2.1. Вероятность безотказной работы и вероятность отказа

2.1.1. Вероятностные определения

Вероятность безотказной работы (ВБР) - это вероятность того, что объект не откажет до момента времени t, будучи исправным в начальный момент времени. Еще одно определение:

ВБР - это вероятность того, что наработка Т до отказа окажется больше заданного времени t.

р(t) = р{Тt}, (2-1)

где Т - наработка до отказа (НДО), случайная величина, измеряемая

в единицах времени.

Событие {Тt} - безотказная работа, а событие {Т=t} -

- отказ. Вероятность отказа q(t) - это вероятность того, что объект откажет хотя бы один раз в течение заданной наработки, будучи работоспособным в начальный момент времени, или вероятность того, что наработка до отказа Т окажется меньше или равной заданному времени t.

q(t) = р{Т=t}. (2-2)

Рассмотрим сумму вероятностей р(t) и q(t). Она равна вероятности суммарного события - будет или отказ или безотказная работа. Эта же дизъюнкция условий может выражаться через НДО. Наработка Т до отказа окажется или больше заданного времени t, или меньше t, или равна ему. Отсюда следует -

р(t) + q(t) = 1, (2-3)

так как одно из этих событий случится обязательно, а вместе они произойти не могут (полная группа несовместных событий).

Зависимость ВБР от времени имеет невозрастающий характер, а вероятность отказа, наоборот, является функцией неубывающей.

p,q

1

p q

0,5

0 t

Рис 2.1.

Зависимость от времени вбр и вероятности отказа

Так как в начальный момент времени объект был исправен, то

р(t=0) = 1, а q(t=0) = 0. (2-4)

Для момента времени, равного бесконечности

р(t=∞) = 0, а q(t=∞) = 1, (2-5)

то есть бесконечно долго никакой объект работоспособным быть не может, когда-нибудь отказ неизбежен.

В теории вероятностей существует понятие функции распределения случайной величины. Это вероятность того, что значение этой случайной величины (например, наработки до отказа Т) окажется меньше или равной заданного времени t.

F(t) = р{Т=t}. (2-6)

Очевидно, что вероятность отказа q(t) представляет собой функцию распределения случайной величины - наработки до отказа.

F(t) = р{Т=t} = q(t). (2-7)

Задача. Функция надёжности (зависимость ВБР от времени) аккумуляторной батареи, работающей без подзаряда, описывается эмпирической формулой р(t) = 1 – 1,5625 10^-6t², где t – время в часах. Определить максимальное время Т_мах, в течение которого возможна работа батареи до наступления необратимого отказа, то есть разрушения батареи из-за отсутствия подзаряда.

Что такое «необратимый отказ» и чем он характеризуется? Как связать этот отказ с имеющейся зависимостью ВБР от времени? Чему равно значение ВБР в момент отказа? Оно равно нулю. Поэтому, приравнивая заданное выражение нулю, и заменяя t на Т_мах, получим ответ:

0 = 1 - 1,5625 10^-6 Т_мах ²,

10⁶ = 1,5625 Т_мах ²,

откуда Т_мах = 800 часов.