2.4. Средняя наработка до отказа (сндо)
СНДО - математическое ожидание времени работы объекта до отказа.
Тср = M[T]. (2-31)
Из теории вероятностей известно выражение математического ожидания случайной величины
+∞
M[Х] = ∫x f(x)dx. (2-32)
-∞
В нашей науке случайная величина - наработка до отказа Т.
Она не может быть отрицательной. Поэтому СНДО
∞ ∞ ∞
Тср = ∫t а(t)dt = ∫t q’(t)dt =∫t[1-p(t)]’dt. (2-33)
0 0 0
После преобразований выражение примет вид (без вывода):
∞
Тср = ∫p(t)dt. (2-34)
0
2.5. Связь количественных характеристик надёжности и общая формула вероятности безотказной работы
Первая такая связь (2-34) завершила § 2.4. Это связь СНДО и ВБР, а вторая - выражение (2-3):
р(t) + q(t) = 1.
Отказ и безотказная работа - полная группа несовместных событий, и сумма их вероятностей равна единице.
Третье выражение, связывающее показатели надёжности, - выражение (2-24)
t t
q(t) = ∫а(t)dt; р(t) = 1 - ∫а(t)dt. (2-35)
0 0
Однако главная связь показателей надёжности невосстанавливаемых изделий - это связь интенсивности отказов и ВБР. Рассмотрим выражение (2-29)
(t) = f(t)/р(t) = q’(t)/р(t) = (2-36)
[1-p(t)]’ [p(t)]’ 1 d[p(t)] (2-36)
= --------- = - ------- = - ----- --------
р(t) р(t) р(t) dt
Умножим первую и последнюю формы этого выражения на (-dt) и поменяем левую и правую части равенства местами. Получим однородное дифференциальное уравнение
1
----- dp(t) =-(t)dt (2-37)
р(t)
Это простейшее уравнение, имеющее табличное решение. Интеграл от левой части - табличный интеграл от dх/х, равный натуральному логарифму х.
Поэтому решение этого дифференциального уравнения будет
иметь вид t
Ln[р(t)] = -∫(t)dt. (2-38)
0
Представим обе части равенства (2-38) как показатели степени основания натуральных логарифмов. Левая часть по определению натурального логарифма будет сама ВБР, а правая примет вид
t
р(t) = Ехр[-∫(t)dt]. (2-39)
0
Эта формула называется общей формулой ВБР. Она показывает, что вероятность безотказной работы является показательной функцией независимо от характера зависимости (t) (как будет показано в следующей теме - от закона распределения).
Рассмотренные критерии позволяют полностью оценить надёжность невосстанавливаемых изделий, а также восстанавливаемых - до первого отказа. Наиболее целесообразным критерием надёжности является ВБР. Она характеризует изменение надёжности во времени и может быть легко получена расчетным путём в процессе проектирования системы и оценена при её испытаниях.