Основы высшей математики для инженеров 2009

то точка М — сток. Если div v 0, то поток равен 0, следовательно, ко личества втекающей и вытекающей жидкости равны.

П р и м е р. Для векторного поля F r xi yj zk вычислить его поток через произвольную замкнутую поверхность S.

Решение.

6.3. Формула Стокса. Ротор и циркуляция векторного поля. Оператор Гамильтона

Формула Стокса. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Ротор и циркуляция векторного поля. Вектор ная запись формулы Стокса. Оператор Гамильтона и его применение.

6.3.1. Формула СтоксаM62. Условия независимости криволинейного

интеграла от пути интегрирования

Формула Стокса является обобщением формулы Остроградского – Грина и позволяет свести вычисление криволинейного интеграла по замкнутому контуру L к вычислению потока через поверхность, огра ниченную этим контуром.

Теорема. Пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны вме2 сте со своими частными производными первого порядка на поверхно2 сти S, ограниченной замкнутым контуром L.

Тогда

DPdx Qdy Rdz

L

Если при этом сторона поверхности выбрана (т. е. выбрано направление единичного вектора нормали), то направление обхода контура L выбира2 ется так, чтобы поверхность оставалась слева.

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

З а м е ч а н и е. Если поверхность S — часть плоскости, параллельной плоскости XOY, то dz 0, и мы получим формулу Грина:

Из формулы (1) следует, что если

то криволинейный интеграл по любой пространственной замкнутой кривой равен 0, т. е.

Таким образом, условия (2) являются достаточными для того, что бы криволинейный интеграл (3) не зависел от пути интегрирования.

Как и в случае плоской кривой, можно показать, что условия (2) являются не только достаточными,M62но и необходимыми условиями не зависимости криволинейного интеграла (3) от пути интегрирования. При выполнении этих условий подынтегральное выражение есть пол ный дифференциал некоторой функции U(x, y, z):

dU(x, y, z) Pdx Qdy Rdz

и, следовательно, для любых двух точек М и N имеем

(N )

DdU U(N) U(M).

(M )

6.3.2. Ротор и циркуляция векторного поля. Векторная запись формулы Стокса

Пусть дано векторное поле

F P(x, y, z)i Q(x, y, z)j R(x, y, z) k.

Вектор

называется ротором (или вихрем) векторного поля и обозначается rot F . Для того чтобы запомнить выражение (4), введем определитель

H H H .

Hx Hy Hz

P Q R

Тогда

Можно показать, что rotM62F не зависит от системы координат, а оп ределяется исходным векторным полем. Полю вектора F соответству ет новое векторное поле — поле его вихрей.

П р и м е р. Пусть дано поле скоростей абсолютно твердого тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью I. Если тело вращает ся вокруг оси OZ, то v Iyi Ixj.

Найдем rot v. В данном случае P Iy, Q Ix, R 0, поэтому

Итак, rot v 2Ik . Модуль вектора 2I, следовательно, равен удво енной угловой скорости, с которой тело вращается вокруг оси OZ. От сюда происхождение названия «ротор», т. е. «вращение».

Возвратимся к формуле Стокса. Заметим, что

Соотношение (5) означает, что циркуляция вектора F по замкну тому контуру L равна потоку ротора вектора F через поверхность S, ограниченную контуром L.

П р и м е р. Вычислить циркуляцию вектора F x2 yi j z k вдоль контура x2 y2 R2 , z 0, приняв в качестве поверхности полусферу z R2 x2 y2 .

Решение.

M62i j k

rot F H H H x2 k . Hx Hy Hz

D(F, dr) DD(rot F, n)dS DD x2 cos L dS DD x2 dxdy

6.3.3. Оператор Гамильтона и его применение

Мы рассмотрели основные дифференциальные величины вектор ного анализа: градиент, дивергенцию и ротор. Эти величины могут быть записаны короче, если ввести символ, называемый оператором Гамильтона, или оператором S («набла»).

S H i H j H k.

Hx Hy Hz

Будем рассматривать этот оператор условно как вектор. Установим правила действия с ним.

1. Пусть U(x, y, z) — скалярная функция. Под произведением век тора S на U условимся понимать следующий вектор:

Но HU i HU j HU k gradU , следовательно, SU gradU .

Hx Hy Hz

2. Под скалярным произведением вектора S на вектор функцию F Pi Qj Rk условимся понимать следующую величину:

Итак, операции с вектором S производятся по правилам вектор

ной алгебры. При этом следует учесть, что произведения H , H , H на

Hx Hy Hz

скалярные функции заменяются частными производными этих функ ций по x, y, z соответственно.

6.4. Потенциальное и соленоидальное поля. Уравнение Лапласа

Потенциальное поле. Отыскание потенциала. Соленоидальное поле. Уравнение Лапласа.

6.4.1. Потенциальное поле. Отыскание потенциала

Учитывая, что

gradU U i U j U k ,

x y z

получим

gradU Pi Qj Rk F .

Таким образом, безвихревое поле является градиентом некоторой функции U. Функция U, градиент которой равен F , называется потен# циальной функцией (потенциалом) поля F . Поле, имеющее потенци# ал, называется потенциальным.

298 Глава 6. Скалярное поле

Таким образом, каждое безвихревое поле имеет потенциал, т. е. является потенциальным.

Верно и обратное: всякое потенциальное поле является безвихре#

A P dx Q dy Rdz.

L

Поскольку поле потенциально, т. е. P dx Q dy Rdz dU , то этот инте# грал не зависит от пути интегрирования, при этом потенциал (при вы# боре пути интегрирования специальным образом), может быть найден

по формуле

(x, y, z)

Тогда работа по перемещению единичной массы из точки M1(x1, y1, z1) в точку M2 (x2 , y2 , z2 ) есть

(x2, y2, z2)

(x1, y1, z1)

Для плоского поля

(x2, y2)

A P dx Q dy U (x2 , y2 ) U (x1, y1).

(x1, y1)

П р и м е р. Рассмотрим материальную точку массы m, на которую действует сила тяжести, равная mq. Пусть точка перемещается в верти# кальной плоскости: F mg j.

Таким образом, поле сил тяжестиM62потенциально. Найдем его потенци# ал U (x, y):

dU 0 dx mg dy 0 dz

(x, y)

U (x, y) mg dy mgy.

(0, 0)

6.4.2.Соленоидальное поле

Пусть задано векторное поле F Pi Qj Rk . Линию, в каждой точке которой вектор поля является касательным, называют вектор#

векторной трубки и сечениями S1 и S2 . По формуле Остроградского – Гаусса

divF dV (F , n)dS (F , n)dS (F , n)dS,

где вектор нормали n во всех случаях направлен наружу. Поскольку divF 0, то

divF dV 0 (F , n)dS (F , n)dS (F , n)dS 0.

Заметим, что поскольку векторная трубка состоит из векторных линий, то вектор F лежит в плоскости, касательной к S и, следова# тельно (F , n) 0. Тогда (F , n)dS 0. Поэтому

S

где n1 n.

Таким образом, если векторное поле таково, что во всех его точках divF 0, то поток вектора через любое сечение векторной трубки име# ет одно и то же значение.

Если векторное поле — поле скоростей жидкости, и div v 0 (т. е. отсутствуют источники и стоки), то количество жидкости, протекаю# щее через любое поперечное сечение векторной трубки, имеет одно и то же значение.

Векторное поле, в любой точке которого divF 0, называется соле ноидальным или трубчатым.