§ 25. Тождества

№ 707

а) да; б) да; в) да; г) да.

№ 708

а) да; б) да; в) да; г) да.

№ 709

а) да; б) да; в) да; г) да. 122

№ 710

а) переместительный закон сложения;

б) сочетательный закон сложения;

в) переместительный закон умножения;

г) распределительный закон сложения относительно умножения.

№ 711

а) переместительный и сочетательный законы умножения;

б) если из числа а вычесть это же число то в результате получится 0;

в) переместительные законы сложения и умножения;

г) 1. сочетательный закон умножения,

2. распределительный закон сложения относительно умножения.

№ 712

а) x – y = – y + x = – (y – x);

б) (m – n)

2

= m2

– 2mn + n2

= n2

– 2mn + m2

= (n – m)

2

;

в) 2a – 3b = – 3b + 2a = – (3b – 2a);

г) (3c – 4d)

2

= 9c

2

– 24cd + 16d2

= 16d2

– 24cd + 9c

2

= (4d – 3c)

2

.

№ 713

а) 10a–(–(5a+20))=10a–(–5(a+4)) = 10a + 5(a + 4)=5(2a+a+4) = 5(3a + 4);

б) – (– 7x) – (6 + 5x) = 7x – 6 – 5x = 2x – 6 = 2(x – 3);

в) 12y–(25–(6y–11)) = 12y – (25 – 6y + 11)= 12y–36 + 6y=18y–36=18(y–2);

г) 36 – (– (9c – 15)) = 36 – (– 9c + 15) = 36 + 9c – 15 = 21 + 9c = 3(3c + 7).

№ 714

а) a2

+7a+10=a2

+5a+2a+10=a(a+5)+2(a+5) = (a + 5)(a + 2) = (a + 2)(a + 5);

б) x

2

– 9x + 20 = x

2

– 4x – 5x + 20 = x(x – 4) – 5(x – 4) = (x – 4)(x – 5);

в) (b – 8)(b + 3) = b(b + 3) – 8(b + 3) = b2

+ 3b – 8b + 24 = b2

– 5b + 24;

г) (c – 4)(c + 7) = c(c + 7) – 4(c + 7) = c

2

+ 7c – 4c – 28 = c

2

+ 3c – 28.

№ 715

а) (a – 4)(a + 2) + 4 = a2

– 4a + 2a – 8 + 4 = a2

– 2a – 4 = a2

– 2a – 3 – 1=

= a2

+ a – 3a – 3 – 1 = a(a + 1) – 3(a + 1) – 1 = (a – 3)(a + 1) – 1;

б) 16–(x+3)(x+2) = 4 + 12 – x

2

– 5x – 6 = 4 – x

2

– 5x + 6 = 4 – (x

2

+ 5x – 6) =

= 4–(x

2

–x+6x–6)=4–(x(x–1)+6(x–1)) = 4 – (x – 1)(x + 6) = 4 – (6 + x)(x – 1);

в) (y – 3)(y + 7) – 13 = y

2

– 3y + 7y – 21 – 11 – 2 = (y

2

+ 4y – 32) – 2 =

= (y

2

+ 8y – 4y – 32) – 2 = y(y + 8) – 4(y + 8) – 2 = (y + 8)(y – 4) – 2;

г) (z–11)(z+10)+10=z

2

–z – 110 + 10 = (z

2

– z – 20) – 80 = z

2

–5z+4z–20–80 =

= z(z – 5) + 4(z – 5) – 80 = (z – 5)(z + 4) – 80.

№ 716

а) (a + b)

2

+ (a – b)

2

= a2

+ 2ab + b2

+ a2

– 2ab + b2

= 2(a2

+ b2

);

б) (a + b)

2

– (a – b)

2

= a2

+ 2ab + b2

– a2

+ 2ab – b2

= 4ab;

в) a2

+ b2

= a2

+ b2

+ 2ab – 2ab = (a + b)

2

– 2ab;

г) (a + b)

2

– 2b(a + b) = a2

+ 2ab + b2

– 2ba – 2b2

= a2

– b2

. 123

№ 717

2x–1+3x+1–5x=5x–5x=5x–3x–2x=5x – 3x – 1 – 2x + 1=5x–(3x+1) – (2x – 1).

№ 718

а)

422 2

22

4(2)(2)

2(2)

x xxxxx

xx xx

−−+

=

−−

= x

2

+ 2x, видно, что равенство превращается

в тождество при x

2

– 2x не равном нулю, т. е., при x ≠ 0 и x ≠ 2;

б)

523

54 2

324 24

612 2

xxxx

xx x

−++

=

−

;

5223 2 2 3

544 4 2

3 24 3 ( 8) ( 2)( 2 4) 2 4

612 6(2) 2(2) 2

x x xx xx x x x x

xxxx xx x

−−−++++

== =

−− −

,

видно, что равенство превращается в тождество при

6x

5

– 12x

4

не равном нулю, т. е., при x ≠ 0 и x ≠ 2;

в)

32 2 2

42 22 2

212182( 690 (3)

436 4(9)2(3)(3)

aaaaaa a

aa aa aaa

−+ −+ −

== =

−−−+ 2

33

2( 3) 26

aa

aa aa

−−

=

+ +

;

Видно, что равенство превращается в тождество при 4a4

– 36a2

не

равном нулю, т. е., при a ≠ 0, a ≠ 3.

При a = –3 равенство будет тождеством так как при преобразование

левой части мы числитель и знаменатель не сокрашали на (a + 3).

г)

62 32 3 2

33 23

27 3 9

2 26

ab ab a a a

b ab ab

−++

=

−

;

62 32 32 3 2

33 23 23

27 ( 27) ( 3 9)

2 26 2(3)

ab ab ab a aa a

b ab ab ab a

−−++

==

−−

,

Видно, что равенство равенство превращается в тождество при

2a3

b3

– 6a2

b3

не равном нулю, т. е., при a ≠ 0, b ≠ 0, a ≠ 3.

№ 719

а) (x +y)(x – y) + (y + a)(y – a) = x

2

– y

2

+ y

2

– a2

= x

2

– a2

;

б) (a–b)(a+b)–(a – c)(a + c) – (c – b)(c + b) = a2

– b2

– a2

+ c

2

– c

2

+ b2

= 0;

в) (x + a)(x + b) = x

2

+ ax + bx + ab = x

2

+ (a + b)x + ab;

г) (m – a)(m – b) = m2

– am – bm + ab = m2

–x (a + b)m + ab.

№ 720

а) a + b = 9, доказать (a + 1)(b + 1) – (a – 1)(b – 1) = 18;

(a+1)(b+1) – (a – 1)(b – 1) = ab + b + a + 1 – ab + b + a – 1 = 2(a + b) = 18.

№ 721

(b + c – 2a)(c – b) + (c + a – 2b)(a – c) – (a + b – 2c)(a – b) =

= (c + b)(c – b) – 2a(c – b) + (a + c)(a – c) – 2b(a – c) – (a + b)(a – b) +

+ 2c(a – b) = c

2

– b2

– 2ac + 2ab + a2

– c

2

– 2ab + 2bc – a2

+

+ b2

+ 2ac – 2bc = – 2ac + 2ab – 2ab + 2bc + 2ac – 2bc = 0. 124

№ 722

а) (2a–b)(2a+b)+(b–c)(b+c)+(c–2a)(c+2a)=4a2

– b2

+ b2

– c

2

+ c

2

– 4a2

= 0;

б) (3x + y)

2

– (3x – y)

2

= (3x + y – 3x + y)(3x + y + 3x – y) = 2y · 6x = 12xy =

= 9x

2

y

2

+ 6xy + 1 – 9x

2

y

2

+ 6xy – 1 = (3xy + 1)

2

– (3xy – 1)

2

;

в) (x–3y)(x+3y)+(3y–c)(3y+c)+(c–x)(c + x) = x

2

– 9y

2

+ 9y

2

– c

2

+ c

2

– x

2

= 0;

г) (a – b)(a + b)((a – b)

2

+ (a + b)

2

) = (a2

– b2

)(2a2

+ 2b2

) = 2(a4

– b4

).

№ 723

а) (a–1)

3

–4(a–1)=(a–1)((a–1)

2

–4)=(a – 1)(a – 1 – 2) = (a – 1)(a – 3)(a + 1);

б) (x

2

+ 1)

2

– 4x

2

= (x

2

– 2x + 1)(x

2

+ 2x + 1) = (x – 1)

2

(x + 1)

2

;

в) (a + 1)

2

– (a + 1) = (a + 1)(a + 1 – 1) = a(a + 1);

г) 4b2

c

2

– (b2

+ c

2

– a2

)

2

= (2bc – b2

– c

2

+ a2

)(2bc + b2

+ c

2

– a2

) =

= (a2

– (b – c)

2

)((b + c)

2

– a2

)=(a – b + c)(a + b – c)(b + c – a)(a + b + c).