Основы высшей математики для инженеров 2009

1.10. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора 51

ров с базисом a2 (1, 2).

Отметим, что векторы a1, a2 в R2 образуют базис (векторы a1 и a2 неколлинеарны). Так как Aa1 a1, Aa2 13a2 , то матрица оператора А в этом базисе будет диагональной:

1.10.2. Условие диагональности линейного оператора

Теорема 1. Линейный оператор А в Rn приводится к диагональному виду тогда и только тогда, когда его собственные векторы образуют базис в Rn.

Тогда Ae1 1e1, Ae2 2 e2 , …, Aen nen, т. е. базис e1, …, en состоит из собственных векторов, отвечающих собственным значениям 1,

2, , n.

Достаточность. (.). Пусть e1, e2 , …, en — базис из собственных век торов, отвечающих собственным значениям 1, 2, , n.

Тогда Ae1 1e1, …, Aen nen и

0 0

Отметим, что не всякий линейный оператор приводится к диаго нальному виду, так как не всякий линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор. Примером такого оператора является опе ратор поворота в R2 на угол 0 ( '. Действительно, геометрически

52 Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

существование собственного вектора означает, что существует вектор, который растягивается оператором в раз, а оператор поворота все векторы не растягивает, а поворачивает.

Укажем достаточное условие приводимости оператора к диаго нальному виду.

Теорема 2. Если линейный оператор А в Rn имеет n различных собст2 венных значений, то собственные векторы, отвечающие им, образуют базис в Rn, и матрица оператора в этом базисе диагональная.

Доказательство для n 2. Пусть 1 2 — собственные значения, а e1, e2 — собственные векторы оператора А в R2 . Покажем, что эти векторы линейно независимы. Пусть

c1e1 c2 e2 0 0 A(c1e1 c2 e2) c1Ae1 c2 Ae2

и

c1Ae1 c2 Ae2 1c1e1 2 c2 e2 0.

Значит, c2 0. Аналогично c1 0. Теорема доказана.

Теорема 3. Для любого самосопряженного оператора А в Rn сущест2 вует ортонормированный базис из собственных векторов, в котором его

M62

матрица является диагональной.

Доказательство в общем случае является очень сложным. Мы про ведем его для n 2, т. е. для оператора в R2, матрица которого в орто

(иначе оператор уже диагональный).

1. оператор А имеет 2 различных собственных значения:

дискриминант

D (a11 a22)2 4(a11a22 a122 ) (a11 a22)2 4a122 0,

следовательно, корни действительные и различные.

2. Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны:

в силу теоремы 2 предыдущей лекции. Значит, (e1, e2) 0.

Из теоремы 2 и доказанных фактов вытекают все утверждения тео ремы 3 для n 2.

1.11. Кривые и поверхности второго порядка

Кривые второго порядка. Поверхности второго порядка.

Кривые второго порядка (эллипс, гипербола, парабола) как кони ческие сечения были известны уже математикам Древней Греции. С помощью этих кривых решались некоторые задачи на построение, оказавшиеся недоступными при использовании простейших чертеж ных инструментов — циркуля и линейки. Дальнейшие успехи теории кривых второго порядка связаны с созданием в XVII в. нового геомет рического метода — методаM62координат.

Интерес к этим кривым всегда поддерживался тем, что эти кривые часто встречаются в различных явлениях природы и в нашей деятель ности. В науке они приобрели особенное значение после того, как не мецкий астроном И. Кеплер открыл из наблюдений, а английский уче ный И. Ньютон теоретически обосновал законы движения планет, один из которых утверждает, что планеты и кометы Солнечной систе мы движутся по коническим сечениям, в одном из фокусов которых находится Солнце. Следующие примеры относятся к отдельным типам конических сечений: параболу описывает снаряд или камень, брошен ный наклонно к горизонту; в некоторых механизмах пользуются зубча тыми колесами эллиптической формы; гипербола служит графиком об ратной пропорциональности, часто наблюдающейся в природе (напри мер, закон Бойля – Мариотта). Очень многообразные применения в естествознании и технике имеют поверхности второго порядка.

56 Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

6. Пара совпадающих прямых.

x2 0 — ось OY, или y2 0 — ось OX.

7. Точка.

x2 y2 0 x 0, y 0.

8. Пустое множество.

x2 y2 1 0.

1.11.2. Поверхности второго порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Поверхностью второго порядка называется множество всех точек M(x, y, z) R3, удовлетворяющих уравнению a11x2 2a12 xy a22 y2 2a13 xz 2a23 yz a33z2 b1x b2 y b3z b0 0. (2)

Канонические уравнения поверхностей второго порядка

x2 y2 z2 a2 .

является или эллипсом, или гиперболой, или параболой, или парой пересе2 кающихся прямых, или парой параллельных прямых, или парой совпадаю2 щих прямых, или точкой, или пустым множеством.

Суть доказательства теоремы состоит в переходе к такой прямо угольной системе координат, в которой (1) имеет канонический вид.

Переход к этой системе координат в R2 осуществляется путем по ворота исходной системы координат и ее параллельного переноса.

Сначала рассмотрим частный случай (1), когда a12 0. Для приве дения (1) к каноническому виду достаточно выделить полные квадра ты отдельно у членов, содержащих x и y.

60Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Пр и м е р. x2 4х 4y2 8y 8 0 (x2 4x) 4(y2 2 y) 8 0

(x2 2 2 x 4 4) 4(y2 2 y 1 1 1) 8 0 (x 2)2 4(y 1)2 16

(x 2)2 (y 1)2 1. 42 22

Впоследнем уравнении сделаем замену

x x 2,

y y 1,

т. е. с помощью параллельного переноса перейдем к новой системе координат с центром в точке O (2, 1). В этой системе координат урав нение рассматриваемой кривой примет канонический вид

и постараемся избавиться от произведения xy.

По квадратичной форме (2) выпишем симметричную матрицу

(a11x a12 y)x (a12 x a22 y)y a11x2 2a12 xy a22 y2.