3.3. Распределение вейбулла - обобщённый двухпараметрический закон распределения

Где эти два параметра? Что обобщает этот закон? Выражение закона Вейбулла для ВБР

Р(t) = Exp(-аt^b), (3-9)

где а и b - константы, называемые параметрами распределения.

При значении параметра b=1 получаем выражение экспоненциального закона распределения, а при b=2 - закона Рэлея. Закон распределения Вейбулла включает в себя (обобщает) эти два закона в качестве частных случаев.

Плотность распределения

f(t) = q(t) = [1-Exp(-аt^b)] =

(3-10)

= (-а)bt^b-1[-Exp(-аt^b)] = аbt^b-1Exp(-аt^b)

Интенсивность отказов имеет вид

(t) = аbt^b-1Exp(-аt^b)/Exp(-аt^b) = аbt^b-1. (3-11)

Рассмотрим влияние параметров b на вид зависимостей от времени интенсивности отказов. Подставляя в (3-11) b=1, получим (t)=а=Const, а при b=2 - (t)=2аt, то есть уравнения прямых линий. Взяв в качестве b1, значение 0.5, получим (t)=

= 0.5/√t, графиком чего будет кривая, похожая на гиперболу. При 1b2, например, b=1.5, получим (t)=1.5аt^0.5. Эта кривая соответствует функции квадратного корня. И, наконец, при b2, например, b = 3, получаем (t)=3аt², графиком чего является квадратичная парабола. Графики зависимостей (t) при всех возможных вариантах параметра b редставлены на рисунке 3.1.

(t) b=2 (закон Рэлея)

b=1 (эксп. з-н)

1b2

b  2

b  1

0 t

Рис. 3.1.

Интенсивности отказов в зависимости от параметра b

Таким образом, закон распределения Вейбулла позволяет описывать практически любые распределения НДО. Параметр b является коэффициентом формы кривых (t) и Р(t).

Вид зависимостей Р(t) меняется не столь резко, как (t), так как согласно общей формуле ВБР она является показательной функцией независимо от закона распределения. При b  1 график Р(t) похож на график экспоненты (b=1). При всех b1 эта кривая имеет точку перегиба, причем резкость изгиба графика увеличивается с ростом b.

Рис.3.2.

Функции надежности в зависимости от параметра b

Второй из параметров – параметр а является коэффициентом времени. Он сжимает или растягивает графики Р(t) вдоль оси t, причем при меньших значениях параметра а график Р(t) будет растянут (будет располагаться правее), а при больших – сжат (то есть будет находиться ближе к вертикальной оси).

Изменяя а и b, можно подобрать кривую практически под любую статистику.

CНДО при этом законе определяется выражением

Т_ср = а^-1/b (1+1/b), (3-12)

(1+1/b) - Гамма-функция от аргумента (1+1/b), неэлементарная

функция, являющаяся распространением понятия

факториала на всю действительную числовую ось.

∞

(х) = ∫е^-t t^x-1 dt, (3-13)

0

где t - вспомогательная переменная.

Для целых k значения (k+1) = k!