3.4. Другие законы распределения. Суперпозиция распределений

В статистике, широко применяется нормальный закон распределения случайных величин, а также логарифмический нормальный закон. Применение их в ТН несколько затруднено вследствие необходимости усечения, так как наша случайная величина - НДО - не может быть отрицательной. Усечённый нормальный закон имеет следующее выражение для ВБР

р(t) = 0.5С₀- С₀[(t-Т_cр)/], (3-14)

где С₀ = 1/[0.5 + (Т_cр/)] - коэффициент усечения;

Т_cр и  - СНДО и среднеквадратическое отклонение (корень из

дисперсии);

(Т_cр/) - нормированная функция Лапласа, значения которой

берутся из специальных таблиц.

х

(х) = = 1/√2∫Ехр(-0.5z²) dz, (3-15)

0

где z - вспомогательная переменная.

Выражение для плотности распределения

f(t) = С₀/(√2)Ехр[-(t-Т_cр)/2²]. (3-16)

Похожие выражения р(t) и f(t) и в логарифмическом нормальном законе распределения. Неудобство пользования этими законами в сравнении с законом распределения Вейбулла очевидно.

Оба эти закона двухпараметрические, так как СНДО Т_cр и среднеквадратическое отклонение  - параметры этих законов.

Кроме того, существует Гамма-распределение, когда

(₀t)^k-1

f(t) = ₀ --------- Exp(₀t), (3-17)

(k)

и другие законы распределения.

Суперпозиция распределений - это сумма двух или более распределений, применяемая в тех случаях, когда ни один из известных законов не подходит в должной мере к полученной статистике. Тогда

f(t) = С₁f₁(t) + С₂f₂(t), (3-18)

где С₁ и С₂ - коэффициенты веса, доли единицы;

f₁ и f₂ - любые известные (разные) распределения.

С помощью этого приема можно описать самые неудобные статистические данные.

3.5. Проверка правильности выбора закона распределения случайной величины

Точность совпадения теоретической кривой закона распределения и статистической кривой проверяется с помощью критериев согласия. Если есть статистические данные об отказах партии объектов, и они выровнены каким-либо законом распределения, то, как бы точно мы ни старались воспроизвести статистику в принятой формуле теоретического распределения, всё равно всегда будет какое-то расхождение. Оно может быть вызвано двумя причинами:

1) случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным

числом наблюдений и

2) неправильным выбором теоретической кривой для данной

статистики.

Мерой расхождения между экспериментальными значениями функции надёжности и их теоретической аппроксимацией являются критерии согласия.

Наиболее часто применяются два критерия - Колмогорова и критерий "хи-квадрат" Пирсона.

Академик Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987) – великий русский математик, признанный таковым во всём мире. При использовании критерия согласия Колмогорова считается, что теоретическое распределение не противоречит экспериментальным данным, если максимальное значение модуля D отклонения теоретической функции распределения от экспериментальной (рис. 3.3) соответствует неравенству

Р₁(t), Р₂(t)

D√N(0) = 1 (3-19)

D

t

Рис. 3.3.