- •Федеральное агентство железнодорожного транспорта
- •Тема 1. Понятие о надёжности. Термины теории надёжности
- •1.1. Историческая справка
- •§ 1. Повелеваю хозяина Тульской оружейной фабрики Корнилу
- •§ 2. Приказываю Ружейной канцелярии переехать в Тулу и денно и
- •1.2. Роль теории надёжности и ее место среди других наук
- •Надежность и приведенные затраты
- •Рост количества и качества элементов устройств
- •1.3. Термины теории надёжности. Гост 27.002-89
- •Соотношение исправного и работоспособного состояний
- •1. По степени потери рсс
- •7. По этапу, на котором допущена погрешность, приведшая к отказу - - конструкционный, производственный и эксплуатационный
- •1.4. Схема классификации надёжности
- •1.5. Основные сведения из теории вероятностей
- •Релейно-контактная аналогия дизъюнкции и конъюнкции
- •Области событий исправности и неисправности
- •1.5.2. Понятие о случайных событиях и случайных величинах
- •Функция и плотность распределения случайной величины
- •Тема 2. Показатели надёжности невосстанавливаемых обьектов
- •2.1. Вероятность безотказной работы и вероятность отказа
- •2.1.1. Вероятностные определения
- •Зависимость от времени вбр и вероятности отказа
- •2.1.2. Условные вероятности отказа и вбр
- •2.1.3. Статистические оценки вбр и вероятности отказа
- •Отказы испытуемых изделий в течение времени работы
- •2.2. Частота отказов
- •2.2.1. Вероятностное определение
- •Частота и вероятность отказов
- •2.2.2. Статистическая оценка
- •2.3. Интенсивность отказов
- •2.4. Средняя наработка до отказа (сндо)
- •2.5. Связь количественных характеристик надёжности и общая формула вероятности безотказной работы
- •2.6. Планы испытаний на надёжность
- •Тема 3. Законы распределения наработки до отказа неремонтируемых обьектов
- •3.1. Экспоненциальный закон распределения
- •3.2. Распределение рэлея
- •3.3. Распределение вейбулла - обобщённый двухпараметрический закон распределения
- •Интенсивности отказов в зависимости от параметра b
- •Функции надежности в зависимости от параметра b
- •3.4. Другие законы распределения. Суперпозиция распределений
- •3.5. Проверка правильности выбора закона распределения случайной величины
- •Критерий согласия Колмогорова
- •Числа отказов, сравниваемые по критерию согласия Пирсона
- •Тема 4. Резервирование технических объектов
- •4.1. Понятие о соединениях элементов в объекте
- •Основное соединение элементов надежности объекта
- •Резервное соединение элементов надежности
- •Смешанное соединение элементов
- •4.2. Виды резервирования
- •Резервирование замещением
- •Структурно-логическая схема надёжности тяговой подстанции постоянного тока
- •4.3. Расчет показателей надёжности сложных обьектов
- •4.3.1. Основное соединение
- •4.3.2. Резервное соединение
- •4.4. Сндо резервированного блока
- •4.4.1. Постоянное резервирование
- •Определение сндо резервированного блока
- •4.4.2. Резервирование замещением
- •Тема 5. Показатели надёжности восстанавливаемых объектов
- •5.1. Понятие о потоках отказов
- •5.2. Общие сведения о восстанавливаемых объектах
- •Процесс функционирования восстанавливаемого объекта
- •5.3. Вероятности восстановления и невосстановления обьекта
- •Статистические оценки вероятностей восстановления и невосстановления
- •5.4. Частота и интенсивность восстановления
- •Статистические оценки частоты и интенсивности восстановления
- •5.5. Среднее время восстановления и средняя наработка на отказ (средняя наработка между отказами)
- •5.6. Функции и коэффициенты готовности и простоя
- •Тема 6. Определение вероятности заданного числа отказов
- •6.1. Ведущая функция и параметр потока отказов
- •Поток отказов n восстанавливаемых обьектов.
- •Ведущая функция объекта.
- •Статистическая оценка параметра потока отказов (ппо)
- •6.2. Свойства простейших потоков отказов. Закон пуассона
Области событий исправности и неисправности
суммы вероятностей исправности одной лампочки (р = 0,6) их произведение
Р = Р(А) + Р(В) - Р(А) Р(В), (1-8)
что в нашем случае даст то же результат, что и выше
Р = 0,6 + 0,6 - 0,6 0,6 = 1,2 – 0,36 = 0,84.
Если бы события были несовместны, то есть исправность одной лампочки означала бы обязательную неисправность второй и наоборот, то изображенные на рисунке 1.7 фигуры 1 и 2 не накладывались бы друг на друга, и искомая вероятность определялась бы как простая сумма заданных вероятностей безотказной работы лампочек.
А если бы лампочки были неодинаковые?
Задача. В ящике имеется 80 лампочек – 48 штук мощностью 100 Вт, 24 штуки мощностью 60 Вт и 8 штук мощностью 40 Вт. Вероятности безотказной работы (ВБР) лампочек 100 Вт - р1 = 0,75, лампочек 60 Вт - р2 = 0,50 и лампочек 40 Вт - р3 = 0,40. Определить вероятность того, что любая наугад взятая лампочка окажется исправной.
Для решения этой задачи опять составим перечень всех возможных событий. Здесь таковых будет шесть:
1. Извлечена лампочка 100 Вт, и она исправна.
2. Извлечена лампочка 100 Вт, но она неисправна.
3. Извлечена лампочка 60 Вт, и она исправна
4. Извлечена лампочка 60 Вт, но она неисправна.
5. Извлечена лампочка 40 Вт, и она исправна
6. Извлечена лампочка 40 Вт, но она неисправна.
Из составленной полной группы несовместных событий условию задачи отвечают события 1, 3 и 5.
Вероятности каждого из этих событий определим по выражению (1-6), где первые сомножители Р(А) представляют собой вероятности извлечения ламп той или иной мощности, а вторые сомножители Р(В/А) – вероятности р1, р2, и р3 – условные вероятности исправности лампочек при условии извлечения лампочек 1-го, 2-го или 3-го значений мощности.
p(Соб1) = (48/80) р1 = 0,6 0,75 = 0,45;
p(Соб3) = (24/80) р2 = 0,3 0,5 = 0,15;
p (Соб5) = (8/80) р3 = 0,1 0,4 = 0,04.
Искомая вероятность определится суммой
Р = 0,45 + 0,15 + 0,04 = 0,64.
Решив эту задачу, мы численно проиллюстрировали известную из математики [л3] теорему полной вероятности
n
р(В) = р(Аi) р(В/Аi), (1-9)
i=1
где р(Аi) –вероятность извлечения из ящика лампочки i-го
значения мощности;
р(В/Аi) – вероятность исправности лампочки i –го значения
мощности (у нас это - р1, р2, и р3).
1.5.2. Понятие о случайных событиях и случайных величинах
До сих пор мы рассматривали только случайные события. В какой-то мере они подобны точке на оси, то есть никакого измерения не имеют. Но в практике есть целый ряд величин, связанных со случайными событиями, и, тем не менее, таковыми не являющимися. Если у электрической лампочки измерить время её работы от включения до перегорания, то мы получим какую-то величину (время или наработку), которая у каждой отдельно взятой лампочки будет своей. Так как на работу лампочки влияет огромное количество факторов, то предсказать время ее работы до отказа заранее невозможно. Такие величины называются случайными величинами.
Случайной величиной называется величина, которая в результате испытаний может принимать то или иное значение. При этом подразумевается, что само это значение будет непременно, то есть событие, до которого эта величина измеряется (у нас отказ), случится обязательно. Главные случайные величины, изучаемые в Теории надежности, - наработка до отказа и время восстановления.
Случайные величины бывают дискретные и непрерывные, последние встречаются гораздо чаще, например, наработка до отказа различных устройств, время восстановления после отказов, токи фидеров и вводов подстанций, напряжения на шинах подстанцийи на токоприемниках электровозов и другие.
Если до опыта точно определить значение случайной величины невозможно, то, наблюдая за работой какой-то партии изделий, можно вывести некоторые объективные закономерности в поведении случайных величин. Эти закономерности описываются с помощью вероятностных характеристик распределения. В этих характеристиках используется не вероятность точного значения случайной величины, а вероятность непревышения данной случайной величиной какого-то заданного, неслучайного значения. Например, для случайной величины Т такая характеристика будет вероятностью
F(t) = p{T<=t}. (1-10)
Эта характеристика называется интегральной функцией распределения случайной величины T (или просто функцией распределения). Как у всякой вероятности минимальное значение функции F(t) равно нулю, а максимальное - единице. Функция распределения – неубывающая функция времени. Пользоваться функцией
распределения неудобно, поэтому чаще используется не сама эта функция, а ее производная по значению случайной величины (у нас – по времени) – плотность распределения случайной величины
d[F(t)]
f(t)=F′(t) = ---------. (1-11)
dt
Графики функции и плотности распределения случайной величины показаны на рисунке 1.8.
Рис 1.8