Основы высшей математики для инженеров 2009

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется определитель n 1 порядка, полученный из | A | вычеркива нием i й строки и j го столбца, на пересечении которых стоит эле мент aij , взятый со знаком ( 1)i j . Например, для

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Определитель | A | n го порядка положим равным

| A | a11A11 a12 A12 a1n A1n.

Такое разложение называетсяM62разложением по первой строке. Оно сводит вычисление определителя n го порядка к вычислению опреде лителей n 1 го порядка и т. д., до определителей 2 го порядка.

Можно доказать, что определитель можно вычислять путем разло жения по любой строке или столбцу

(4 4) 2( 1 0) 3( 2 0) 4.

При вычислении определителей полезными бывают свойства оп ределителей:

1) при транспонировании значение определителя не меняется:

|A | | A |;

2)если в определителе две строки (два столбца) пропорциональ

ны, то он равен 0. В частности, определитель равен 0, если две строки (два столбца) совпадают или одна строка (столбец) нулевая;

3) если поменять местами две строки (два столбца), то определи тель изменит свой знак на противоположный.

1.7. Решение систем линейных уравнений. Основные понятия

Основные понятия. Матричная запись линейной системы. Геометри ческая интерпретация. Структура общего решения линейной системы. Правило Крамера. Матричный метод.

При исследовании количественных характеристик физических яв лений мы прежде всего вскрываем простейшие связи между ними — линейные. Так естественно возникают линейные системы. Например, в статистических явлениях механики, электротехники, гидравлики и других зависимость между физическими компонентами (сопротив ление, напряжение, давление, движение рычага и др.) нередко являет ся линейной. Именно поэтомуM62система линейных уравнений

a11x a12 y b1

a21x a22 y b2

выражает:

а) в механике — равновесие системы сил; б) в электромеханике — зависимость между величиной тока и ак

тивным сопротивлением в электрической цепи; в) в строительном деле — зависимость между силами и деформа

циями в элементах конструкции.

Линейные системы, описывая качественно различные явления, вскрывают поразительное единство материального мира. Поэтому ре шение линейных систем всегда было в центре внимания математиков. В 1750 г. швейцарским математиком Г. Крамером, на основе только что созданной теории определителей был предложен метод исследова ния линейных систем, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, носящий теперь название правила Крамера. Через 100 лет немецким математиком Л. Кронекером и итальянским математиком Капелли на основе понятия ранга матрицы было проведено полное ис следование произвольной линейной системы. И если на принципиаль ные вопросы, касающиеся числа решений линейной системы, научи лись давать ответы сравнительно давно, то численные методы решения линейных систем и сейчас интенсивно развиваются, потому что клас

34 Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

сические методы, такие, как правило Крамера, приводят к выполне нию большого числа арифметических операций и накоплению погреш ностей вычислений.

1.7.1. Основные понятия

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Системой из m линейных уравнений с n неиз вестными называются соотношения вида

a11x1 a12 x2 a1n xn b1,

&

Здесь x1, x2 , …, xn — неизвестные, aij — коэффициенты системы, bi — свободные члены или правые части системы.

Решением системы (1)M62называется совокупность таких чисел x1, x2 , …, xn, которые обращают все уравнения системы в тождества. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. В противном случае — несовместной. Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной, а система, имею щая более одного решения, — неопределенной.

Составим из коэффициентов aij матрицу

которую назовем матрицей системы (1), векторы столбцы из неиз вестных и из свободных членов:

Тогда систему (1) можно записать в матричном виде

Ax b.

Если считать вектор столбец из неизвестных x вектором простран ства Rn, то каждое уравнение системы является уравнением гиперпло скости в Rn. Поэтому решить систему (1) — это значит выяснить вза имное расположение m гиперплоскостей в Rn.

1.7.2. Структура общего решения линейной системы

Наряду с неоднородной системой Ax b , рассмотрим однородную систему

Множество решений однородной системы (2) назовем ядром сис темы Ax b и обозначим через

Так как ker A , Rn, то ядро системы естественно назвать подпро странством Rn.

Теорема 2. Если x0 — какое2либо частное решение неоднородной сис2 темы Ax b, то произвольное решение x неоднородной системы можно записать в виде x x0 u, где u ker A.

Доказательство. Сначала покажем, что u ker A вектор x x0 u является решением неоднородной системы. Действительно,

Ax A(x0 u) Ax0 Au b 0 b.

Пусть x — произвольное решение неоднородной системы. Обозначим x x0 u. Имеем

Au A(x x0) Ax Ax0 b b 0.

Значит, u ker A и x x0 u. Теорема доказана.

Результаты этого пункта геометрически можно проинтерпретиро вать так. Так как нулевой вектор является решением (2), то ker A естест венно считать плоскостью в Rn, проходящей через начало координат.

36 Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Размерность этой плоскости следует положить равной размерности ker A как линейного пространства. Можно показать, что размер ность гиперплоскости

a1x1 a2 x2 an xn 0,

т. е. однородной системы из одного уравнения, равна n 1. Тогда, в силу теоремы 2, множество решений неоднородной системы будет сдвигом плоскости ker A на вектор x0, т. е. тоже плоскостью той же размерности. В частности, произвольная гиперплоскость — это плос кость в Rn наибольшей размерности n 1.

1.7.3. Правило Крамера решения системы линейных уравнений

Рассмотрим систему порядка n вида

a11x1 a12 x2 a1n xn b1,

&

&a21x1M62a22 x2 a n xn b2,

(3) &. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

&an1x1 an x2 ann xn bn.

Определитель матрицы А, составленный из коэффициентов aij при не известных, назовем главным:

С каждым неизвестным xi свяжем определитель -i, который получает ся из главного заменой i го столбца из коэффициентов при xi на стол бец из правых частей системы:

2)если - 0 и хотя бы один из определителей -1, …, -n не ра вен 0, то (3) несовместна;

3)если - -1 -2 -n 0, то система (3) неопределенна.

1.7.4. Матричный метод

Систему (3) можно записатьM62в матричном виде

Ax b,

где A (aij)n!n — квадратная матрица n го порядка.

Если | A | 0, то, согласно правилу Крамера, система имеет единст венное решение. Это решение x можно найти с помощью обратной матрицы

x A 1b.

Действительно,

Ax A(A 1b) (AA 1)b Eb b,

Здесь следует также отметить, что если развернуть правую часть представленного решения через обратную матрицу с учетом ее выра жения через алгебраические дополнения основной матрицы данной линейной системы, то мы получим формулы Крамера.

38 Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

П р и м е р. Pешить матричным способом систему

1.8. Метод Гаусса практического решения систем линейных уравнений

Метод Гаусса. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли.

1.8.1. Метод Гаусса

Переходим к исследованию общих линейных систем. Рассмотрим систему из m линейных уравнений и n неизвестныx:

a11x1 a12 x2 a1n xn b1,

&

&a21x1 a22 x2 a2n xn b2, (1)

&. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

&am1x1 am2 x2 amn xn bm.

40 Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Поменяем местами вторую и третью строки:

К третьей строке прибавим вторую, умноженную на 7:

Полученной диагональной матрице соответствует эквивалентная сис

1M62.8. . Ранг матрицы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Минором k го порядка матрицы A (aij)m!n называется определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении каких либо k строк и k столбцов (k n, k m).

Следует обратить внимание, что данное понятие минора k го по рядка обобщает введенное ранее определение алгебраического допол ния Aij элемента аij квадратной матрицы А. Сравнивая эти два опреде ления, необходимо отметить очевидную связь между ними:

Aij ( 1)i j M ij ,

где M ij — определитель матрицы, которая получается из матрицы А путем вычеркивания i й строки и j го столбца. Таким образом, опре делитель M ij можно назвать минором элемента aij квадратной матри цы А.

Рангом матрицы А называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от 0. Всякий отличный от 0 минор, порядок кото рого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором. Ранг матрицы будем обозначать через rang A; rang A r означает, что матри ца имеет минор порядка r, отличный от 0, а все миноры порядка r 1 или равны 0, или не существуют.