Основы высшей математики для инженеров 2009

Теорема 2. Предел произведения конечного числа функций равен про2

Следствие. ПостоянныйM62множитель можно выносить за знак пре дела.

П р и м е р.

lim 5x3 5 lim x3 5 8 40.

82 Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

П р и м е р ы.

1. lim 3x 5 8 4. x 1 4x 2 2

2. lim x2 4 lim (x 2) 4.

f (x)

большая.

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 1.

2.6. Сравнение бесконечно малых

Сравнение бесконечно малых. Свойства непрерывных в точке функций. Классификация точек разрыва. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

2.6.1. Сравнение бесконечно малых

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если отношение бесконечно малых функций *

)

имеет конечный и отличный от нуля предел, то * и ) называются беско нечно малыми одного порядка. Символически это записывается сле дующим образом: ) O4*5.

П р и м е р. * x, ) x3 (x 0).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Функция * называется бесконечно малой k го

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Если lim * 1, то бесконечно малые ) и * эк

)

вивалентны: ) ~ *.

П р и м е р. x ~ sin x, x ~ tg x, x ~ ln (1 x).

Теорема. Пусть ) ~ )1, * ~ *1, тогда

lim ) lim )1 .

x a * x a *1

84 Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Доказательство. Представим отношение ) в следующем виде:

Таким образом, при вычислении пределов бесконечно малые можно заменять эквивалентными.

Из основных теорем о пределахM62вытекают следующие теоремы о свой ствах непрерывных функций.

Теорема 1. Если f (x) и ((x) непрерывны в точке x a, то в этой точ2 ке непрерывны их сумма, разность, произведение и частное (при ((a) 0).

В самом деле, в рассматриваемом случае

и функция u ((x), непрерывная в точке x a, и пусть ((a) A. Тогда сложная функция F(x) f (((x)) непрерывна в точке x a.

Доказательство. Функция f (x) непрерывна в A, следовательно, оп ределена в некоторой окрестности этой точки. Поэтому

Здесь u ((x) и учтена непрерывность функции ( в точке x a:

((x) ((a) A.

x a

П р и м е р ы.

1) P(x) a0 xn a1xn 1 an непрерывна x;

Из свойств предела функции следует также теорема:

Теорема 3. Если функция f (x) непрерывна в точке a, то существует окрестность u(a) этой точки, на которой f (x) ограничена.

2.6.3. Классификация точек разрыва

Рассмотрим различные случаи предельного перехода к точке х0 слева и справа:

Если функция такова, что для нее существуют конечные пределы

но равенства (1) не выполняются, то, очевидно, f (x) разрывна в точке x0. В этом случае говорят, что f (x) имеет в точке x0 разрыв 1 го рода.

разрыва.

Если у функции f (x) не существует правостороннего или левосто роннего предела в точке x0, или эти пределы равны , то говорят

2.6.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Функция f (x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех точках (a, b), а в точке a непрерывна справа, в точке b — слева.

Теорема 1. Если функция f (x) непрерывна на [a, b], то она ограничена

на нем, т. е. k 0: | f (x)| k x [a, b].

Теорема 2 (Вейерштрасса). Если функция f (x) определена и непрерыв2

на на [a, b], то она достигает в этом промежутке своих точных верхней

inf f (x) sup f (x).

Теорема 3. Если f (x) определена и непрерывна на [a, b] и числа f (a) и f (b) отличны от нуля и имеют разные знаки, то на (a, b) имеется, по крайней мере, одна точка С такая, что f (c) 0.

Следствие. Если f (x) непрерывна на [a, b], f (a) A, f (b) B (A B) и

A C B, то c: f (c) C, т. е. непрерывная на [a, b] функция принимает все промежуточные значения между ее значениями на концах [a, b].

Доказательство. F(x) f (x) C непрерывна на [a, b], f (a) C 0; f (b) C 0 c: f (c) C 0 f (c) C.

2.7. Введение в дифференциальное исчисление функций одной переменной… 87

2.7. Введение в дифференциальное исчисление функций одной переменной. Производная

Производная, ее геометрический смысл. Механический смысл произ водной. Дифференцируемость и ее связь с непрерывностью. Произ водные элементарных функций.

Дифференциальное исчисление — раздел математики, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их при менения к исследованию функций. Развитие дифференциального ис числения тесно связано с развитием интегрального исчисления. Вме сте они составляют основу математического анализа, имеющего чрез вычайное значение для естествознания и техники. В общих чертах построение дифференциального и интегрального исчислений было за ложено в трудах механиков И. Ньютона и Г. Лейбница во второй по ловине XVII века. Имя и труды выдающегося английского ученого Исаака Ньютона (1643–1727), заложившего основы современного ес тествознания и классической физики, широко известны. Немецкий ученый Готфрид ВильгельмM62Лейбниц (1646–1716) независимо от И. Ньютона начал разработку дифференциального и интегрального исчисления при проведении научных исследований, которые относят ся к механике, теории упругости и теории колебаний. Создание диф ференциального исчисления явилось началом периода бурного разви тия математики и связанных с ними прикладных наук.

Дифференциальное исчисление основано на понятиях действи тельного числа, функции, предела и непрерывности — важнейших по нятиях математики, с которыми мы познакомились на предыдущих лекциях.

Основные понятия дифференциального исчисления — производ ная и дифференциал — и разработанный в дифференциальном исчис лении аппарат, связанный с ними, доставляют средства для исследова ния функций.

2.7.1. Производная

Производной от функции f (x) в точке x называется предел отно шения ее приращения -y в этой точке к соответствующему прираще нию аргумента -x, когда -x 0: