- •Глава 1. Математическая модель,
- •§ 1. Числовые и алгебраические выражения
- •§ 2. Что такое математический язык
- •§ 3. Что такое математическая модель
- •Глава 2. Степень с натуральным
- •§ 4. Что такое степень с натуральным показателем
- •§ 5. Таблица основных степеней
- •§ 6. Свойства степеней с натуральными показателями
- •§ 7. Умножение и деление степеней
- •§ 8. Степень с нулевым показателем
- •Глава 3. Одночлены. Операции над одночленами
- •§ 9. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена
- •§ 10. Сложение и вычитание одночленов
- •§ 11. Умножение одночленов.
- •§ 12. Деление одночлена на одночлен
- •Глава 4. Многочлены.
- •§ 13. Основные понятия
- •§ 14. Сложение и вычитание многочленов
- •§ 15. Умножение многочлена на одночлен
- •§ 16. Умножение многочлена на многочлен
- •§ 17. Формулы сокращенного умножения
- •§ 18. Деление многочлена на одночлен
- •Глава 5. Разложение многочленов на множители
- •§ 19. Что такое разложение многочленов
- •§ 20. Вынесение общего множителя за скобки
- •§ 21. Способ групировки
- •§ 22. Разложение многочлена на множители
- •§ 23. Разложение многочлена на множители
- •§ 24. Сокращение алгебраических дробей
- •§ 25. Тождества
- •Глава 6. Линейная функция
- •§ 26. Координатная прямая
- •§ 27. Координатная плоскость
- •§ 28. Линейное уравнение
- •§ 29. Линейная функция и ее график
- •§ 30. Прямая пропорциональность и ее график
- •§ 31. Взаимное расположение графиков линейных функций
- •§ 33. Графическое решение уравнений
- •Глава 8. Системы двух линейных
- •§ 35. Основные понятия
- •§ 36. Метод подстановки
- •§ 37. Метод алгебраического сложения
- •§ 38. Системы двух линейных уравнений
Глава 8. Системы двух линейных
уравнений с двумя переменными
§ 35. Основные понятия
№ 1053
(1;1)
а) 7x + 3y = 10; 7 · 1 + 3 · 1 = 10; является;
б) 6x – 2y = 4; 6 · 1 – 2 · 1 = 4; является;
в) 6x + 8y = 1; 6 · 1+ 8 · 1 = 14; не является;
г) 15x – 2y = 3. 15 · 1 · 2 · 1 =3. является.
№ 1054
3x – 2y = 5; (1;– 1), (3;2), (5;5).
№ 1055
а) 2x + y = 9; б) x + 3y = 0; в) 2x – 6y = – 2; г) 3x + 4y = 8.
№ 1056
x + y =15; (1;14), (2;13), (3;12), (4;11), (5;10), (6;9), (7;8),
(8;7), (9;6), (10;5), (11;4), (12;3), (13;2), (14;1).
№ 1057
а)
⎩
⎨
⎧
= ⋅ − ⋅
= ⋅ − ⋅
⎩
⎨
⎧
= −
= −
90 30 5 60 4
30 30 7 60 4
90 5 4
30 7 4
y x
y x
.
Данная пара чисел (60;30) является решением системы.
б)
⎩
⎨
⎧
≠ ⋅ − ⋅
= ⋅ + ⋅
⎩
⎨
⎧
= −
= +
110 30 8 60 6
330 30 5 60 3
110 8 6
330 5 3
y x
y x
.
Данная пара чисел (60;30) не является решением системы.
№ 1058
⎩
⎨
⎧
= −
= +
9 11 10
15 11 2
y x
y x
;
а) (20;18);
⎩
⎨
⎧
≠ ⋅ − ⋅
≠ ⋅ + ⋅
9 18 11 20 10
15 18 11 20 2
; не является решением системы;
б) (2;1);
⎩
⎨
⎧
= ⋅ − ⋅
= ⋅ + ⋅
9 1 11 2 10
15 1 11 2 2
; является решением системы;
в) (1;2);
⎩
⎨
⎧
≠ ⋅ − ⋅
≠ ⋅ + ⋅
9 2 11 1 10
15 2 11 1 2
; не является решением системы;
г) (3;– 1);
⎩
⎨
⎧
≠ − ⋅ − ⋅
≠ − ⋅ + ⋅
9 1 11 3 10
15 1 11 3 2
) (
) (
; не является решением системы. 220
№ 1059
⎩
⎨
⎧
= +
= −
26 2 5
7 3 4
y x
y x
;
а) (1;2);
⎩
⎨
⎧
≠ ⋅ + ⋅
≠ ⋅ − ⋅
26 2 2 1 5
7 2 3 1 4
; не является решением системы;
б) (4;3);
⎩
⎨
⎧
= ⋅ + ⋅
= ⋅ − ⋅
26 3 2 4 5
7 3 3 4 4
; является решением системы;
в)(– 2;– 5);
⎩
⎨
⎧
≠ − ⋅ + − ⋅
= − ⋅ − − ⋅
26 5 2 2 5
7 5 3 2 4
) ( ) (
) ( ) (
; не является решением системы;
г) (0;1);
⎩
⎨
⎧
≠ ⋅ + ⋅
≠ ⋅ − ⋅
26 1 2 0 5
7 1 3 0 4
; не является решением системы.
№ 1060
(12;15);
а)
⎩
⎨
⎧
− = −
=
⎩
⎨
⎧
− = ⋅ − ⋅
= +
⎩
⎨
⎧
− = −
= +
36 36
27 27
36 15 4 12 2
27 15 12
36 4 2
27
y x
y x
;
б)
⎩
⎨
⎧
=
=
⎩
⎨
⎧
⋅ = ⋅
= − ⋅
⎩
⎨
⎧
=
= −
60 60
9 9
12 5 15 4
9 15 12 2
5 4
9 2
x y
y x
.
№ 1061
x – y = 2; x + y =8;
а) (10;8); б) (6;2); в) (5;3); г) (100;100).
№ 1062
а)
⎩
⎨
⎧
− =
=
⎩
⎨
⎧
= −
=
4 3 4 3 x y
x y
y x
y x
. в)
⎩
⎨
⎧
− =
=
⎩
⎨
⎧
= −
= + −
3 4
3
3 4
0 3
x y
x y
y x
y x
.
X
Y
-4 -2 2 4
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
0
X
Y
-6 -4 -2 2 4 6
-6
-3
3
6
9
12
0
Ответ: (2;2). Ответ: (3;9). 221
б)
⎩
⎨
⎧
= +
=
y x
x y
0 3
5
;
⎩
⎨
⎧
− =
=
x y
x y
3
5
. г)
⎩
⎨
⎧
= +
= −
y x
y x
5
0 4
;
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
− =
=
x y
x
y
5
4 .
X
Y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-6
-4
-2
2
4
6
0
X
Y
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
0
Ответ: (0;0). Ответ: (4;1).
№ 1063
а)
⎩
⎨
⎧
= +
= −
9 3
1
y x
y x
;
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
− =
− =
3
3
1
x
y
x y
. б)
⎪
⎪
⎩
⎪ ⎪
⎨
⎧
− − =
− =
⎩
⎨
⎧
− = +
= −
2
2
6
2
3
4 2
12 2 3
x
y
x y
y x
y x
.
X
Y
-3 3 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
0
X
Y
-6 -4 -2 2 4 6
-8
-6
-4
-2
2
4
0
Ответ: (3;2). Ответ: (2;– 3).
222
в)
⎩
⎨
⎧
= +
= +
y x
y x
3 2
1 2
;
⎩
⎨
⎧
− =
− =
x y
x y
2 3
2 1
. г)
⎪
⎪
⎩
⎪ ⎪
⎨
⎧
− =
− =
⎩
⎨
⎧
= −
= −
3
2
3
3
2
3
4 6 2
2 3
x
y
x
y
y x
y x
.
X
Y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
0
X
Y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
0
Ответ: решений нет, Ответ: решений бесконечно много,
т.к. прямые не пересекаются. т. к. прямые совпадают.
№ 1064
а)
⎩
⎨
⎧
− = −
− = +
7 3
5
y x
y x
; б)
⎩
⎨
⎧
= −
= −
1
1 2
x y
y x
;
⎩
⎨
⎧
+ =
− − =
7 3
5
x y
x y
.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+ =
− =
1
2
1
2
x y
x
y
.
X
Y
-6 -4 -2 2
-6
-4
-2
2
4
6
8
0
X
Y
-4 -2 2 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
0
Ответ: (– 3;– 2). Ответ: (– 3;2). 223
№ 1065
а)
⎩
⎨
⎧
= +
= −
5 2 3
7 2
y x
y x
; б)
⎩
⎨
⎧
− = −
− = +
4 2
2
y x
y x
;
⎩
⎨
⎧
= +
= −
5 2 3
7 2
y x
y x
.
⎩
⎨
⎧
+ =
− − =
4 2
2
x y
x y
.
X
Y
-2 2 4 6 8
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
0
X
Y
-4 -2 2
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
0
Ответ: (– 3;2). Ответ: (– 2;0).
№ 1066
а)
⎪
⎪
⎩
⎪ ⎪
⎨
⎧
− =
− =
⎩
⎨
⎧
= −
= −
3
10
3
2
3
8
3
10 3 2
8 3
x y
x
y
y x
y x
. б)
⎩
⎨
⎧
= +
= −
10 3 2
4 3
y x
y x
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+ − =
− =
3
10
3
2
4 3
x y
x y
.
X
Y
-3-2-1 1234567
-6
-3
3
0
X
Y
-2 246
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
0
Ответ: (2;– 2). Ответ: (2;2).
№ 1067
а) (0;6); б) (– 3;– 4); в) (– 1;2); г) (5;– 7).
⎩
⎨
⎧
= +
= +
⎩
⎨
⎧
− = −
= +
⎩
⎨
⎧
− = +
= −
⎩
⎨
⎧
= +
− = −
15 5 10
3 2
8 6
5 4 3
23 5
10 4 2
12 2 7
18 3 5
y x
y x
y x
y x
y x
y x
y x
y x
. 224
№ 1068
а)
⎪
⎪
⎩
⎪ ⎪
⎨
⎧
+ − =
− =
⎩
⎨
⎧
= +
= −
3
2
7
3
2
5
12 2 7
6 2 5
x y
x y
y x
y x
. б)
⎪
⎪
⎩
⎪ ⎪
⎨
⎧
+ =
+ =
⎩
⎨
⎧
− = −
− = −
5
17
5
4
3
1
3
7
17 5 4
1 3 7
x y
x y
y x
y x
.
X
Y
-4 -2 2 4 6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
0
X
Y
-4 -2 2 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
0
Ответ: (1;–
2
1
). Ответ: (2;5).
№ 1069
а)
⎩
⎨
⎧
= −
= +
4
8
y x
y x
; б)
⎩
⎨
⎧
= −
= +
7 2
1 2
y x
y x
;
⎩
⎨
⎧
− =
− =
4
8
x y
x y
.
⎩
⎨
⎧
− =
− =
7 2
2 1
x y
x y
.
X
Y
-4 4 8
-4
4
8
0
X
Y
-6 -4 -2 2 4 6
-8
-6
-4
-2
2
0
Ответ: (6;2). Ответ: (2,– 3). 225
в)
⎩
⎨
⎧
= +
= +
y x
y x
4 2
6 3 4
; г)
⎩
⎨
⎧
= +
= −
5 3
15
y x
y x
;
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
− =
− =
x y
x y
2 4
3
4
2
.
⎩
⎨
⎧
+ − =
− =
5 3
15
x y
x y
.
X
Y
-4 -2 2 4 6
-4
-2
2
4
6
0
X
Y
-10 -5 5 10 15 20
-20
-15
-10
-5
5
10
0
Ответ: (3;– 2). Ответ: (5;– 10).
№ 1070
а)
⎪
⎪
⎩
⎪ ⎪
⎨
⎧
− =
− =
⎩
⎨
⎧
= −
= −
2
1
5
6
5
4
5
6
5 10 12
4 5 6
x y
x y
y x
y x
. б)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
− =
− =
⎩
⎨
⎧
= −
= −
3
2
1
2 3 3
1
x y
x y
y x
y x
.
X
Y
-1 1
-1
1
0
X
Y
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
0
Ответ: решений нет, Ответ: решений нет,
т.к. прямые параллельны. т.к. прямые параллельны.
226
в)
⎪
⎪
⎩
⎪ ⎪
⎨
⎧
+ − =
+ − =
⎩
⎨
⎧
= +
= +
16
3
7
8
7
2
7
8
3 14 16
2 7 8
y
x y
y x
y x
. г)
⎪
⎪
⎩
⎪ ⎪
⎨
⎧
− =
+ − =
⎩
⎨
⎧
= +
= +
x y
x y
y x
y x
3
2
4
3
2
0 6 4
12 3 2
.
X
Y
0.2 0.4
0.2
0.4
0
X
Y
-2 2 4 6
-4
-2
2
4
6
0
Ответ: решений нет, Ответ: решений нет,
т.к. прямые параллельны. т.к. прямые параллельны.
№ 1071
а)
⎩
⎨
⎧
− =
− =
⎩
⎨
⎧
= +
= +
x y
x y
y x
y x
0 5 5
0
; уравнения равны, следовательно, система име-
ет бесконечно много решений;
б)
⎪
⎪
⎩
⎪ ⎪
⎨
⎧
− =
− =
⎩
⎨
⎧
= −
= −
2
1
2
1
1 2 2
4 8 8
x y
x y
y x
y x
; уравнения равны, следовательно, система
имеет бесконечно много решений;
в)
⎩
⎨
⎧
− =
− =
⎩
⎨
⎧
= +
= +
x y
x y
y x
y x
2
2
2
24 12 12
; уравнения равны, следовательно, система
имеет бесконечно много решений;
г)
⎩
⎨
⎧
− =
− =
⎩
⎨
⎧
= −
= −
5 3
5 3
20 4 12
5 3
x y
x y
y x
y x
; уравнения равны, следовательно, система
имеет бесконечно много решений.
№ 1072
а) 3x – 2y = 8
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
− =
− =
4
4
2
3
x y
x y
; б) – 5x + 4y = 1
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+ =
x y
x y
4
1
4
5
;
в) – 3x – 7y = 2
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+ =
− − =
1 2
7
2
7
3
x y
x y
; г) 5x + 6y = 9
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+ =
+ − =
6
2
3
6
5
x y
x y
. 227
№ 1073
а)
⎩
⎨
⎧
= +
= +
5 8
10 2 16
y x
y x
; б)
⎩
⎨
⎧
= −
= −
2 4 6
1 2 3
y x
y x
; в)
⎩
⎨
⎧
= +
= +
8 16 14
4 8 7
y x
y x
; г)
⎩
⎨
⎧
= −
= −
15 5 5
3
y x
y x
.
№ 1074
а)
⎩
⎨
⎧
= −
= −
1 5 7
3 5 7
y x
y x
; б)
⎩
⎨
⎧
= +
= +
8 22 12
8 11 6
y x
y x
; в)
⎩
⎨
⎧
= −
= −
2 31 45
13 31 45
y x
y x
; г)
⎩
⎨
⎧
= −
= −
19 23 54
40 23 54
y x
y x
.
№ 1075
ax + 8y = 20;
а) (2;1) 2a + 8 · 1 = 20; 2a = 12; a = 6;
б) (– 3;– 2) – 3a + 8 · (– 2) = 20; – 3a = 36; a = – 12.
№ 1076
а)
⎪ ⎩
⎪
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
=
=
⎩
⎨
⎧
=
=
⎩
⎨
⎧
= ⋅ +
= +
= +
= +
3
5
15 5
30 6
27 2 6 5
35 6 5
27 2
35
b
a
b
a
b
a
y bx
ay x
;
б)
⎩
⎨
⎧
=
=
⎩
⎨
⎧
− = −
=
⎩
⎨
⎧
= − ⋅
= ⋅ −
⎩
⎨
⎧
= +
= −
8
2 2
24 3
22 10
26 3 10 5
7 5 3 10
26 5
7 3
b
, a
b
a
b
a
by x
y ax
.
№ 1077
()
⎪
⎪
⎩
⎪ ⎪
⎨
⎧
+ − =
+ − =
⎩
⎨
⎧
= +
= +
= =
= − ⋅ +
⎩
⎨
⎧
= +
= +
6
2
5
3
11
3
4
12 2 5
11 3 4
4 20 5
11 3 3 5
12 2 5
11 3
x y
x y
y x
y x
a ; a
a
y x
y ax
.
X
Y
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
2
4
6
0
Ответ: (2;1). 228