Релейно-контактная аналогия дизъюнкции и конъюнкции

Если сложное событие С заключается в появлении хотя бы одного из событий А или В, а одновременно они произойти не могут, то вероятность события С равна сумме вероятностей событий А и В.

Р(С) = Р(А) + Р(В). (1-3)

В этом случае события имеют специальное название.

Если события вместе наступить не могут, то они называются несовместными. Извлечение из колоды тузов – группа несовместных событий, так как одна карта никак не может быть сразу несколькими тузами. Если мы перебрали все возможные варианты несовместных событий, то одно их них случится непременно. Такая группа событий называется полной группой несовместных событий. Вероятность полной группы несовместных событий равна единице.

n

Р(С) =  Р(С_i) = 1. (1-4)

i=1

Самый простой пример такой группы событий –противоположные события А и Ā. Очевидно, что одно из них случится непременно и

Р(А +Ā) = Р(А) + Р(Ā) = 1. (1-5)

Как быть с конъюнкцией событий? Вероятность сложного события D = А В определяется условно, через вероятность события А при условии события В или через вероятность события В при условии события А.

Р(D) = Р(А В) = Р(А) Р(В/А) = Р(В) Р(А/В). (1-6)

Если события А и В не зависят друг от друга, то выражение Р(А/В) превратится в безусловную вероятность события А, а выражение Р(В/А) - в безусловную вероятность события В, и вероятность события D определится простым произведением

Р(D) = Р(А) Р(В) = Р(В) Р(А). (1-7)

Задача. Какова вероятность того, что на выборах президента США в 1992 году все три кандидата, представленные в бюллетенях (Дж. Буш-старший, Билл Клинтон и Рос Перо), являлись левшами, если допустить, что каждый десятый мужчина, родившийся в США, является левшой?

Так как представленные кандидаты не являются родственниками, рассматриваемые события (какой-то конкретный кандидат – левша) следует считать не зависящими друг от друга. Тогда вероятность того, что все три кандидата в президенты являются левшами, определяем по выражению (1-7)

P(D) = P(A) P(B) P(C) = 0,1 0,1 0,1 = 0,001.

Некоторые студенты, ничего не решая, сразу же заявляют, что искомая вероятность равна единице, иначе не было бы самой этой задачи. Следует признать, что в данном случае «студенческая мудрость» себя оправдывает - все три перечисленных политических деятеля действительно левши!

Остался нерешённым вопрос – как же рассчитать вероятность суммы совместных событий?

Задача. Чему равна вероятность того, что из двух наугад взятых из ящика лампочек хотя бы одна исправна, если известно, что вероятность исправности каждой из таких лампочек р = 0,6?

Складывать вероятности р в данном случае нельзя. Это сложение даст результат больше единицы, что противоречит здравому смыслу. В этом случае самое простое решение – воспользоваться уже имеющимися знаниями и расписать все возможные события. Получим полную группу из четырех несовместных событий:

1) Первая лампочка исправна, вторая – нет;

2) Первая лампочка неисправна, вторая исправна;

3) Обе лампочки исправны;

4) Обе лампочки неисправны.

Эти события сложные, каждое из них состоит из двух независимых друг от друга событий. Вероятности этих сложных событий определяются по формуле (1-7).

Р(Соб₁) = р₁ q₂ ,

где р₁ = 0,6 - вероятность исправности первой лампочки;

q₂ = 0,4 - вероятность неисправности второй лампочки.

Р(Соб₁) = 0,6 0,4 = 0,24.

Вероятность второго события

Р(Соб₂) = q₁ р₂ = 0,4 0,6 = 0,24,

так все как лампочки одинаковые.

Вероятность третьего события – одновременной исправности лампочек

Р(Соб₃) = р₁ р₂ = 0,6 0,6 = 0,36.

Вероятность четвёртого события – одновременной неисправности лампочек

Р(Соб₄) = q₁ q₂ = 0,4 0,4 = 0,16.

Проверим правильность наших вычислений сложением полученных вероятностей

Р(Соб₁) + Р(Соб₂) + Р(Соб₃) + Р(Соб₄) =

= 0,24 + 0,24 + 0,36 + 0,16 = 1,00.

то есть полная группа несовместных событий была составлена правильно.

Наша искомая вероятность равна сумме первых трех вероятностей, так как заданное условие – исправность хотя бы одной лампочки – выполняется в каждом из соответствующих событий.

Р = Р(Соб₁)+ Р(Соб₂)+Р(Соб₃) = 0,24 + 0,24 + 0,36 = 0,84.

А если бы мы вытаскивали из ящика не две, а четыре лампочки? Как решать задачу в этом случае? Расписать

все возможные события здесь было бы очень трудно, так как условие выполняется во всех событиях кроме одного – все четыре лампочки неисправны.

В таких случаях гораздо проще рассчитать вероятность противоположного события, и искомую вероятность получить, вычитая этот результат из единицы по формуле (1-5).

В случае двух лампочек вероятность такого события

Р(Соб₄) = q₁ q ₂ = 0,4 0,4 = 0,16.

Тогда ответ к задаче

Р = 1 - 0,16 =0,84.

Когда количество прямых событий бывает очень большим, такой подход к решению задачи оказывается единственно возможным.

Если представить ситуацию графически, то станет понятным, почему в случае совместных событий сложение вероятностей даёт ошибку. На рисунке 1.7 цифрой 1 отмечена область первого события, цифрой 2 – второго, цифрой 3 – третьего. Всё остальное пространство относится к четвёртому событию.

Состояния безотказной работы 1-й и 2-й ламп (фигуры 1 и 2 на рисунке 1.7) накладываются друг на друга, и, суммируя вероятности безотказной работы ламп, мы область 3 учли дважды. Так как эта область соответствует вероятности третьего события, можно вывести формулу для определения искомой вероятности, вычитая из

1 3 2 4

Рис. 1.7