2.2. Частота отказов

2.2.1. Вероятностное определение

Частота отказов - это производная по времени от вероятности отказа

а(t) = q’(t). (2-23)

Зная частоту отказов, можно определить вероятность отказа

и ВБР

t

q(t) = ∫а(t)dt (2-24)

0

В теории вероятностей кроме понятия функции распределения случайной величины существует понятие плотности распределения. Это производная по времени от функции распределения этой случайной величины.

В случае нашей случайной величины - наработки до отказа Т -

- частота отказов как раз и будет представлять собой плотность распределения наработки до отказа.

а(t) = q’(t) = f(t). 2-25)

Зависимости вероятности и частоты отказов от времени представлены на рисунке 2.4.

Рис 2.4.

Частота и вероятность отказов

2.2.2. Статистическая оценка

Если частота отказов - это производная по времени от вероятности отказа, то ее статистическая оценка

∆q^*(t)

a^*(t) = --------, (2-26)

∆t

где

n(t+∆t) - n(t)

∆q^*(t) = q^*(t+∆t) - q^*(t) = ---------------. (2-27)

N(0)

Разделив выражение (2-27) на ∆t, получим выражение статистической оценки частоты отказов

n(t+∆t) - n(t) ∆n(t,t+∆t)

а^*(t,t+∆t) = --------------- = -----------. (2-28)

∆t N(0) ∆t N(0)

Статистически частота отказов представляет собой отношение числа отказов в единицу времени (числитель, деленный на ∆t) к первоначальному числу изделий, поставленных на испытания. Мера приближения статистической оценки к теоретическому значению (устойчивость оценки) возрастает с увеличением N(0) и уменьшением интервала ∆t.

2.3. Интенсивность отказов

ГОСТ 27.002-95 дает следующее определение интенсивности отказов:

Интенсивность отказов (t)- условная плотность вероятности возникновения отказа объекта, определяемая при условии, что до рассматриваемого момента времени отказ не возник.

Ранее мы рассмотрели условную вероятность возникновения отказа объекта, определяемую при условии, что до рассматриваемого момента времени отказ не возник. Разделив её на ∆t, получим

q(t,t+∆t) q(t+∆t) - q(t) ∆q(t,t+∆t) а(t)

-------- = --------------- = --------- = ------ .

∆t ∆t р(t) ∆t р(t) р(t)

Условная плотность вероятности возникновения отказа объекта определяется как отношение частоты отказов к ВБР.

 (t) = а(t)/р(t) = f(t)/р(t). (2-29)

Статистическая оценка интенсивности отказов должна представлять собой отношение статистической частоты отказов к статистической ВБР

  а^*(t) n(t+∆t) - n(t) ∆n(t,t+∆t)

  ^*(t) = -------- = -------------- = ---------. (2-30)

  р^*(t) ∆t N(t) ∆t N(t)

Статистическая оценка интенсивности отказов – отношение числа отказов в единицу времени к числу изделий, исправно работающих в момент времени t, то есть, в начале интервала.

Задача. Интенсивность отказов полупроводниковых вентилей равна 1.25 10^-2 1/час. В системе 100 вентилей. За 4 часа работы функция надежности изменяется на 0,02. Определить число отказов вентилей за этот промежуток времени и общее число отказавших вентилей в начале рассматриваемого периода.

Прежде всего, запишем данные и искомые величины символами Теории надёжности. Общее число объектов N(0) = 100. Заданный интервал времени ∆t = 4 часа. ∆p(t,t+∆t) = 0,02.

Число отказов вентилей за эти 4 часа работы ∆n(t,t+∆t).

∆n(t, t+∆t) = N(0) ∆p(t, t+∆t) = 100 0,02 = 2.

Применяя к интенсивности отказов выражение (2-30), отметим, что в нём нам неизвестна лишь величина N(t) – число исправных изделий к моменту начала интервала. Умножив обе части выражения (2-30) на эту величину и разделив на заданную нам величину λ*(t, t+∆t), получим

∆n(t,t+∆t) 2 200

N(t) = ----------------- = ------------ = --------- = 40.

∆t λ*(t,t+∆t) 4 1.25 10^-2 4 1.25

Преобразуя выражение (2-14), определим вторую искомую величину

n(t ) = N(0) - N(t) = 100 – 40 = 60.