Основы высшей математики для инженеров 2009

Доказательство аналогично.

3. Если отрезок [a, b] разбит на две части [a, c] и [c, b], то

D f (x)dx D f (x)dx D f (x)dx.

Доказательство. Так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка [a, b], то при составлении интегральной суммы включим точку с в точки разбиения: c xk . Тогда

a c b. Однако оно остается справедливым и для случая, когда c [a, b]. Пусть, например, c a b. Тогда

Но D f(x)dx D f(x)dx. Поэтому

ca

b c b b c b

D f(x)dx D f(x)dx D f(x)dx D fdx D fdx D fdx. c a a a a c

b

4. Если f (x) 0 на [a, b], то D f (x)dx 0 на [a, b].

a

Доказательство. f (x) ((x) 0 D(f (x) ((x))dx 0

bb

D fdx D| f | dx.

aa

6.Если m и М — наименьшее и наибольшее значения функции на [a, b], то

b

m(b a) D f (x) dx M(b a).

a

Доказательство. Так как m f (x) M, то

Dm dx D f (x) dx DM dx

и

b

m(b a) D f (x) dx M(b a).

a

3.8. Определенный интеграл: теорема о среднем, формула Ньютона Лейбница, замена переменной, интегрирование по частям

Теорема о среднем значении определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница. Замена пе ременных в определенном интеграле. Интегрирование по частям в оп ределенном интеграле.

3.8.1. Теорема о среднем значении определенного интеграла

Если f (x) непрерывна на [a, b], то на [a, b] найдется такая точ ка с, что

b a a

Тогда из последнего неравенства вытекает, что m M.

По свойству непрерывных функций существует такое с: a c b, что f (c) и называется средним значением функции на отрезке [a, b]:

криволинейной трапеции равна площади пря моугольника с тем же основанием и высотой, равной ординате кривой в некоторой проме жуточной точке с (рис. 3.4).

Рис. 3.4

Таким образом, производная определенного интеграла по переменно му верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела.

З а м е ч а н и е. Мы попутно доказали, что всякая непрерывная функ ция имеет первообразную. Действительно, из равенства (2) следует, что E(x) есть первообразная для f(x).

Теорема. Если F(x) есть какая2либо первообразная от непрерывной функции f (x), то

Доказательство. Пусть F(x) — какая либо первообразная для f (x).

x

Так как E(x) D f (x)dx также первообразная, а все первообразные от

a

личаются на постоянную,M62то

x

D f (t)dt F(x) C.

a

Найдем С. При x a имеем

a

D f (t)dt 0 F(a) C;

a

поэтому C F(a),

x

D f (t)dt F(x) F(a).

a

При x b получаем формулу (3). Иногда ее записывают в виде

b

D f (x)dx F(x)|ba F(b) F(a).

a

Таким образом, определенный интеграл равен приращению первооб разной на отрезке интегрирования.

3.9. Геометрические приложения определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных координатах. Вычисление площадей для случая задания их границ уравнениями в параметрической форме. Вычисление площади криволинейного секто ра в полярных координатах.

3.9.1. Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных координатах

щих ниже выше оси OX. Чтобы получить пло щадь в обычном смысле, нужно на тех отрезках, где f (x) 0, заменить ее на f (x), т. е.

y f1(x), y f2(x) (f2(x) f1(x)) на [a, b], то вычисляют ее как разность площадей криволинейных трапеций (рис. 3.9):

bb

S D f2(x)dx D f1(x)dx.

aa

П р и м е р ы. Вычислить площадь, ограниченную синусоидой y sin x и осью OX при x [0, 2'].

'2'

S Dsin xdx Dsin xdx 4 (ед2).

0'

Здесь удобнее рассматривать x как функцию от y, т. е. поменять местами обозначения аргумента и функции. Тогда y x2 , x y 2

y x 2,

2

S D(x 2 x2)dx.

1

3.9.2.Вычисление площадей для случая задания их границ уравнениями

впараметрической форме

Пусть криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной уравнениями в параметрической форме: x ((t), y >(t), где t [), *]. Пусть на отрезке [a, b] эти уравнения определяют некоторую кривую y f (x) ((()) a, ((*) b).

bb

S D f (x)dx D ydx.

aa

S D>(t)( (t)dt.

)

П р и м е р. Вычислить площадь, ограниченную одной аркой цик лоиды

M62

3.9.3. Вычисление площади криволинейного сектора в полярных координатах