(m + n) + n(m + n) = m3

+ m2

n + mn + n;

б) (2x

2

– 1)(x + 3) = 2x

2

(x + 3) – (x + 3) = 2x

3

+ 6x

2

– x + 3;

в) (3y

2

+ 5)(y – 6) = 3y

2

(y – 6) + 5(y – 6) = 3y

3

+ 5y – 18y

2

– 30;

г) (7c

2

– 1)(c – 3) = 7c

2

(c – 3) – (c – 3) = 7c

3

– 21c

2

– c + 3.

№ 439

а) (3a + 5)(3a – 6) + 30 = 9a2

+ 15a – 18a – 30 + 30 = 9a2

– 3a;

б) (8 – y)(8 + y) – (y

2

+ 4) = 64 – y

2

–y

2

– 4 = 60 – 2y

2

;

в) x(x – 3) + (x + 1)(x + 4) = x

2

– 3x + x

2

+ 5x + 4 = 2x

2

+ 2x + 4;

г) (c + 2)c – (c + 3)(c – 3) = c

2

+ 2c – c

2

+ 9 = 2c + 9.

№ 440

а) 0,3a(4a2

– 3)(2a2

+ 5 = 0,3a(8a4

– 6a2

+ 20a2

– 15) =

= 0,3(8a4

+ 14a2

– 15) = 2,4a4

+ 4,2a2

– 4,5;

б) 1,5x(3x

2

– 5)(2x

2

+ 3) = 1,5x(6x

4

– x

2

– 15 = 9x

5

– 1,5x

3

– 22,5x;

в) 3p(2p + 4) · 2p(2p – 3) = 6p2

(4p2

+ 2p – 12) = 24p4

+ 12p3

– 72p2

;

г) –0,5y(4 – 2y

2

)(y

2

+ 3) = –0,5y(4y

2

– 2y

4

+ 12 – 6y

2

) = y

3

+ y

5

– 6y.

№ 441

а) (3m3

+5)(3m2

–10)=3m3

(3m2

–10) + 5(3m2

– 10)=9m5

+ 15m2

– 30m3

– 50;

б) (4n5

– 1)(2n3

+ 3) = 4n5

(2n3

+ 3) – (2n3

+ 3) = 8n8

– 2n3

+ 12n5

– 3;

в) (5k

4

+ 2)(6k

2

– 1) = 5k

4

(6k

2

– 1) + 2(6k

2

– 1) = 30k

6

+ 12k

2

– 5k

4

– 2;

г) (6p8

– 4)(2p2

+ 5) = 6p8

(2p2

+ 5) – 4(2p2

+ 5) = 12p10

– 8p2

+ 30p8

–20.

№ 442

а) (a + 2)(a2

– a – 3) = a3

+ 2a2

– a2

– 2a – 3a – 6 = a3

+ a2

– 5a – 6;

б) (5b – 1)(b2

– 5b + 1) 5b3

– b2

– 25b2

+ 5b + 5b – 1 = 5b3

– 26b2

+ 10b – 1;

в) (m – n + 1)(m + n) = m2

+ mn – mn – n2

+ m + n = m2

– n2

+ m + n;

г) (c – 2d)(c + 2d – 1) = (c – 2d)(c + 2d) – c + 2d = c

2

– 4d2

– c + 2d.

№ 443

а) (x

2

– xy + y

2

)(x + y) =x(x

2

– xy + y

2

) + y(x

2

– xy + y

2

) =

= x

3

– x

2

y + y

2

x + yx

2

– x

2

y + y

3

= x

3

+ y

3

;

б) (n2

+ np + p2

)(n – p) = n(n2

+ np + p2

) – p(n2

+ np + p2

) =

= n3

+ n2

p + np2

– pn2

– np2

– p3

= n3

– p3

;

в) (a + x)(a2

+ ax + x

2

) = a(a2

+ ax + x

2

) + x(a2

+ ax + x

2

) =

= a3

+ a2

x + ax

2

+ xa2

+ ax

2

+ x

3

= a3

+ x

3

+ 2ax

2

+ 2a2

x; 71

г) (c

2

+ cd + d2

)(c – d) = c(c

2

+ cd + d2

) – d(c

2

+ cd + d2

) =

= c

3

+ c

2

d + cd2

– dc

2

– d2

c – d3

= c

3

– d3

.

№ 444

а) (2a+ 3b)(4a2

– 6ab + 9b2

) = 2a(4a2

– 6ab + 9b2

) + 3b(4a2

– 6ab + b2

) =

= 8a3

– 12a2

b + 18ab2

+ 12a2

b – 18ab2

+ 27b2

= 8a3

+ 27b3

;

б) (5x + 2y)(25x

2

+ 10xy + 4y

2

)=5x(25x

2

+10xy+4y

2

)+2y(25x

2

+ 10xy + 4y

2

) =

= 125x

3

+ 50x

2

y + 20xy

2

+ 50yx

2

+ 20xy

2

+ 8y

3

;

в) (5 – 2a + a2

)(4a2

– 3a – 1) = 20a2

– 8a3

+ 4a4

– 15a + 6a2

– 3a3

– 5 +

+ 2a – a2

= 4a4

– 11a3

+ 25a2

– 13a – 5;

г) (m2

– m + 2)(3m2

+ m – 2) = 3m4

– 3m3

+ 6m2

+ m3

– m2

+ 2m – 2m2

+

+ 2m – 4 = 3m4

– 2m3

+ 3m2

+ 4m – 4.

№ 445

а) (a–1)(a–2)–(a–5)(a + 3) = a2

– 3a + 2 – a2

+ 2a + 15 = 17 – a=17+8 = 27;

б) (a–3)(a+4)–(a+2)(a+5)=a2

+ a – 12 – a2

– 7a – 10= –6a–24=1–24 = – 23;

в) (a–7)(a+4)–(a+3)(a–10)=a2

– 3a – 28 – a2

+ 7a + 30=4a+2=–0,6+2 = 1,4;

г) (a + 2)(a + 5) – (a + 3)(a + 4) = a2

+ 7a + 10 – a2

– 7a – 12=10 – 12 = –2.

№ 446

а) 12x

2

– (4x – 3)(3x + 1) = –2; 12x

2

– 12x

2

+ 5x + 3 = –2;

5x + 5 = 0; x = – 1.

Ответ: –1.

б) (x + 1)(x + 2) – (x + 3)(x + 4) = 0; x

2

+ 3x + 2 – x

2

– 7x – 12 = 0;

–4x – 10 = 0; x = – 2,5.

Ответ: – 2,5.

в) 10x

2

– (2x – 3)(5x – 1) = 31; 10x

2

– 10x

2

+ 17x – 3 = 31;

17x = 34; x = 2.

Ответ: 2.

г) 16x

2

– (4x – 1)(4x – 3) =13; 16x

2

– 16x

2

+ 16x – 3 = 13;

16x = 16; x = 1.

Ответ: 1.

№ 447

а) (3x + 5)(4x – 1) = (6x – 3)(2x + 7); 12x

2

+ 17x – 5 = 12x

2

+ 36x – 21;

19x = 16; x =

19

16

.

Ответ:

19

16

.

б) (5x – 1)(2 – x) = (x – 3)(2 – 5x); 11x – 2 – 5x

2

= 17x – 6 – 5x

2

;

6x =4; x =

3

2

.

Ответ:

3

2

. 72

в) (5x + 1)(2x – 3) = (10x – 3)(x + 1); 10x

2

– 13x – 3 = 10x

2

+ 7x – 3;

20x = 0; x = 0.

Ответ: 0.

г) (7x – 1)(x + 5) = (3 + 7x)(x + 3); 7x

2

+ 34x – 5 = 7x

2

+ 24x + 9;

10x = 14; x = 1

2

5

.

Ответ: 1

2

5

.

№ 448

Пусть х м. – длина прямоугольника.

Тогда (х – 20) м. – его ширина.

(x – 10)(x – 20 + 6 = x(x – 20) + 12;

x

2

– 10x – 20x + 200 + 6x = x

2

– 20x + 12;

–4x + 200 = 12; 4x = 188; x = 47;

47 – 20 = 27 м. – ширина прямоугольника.

Ответ: 47; 27.

№ 449

Пусть х – наименьшее натуральное число из этих чисел.

Тогда (x + 1) – второе число.

(х + 2) – третее число.

(х + 3) – четвертое число.

(x + 2)(x + 3) – x(x + 1) = 58; x

2

+ 5x + 6 – x

2

– x = 58; 4x = 52; x = 13;

13 + 1 = 14 – второе число.

13 + 2 = 15 – третее число.

13 + 3 = 16 – третее число.

Ответ: 13; 14; 15; 16.

№ 450

Пусть х см. – длина прямоугольника.

Тогда ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

− x

2

60

см. – ширина прямоугольника.

(x + 10)(30 – x – 6) = x(30 – x) – 32;

(x + 10)(24 – x) = 30x – x

2

– 32; 14x + 240 – x

2

= 30x – x

2

– 32; 16x = 272;

x = 17 см. – длина прямоугольника.

Из того что площадь прямоугольника равна произведению его длины на

ширину следует, что S = 17 · (30 – 17) = 17 · 13 = 221 см2

.

Ответ: 221 см2

.

№ 451

Пусть х – меньшее число.

Тогда (х + 1) – второе число.

(х + 2) – третее число.

x

2

+ 65 = (a + 1)(a +2); x

2

+ 65 = x

2

+ 3a + 2; 3x = 63; 73

x = 21 – первое число.

21 + 1 = 22 – второе число.

21 + 2 = 23 – третее число.

Ответ: 21; 22; 23.

№ 452

а) a(3a2

–4)(3a2

+4)=(3a3

– 4a)(3a2

+ 4) = 9a5

– 12a3

+ 12a3

– 16a=9a5

–16a;

б) (a – 5)(a + 5)(a2

+ 25) = (a2

– 5a + 5a – 25)(a2

+ 25) =

= (a2

– 25)(a2

+ 25) = a4

– 25a2

+ 25a2

– 625 = a4

– 625;

в) (a2

+ 9)(a +3)(a – 3) = (a2

+ 9)(a2

– 3a + 3a – 9) = (a2

+ 9)(a2

– 9) =

= a4

– 9a2

+ 9a2

– 81 = a4

– 81;

г) (a2

+ 16)(a – 4)(a + 4) = (a2

+ 16)(a2

– 4a + 4a – 16) =

= (a2

+ 16)(a2

– 16) = a4

– 16a2

+ 16a2

– 256 = a4

– 256.

№ 453

а) (3,5p–1,2k)(3,5p + 1,2k) = 12,25p2

– 4,2p + 4,2p – 1,44 = 12,25p2

– 1,44;

б) (1,7s+0,3t

2

)(0,3t

2

–1,7s)=0,09t

4

– 0,51st

2

+ 0,51st

2

– 2,89s

2

=0,09t

4

–2,89s

2

;

в) (2,4m2

–0,8n2

)(0,8n2

+2,4m2

)=5,76m4

–1,92m2

n2

+1,92m2

n2

–0,64n4

=

= 5,76m4

– 0,64n4

;

г) (1,3x

3

–1,8y

2

)(1,8y

2

+1,3x

3

)=1,69x

6

–2,34y

2

x

3

+2,34y

2

x

3

–3,24y

4

=1,69x

6

–3,24y

4

.

№ 454

а) (a2

+ a – 1)(a2

– a + 1) = a4

– a3

+ a2

+ a3

– a2

+ a – a2

+ a – 1 =

= a4

– a2

+ 2a – 1;

б) (m2

+ 2m – 1)(m2

– 2m + 1) = m4

+ 2m3

– m2

– 2m3

– 4m2

+ 2m + m2

+

+ 2m – 1 = m4

– 4m2

+ 4m – 1;

в) (2x

2

+ 3x + 2)(–2x

2

+ 3x – 2) =

= – 4x

4

– 6x

3

– 4x

2

+ 6x

3

+ 9x

2

+ 6x – 4x

2

– 6x – 4 = –4x

4

+ x

2

– 4;

г) (b3

+ 5b + 3)(– b3

– 5b + 3) = –b6

– 5b4

–3b3

– 5b4

– 25b2

– 15b +

+ 3b3

+ 15b + 9 = 9 – b6

– 10b4

– 25b2

.

№ 455

а) (m – 1)(m3

+ m2

+ m +1) =m4

– m3

+ m3

– m2

+ m2

– m + m – 1=m4

– 1;

б) (2 – s)(16 + 8s + 4s

2

+ 2s

3

+ s

4

) =

= 32 – 16s + 16s – 8s

2

+ 8s

2

– 4s

3

+ 4s

3

– 2s

4

+ 2s

4

– s

5

= 32 – s

5

;

в) (x + y)(x

3

– x

2

y + xy

2

– y

3

) =

= x

4

+ x

3

y – x

3

y – x

2

y

2

+x

2

y

2

+ xy

3

– xy

3

– y

4

= x

4

– y

4

;

г) (a + 3)(81 – 27a + 9a2

– 3a3

+ a4

) = 81a + 243 – 27a2

– 81a + 9a3

+

+ 21a2

– 3a4

– 9a3

+ a5

+ 3a4

= 243 – 6a2

+ a5

.

№ 456

Пусть х см. – длина первого прямоугольника.

Тогда (61 – х) – ширина первого прямоугольника;

(х – 5) см. – длина второго прямоугольника;

(61 – (х – 5) см. – ширина второго прямоугольника;

(x – 5)(66 – x) – 120 = x(61 – x); 66x – 330 + 5x – x

2

– 120 = 61x – x

2

;

74

9x = 450; x = 50 см.

Из того что площадь прямоугольника равна произведению его сторон

следует: 50 · (61 – 50) = 50 · 11 = 550 см2

– площадь первого;

550 + 120 = 670 см2

– площадь второго прямоугольника.

Ответ: 550 см2

; 670 см2

.

№ 457

Пусть х см. – длина прямоугольника.

Тогда (120 – х) см. – ширина прямоугольника.

(x – 14)(130 – x) – 4 = x(120 – x);

130x – 1820 + 14x – x

2

– 4 = 120x – x

2

; 24x = 1824;

x = 76 см. – длина прямоугольника;

120 – 76 = 44 см. – ширина прямоугольника.

Ответ: 44 см.; 76 см.

№ 458

Пусть х – первое число.

Тогда (х + 3) – второе число; (х + 6) – третее число.

x(x + 6) + 54 = (x + 3)(x + 6); x

2

+ 6x + 54 = x

2

+ 9x + 18; 3x = 36;

x = 12 – первое число; 12 + 3 = 15 – второе число;

12 + 6 = 18 – третее число.

Ответ: 12; 15; 18.

№ 459

Пусть х – первое число.

Тогда (х + 12) – второе число; (х + 24) – третее число.

x(x + 12) + 432 = (x + 12)(x + 24); x

2

+ 12x + 432 = x

2

+ 36x + 288;

24x = 144; x = 6 – первое число; 6 + 12 = 18 – второе число;

6 + 24 = 18 – третее число.

Ответ: 6; 12; 18.

№ 460

Пусть х – первое число.

Тогда (х + 3) – второе число; (х + 8) – третее число;

(х + х + 3) – четвертое число.

x(x+3)=(x + 8)

2

– (2x + 3) – 74,2; x

2

+ 3x = x

2

+ 8x + 8x + 64 – 2x – 3 – 74,2;

8x + 8x – 2x – 3x = –64 + 3 + 74,2; 11x = 13,2;

x = 1,2 – первое число; 1,2 + 3 = 4,2 – второе число;

1,2 + 8 = 9,2 – третее число; 2 · 1,2 + 3 = 5,4 – четвертое число.

Ответ: 1,2; 4,1; 9,2; 5,4.