Основы высшей математики для инженеров 2009

При вычислении ранга матрицы полезно пользоваться элементар ными преобразованиями как над строками, так и над столбцами.

П р и м е р. Определить ранг матрицы

Вычислим определитель данной матрицы путем разложения по элементам первой строки. При этом воспользуемся отмеченной здесь связью между минорами и алгебраическими дополнениями:

Как видим, определитель данной матрицы равен нулю, но миноры второго порядка отличны от нуля. Следовательно, ранг матрицы А: rang A 2.

1.8.3. ТеоремаM62Кронекера – Капелли

Система (1) совместна, т. е. имеет хотя бы одно решение, тогда

итолько тогда, когда rang A rang A1, причем

1)если rang A rang A1, то (1) несовместна;

2)если rang A rang A1 r n (числу неизвестных), то (1) неопре2 деленна;

3)если rang A rang A1 n, то (1) имеет единственное решение.

Отметим, что однородная система всегда совместна, так как имеет нулевое решение. Для нее справедливо

СЛЕДСТВИЕ. Размерность пространства решений ker A однород ной линейной системы Ax 0 равна n r.

Из сформулированной теоремы вытекает алгоритм решения сис темы (4).

Пусть rang A rang A1. В матрице А выделяем базисный минор по рядка r. С этим минором связаны r уравнений и r неизвестных систе мы (1). Эти уравнения и неизвестные назовем базисными; все осталь ные уравнения системы отбросим, а все остальные n r неизвестных в базисных уравнениях перенесем направо. Получим систему из r ба зисных уравнений с r базисными неизвестными. Так как ее определи тель, являясь базисным минором, отличен от 0, то по правилу Краме ра полученная система имеет единственное решение. Это решение,

42 Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

зависящее от n r произвольных постоянных, соответствующих неба зисным неизвестным, и будет общим решением исходной системы (1). Этот алгоритм мы будем применять к эквивалентной ступенчатой сис теме, полученной из исходной с помощью метода Гаусса.

П р и м е р. Найти размерность и базис пространства решений од нородной линейной системы

x1 x2 3x3 2 x4 0,

&

2 x1 3x2 x3 x4 0, &4x1 x2 5x3 3x4 0.

С помощью метода Гаусса преобразуем эту матрицу к ступенчатому виду. Для этого прибавим ко второй строке первую, умноженную на

Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на 1, и отбросив нулевую строку, получим ступенчатую матрицу

Так как минор

1 1

5 0,

0 5

то rang A rang A1 2.

Полученной матрице соответствует система

1 x2 3x3 2 x4 0,

5x2 7x3 5x4 0.

Вкачестве базисных неизвестных возьмем x1 и x2 . Тогда

8

&x3 x4,&x1 5

&&x2 7 x3 x4.5

Это и есть общее решение системы, зависящее от двух произвольных постоянных x3, x4. Положим x3 u, x4 v и запишем его так:

Окончательно, пространство решений — это двумерное простран

a2 ( 1, 1, 0, 1).

1.9. Линейные операторы

Определение и примеры линейных операторов. Матрица линейного оператора. Самосопряженный оператор. Действия над линейными опе раторами.

1.9.1.Определение и примеры линейных операторов

Вматематическом анализе изучаются функции, аргументом и зна чением которых являются действительные числа. Мы будем изучать функции, аргументом и значением которых будут векторы n мерного

44 Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

линейного пространства Rn. При этом мы ограничимся простейшим типом таких функций, а именно линейными, которые будем называть линейными преобразованиями или линейными операторами. Линей ные операторы имеют особое значение в линейной алгебре и ее при ложениях.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть каждому вектору x Rn поставлен в со ответствие единственный вектор y Rn. Функция y A(x) называется преобразованием или оператором из Rn в Rn. При этом вектор x назы вается прообразом, а y — образом оператора.

Оператор А называется линейным, если x1, x2 Rn, R выпол няются равенства:

1)A(x1 x2) Ax1 Ax2,

2)A( x1) Ax1.

П р и м е р ы.

1. Тождественный (или единичный) оператор — это линейный оператор, действующий по правилу

2. Оператор подобия. Пусть k R, x R ,

M62I x x. n

Ax kx.

Оператор А линейный:

A(x1 x2) k(x1 x2) kx1 kx2 Ax1 Ax2;

A( x1) k( x1) (kx1) Ax1.

46 Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

называется диагональным. Его геометрический смысл состоит в том, что он растягивает вектор x по осям координат в 1, 2 , …, n, соот ветственно раз: x (x1, x2, , xn) Ax ( 1x1, 2 x2, , n xn).

4. Матрица оператора поворота. Пусть 0, i , j — прямоугольная сис тема координат в R2 (pис. 1.24). Разлагая Ai , Aj по базису i , j получим

Данное утверждение открывает широкие возможности практиче ской реализации преобразования векторных величин. Поэтому раскро ем его содержание без использования математической символики.

Если (1) есть матрица линейного преобразования А а базисе e1, е2 , …, еп, то преобразование любого вектора х, представленного в данном простран2 стве в виде разложения по базису x x1e1 x2 e2 xnen , можно осуще2 ствить путем умножения матрицы А на вектор2столбец из заданных коор2 динат данного вектора.

Сказанное подтверждается приведенными выше примерами. В об щем виде рассмотрим доказательство для двумерного пространства.

Итак, при преобразовании вектора, заданного координатами в не котором базисе, линейным оператором матрица оператора в этом ба зисе умножается на вектор столбец из координат.

1.9.3. Самонапряженный оператор

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Линейный оператор A : Rn Rn называется самонапряженным, если в ортонормированном базисе его матрица

(a11x1 a12 x2)y1 (a12 x1 a22 x2)y1 (a11y1 a12 y2)x1 (a12 y1 a22 y2)x2

1.9.4.Действия над операторами

1.Сложение операторов. Суммой линейных операторов А и В в Rn

называется линейный оператор C A B такой, что для x Rn

Cx (A B)x Ax Bx.

Нетрудно показать, что матрица оператора С в некотором базисе равна сумме матриц операторов А и В в этом базисе.

2. Умножение оператора на число. Произведением линейного опе

ратора А на число R называется линейный оператор B A такой, что для x Rn

Bx ( A)x (Ax)..

Матрица оператора A равна произведению на матрицу оператора А.

48Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

3.Умножение операторов. Произведением линейных операторов А

иВ называется линейный оператор C AB такой, что для x Rn

Cx (AB)x A(Bx),

т. е. сначала вектор x преобразуется в вектор y Bx, а затем — в век тор z Ay.

При перемножении операторов их матрицы перемножаются. По этому в общем случае AB BA.

Задача. Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражаю щее x1, x2, x3 через x1, x2, x3.

Решение. Перепишем каждоеM62из преобразований в матричном виде: x Bx, x Ax . Отсюда x Ax ABx. Следовательно, нужно найти матрицу произведения операторов АВ:

4. Обратный оператор. Линейный оператор A 1 называется обрат ным к линейному оператору А, если A A 1 A 1 A E.

Матрица оператора A 1 является обратной к матрице оператора А.

1.10. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора 49

1.10.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Условие диагональности линейного оператора. Диагональность само сопряженного оператора.

1.10.1. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Ненулевой вектор x Rn называется собственным вектором ли нейного оператора А, если существует такое число , что выполняется равенство Ax x. Число называется собственным значением опера тора А, отвечающим собственному вектору x.

Множество собственных значений линейного оператора называет ся его спектром.

Рассмотрим матрицу оператора в некотором базисе:

Тогда соотношение Ax x или (A E)x 0 эквивалентно следующему:

Это есть однородная система n го порядка, всегда имеющая нулевое

решение x 0. По правилу Крамера она будет иметь ненулевое реше ние тогда и только тогда, когда ее определитель равен 0, т. е.

Итак, собственные числа являются корнями алгебраического урав нения n го порядка (1), которое называется характеристическим

50 Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

уравнением, а его левая часть — характеристическим многочленом. Заметим, что собственные значения не зависят от выбора базиса, в ко тором записывается матрица оператора А.

Пусть 0 — собственное значение, т. е. решение характеристиче ского уравнения (1). Тогда собственный вектор x, отвечающий этому собственному значению, будет решением однородной системы

(a11 0)x1 a12 x2 a1n xn 0,

Так как множество решений линейной однородной системы явля ется линейным пространством, то для нахождения собственных векто ров x, отвечающих собственному значению 0, достаточно методом Гаусса найти базис этого пространства.

89

Собственные значения 1 1, 2 13. Для 1 1 составим систему (2):