Основы высшей математики для инженеров 2009

a1 a2 an Fan,

n 1

b1 b2 bn Fbn.

n 1

Теорема 3. Если существует конечный и отличный от 0 предел

lim an ,

n bn

то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

8.2.2. Признак Даламбера

Теорема. Если для знакоположительного ряда u1 u2 un

существует предел отношения последующего члена к предыдущему

lim un 1 +,

n un

то при + 1 ряд сходится, при + 1 ряд расходится. При + 1 ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Доказательство. По определению предела 1 0 N 0, при n N

un 1 + 1 un

1. Пусть + 1. Выберем 1 столь малым, что q + 1 1. Тогда при n N имеем: uN 1 quN ,uN 2 quN 1 q2un, … . Рассмотрим два ряда:

uN uN 1 ,

uN quN q2uN .

Так как члены первого ряда не превосходят членов второго, а вто рой ряд является геометрической прогрессией со знаменателем, мень шим 1, то первый ряд сходится. Но он получен из исходного ряда от брасыванием конечного числа членов, поэтому исходный ряд сходится.

2. + 1. Тогда un 1 un при n N, т. е. члены ряда не стремятся к 0 и, следовательно, ряд расходится.

П р и м е р.

Ряд сходится.

8.2.3. Признак Коши

Теорема. Если существует lim nun +, то при + 1 ряд сходится,

n

а при + 1 — расходится. При + 1 ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

П р и м е р.

2n 1 n F ; n 1 3n 3

Ряд сходится.

n

(5) Sn bn D f (x)dx следует, что последовательность Sn неограничена,

1

т. е. ряд расходится.

П р и м е р. Так как интеграл

1

D xp dx

1

сходится при p 1 и расходится при p 1, то это же справедливо и для ряда

1 nF1np .

8.3. M62Знакопеременные ряды

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Общий случай знакопе ременных рядов. Остаток ряда. Оценка остатка знакоположительного ряда. Оценка остатка знакопеременного ряда. Оценка остатка знакоче редующего ряда, сходящегося по признаку Лейбница.

8.3.1. Знакочередующиеся ряды

Изучение знакопеременных рядов мы начнем с частного случая так называемых знакочередующихся рядов, т. е. рядов, в которых за каж дым положительным членом следует отрицательный, а за каждым от рицательным — положительный:

Признак Лейбница. Пусть в знакочередующемся ряде абсолютные величины его членов убывают, т. е.

u1 u2 un

и lim un 0, тогда ряд сходится и его сумма не превышает первого

n

члена ряда.

366 Глава 8. Числовые и функциональные ряды

тоже сходится, так как представляет собой произведение 1/2 на сходя щийся ряд. Рассмотрим теперь ряд с членами

Так как члены этого ряда являются разностью членов двух сходящих ся рядов, то этот ряд сходится. Но этот ряд есть произведение ряда (1) на 1/2, следовательно, рядM62(1) сходится.

Теорема доказана. П р и м е р.

Ряд из модулей есть гармонический ряд с p 2 и, следовательно, дан ный ряд сходится.

Доказанный признак сходимости является достаточным, но не не обходимым. Ряд

сходится по признаку Лейбница, но расходится по доказанному при знаку (т. е. расходится ряд из модулей).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из абсолютных величин его членов.

Сумма абсолютно сходящегося ряда не меняется при любой пере становке его членов.

rn — n й остаток (a), rn — n й остаток (b);

rn an 1 an 2 ,

rn bn 1 bn 2 .

rn и rn — тоже ряды. Из неравенства (3) по признаку сравнения знако положительных рядов следует, что rn rn.

Таким образом, из этого следует:

Если знакоположительный ряд (a) является мажорирующим для зна2 коположительного ряда (b), то n2й остаток ряда (b) не превосходит n2го остатка ряда (a).

П р и м е р. Оценить остаток rn при n 3 следующего ряда:

Теорема. Пусть ряд (4) сходится абсолютно, тогда модуль его n2го остатка | rn | не превосходит n2го остатка rn ряда (5).

Доказательство.

rn un 1 un 2 , rn |un 1 | |un 2 | .

Ряды rn и rn сходятся.

Это знакопеременный ряд, который сходится абсолютно, так как ряд

Обозначим rn — остаток ряда (6), rn — остаток ряда (7), rn — остаток

8.3.6. Оценка остатка знакочередующегося ряда, сходящегося по признаку Лейбница

Теорема. Если знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбни2 ца, то абсолютная величина его остатка не превосходит абсолютной ве2 личины первого из отброшенных членов.

Доказательство.

rn /(un 1 un 2 ).

Так как ряд сходится по признаку Лейбница, то | rn | не превышает пер вого члена ряда, т. е.

|rn | un 1.

Пр и м е р. Сколько членов ряда

1 1 1

2 3

нужно взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,01?

— нужно взять 99 членов данного ряда.

8.4. M62Функциональные ряды

Понятие функционального ряда, его области сходимости, суммы. Пра вильно сходящиеся функциональные ряды и их свойства. Степенные ряды, интервал сходимости. Свойства степенных рядов.

8.4.1. Понятие функционального ряда, его области сходимости, суммы

Перейдем к изучению рядов, членами которых являются функции, определенные в некоторой области изменения аргумента x:

Такие ряды называется функциональными.

Зафиксировав некоторое значение x x0, получим числовой ряд

Если ряд (2) сходится, то точка x0 называется точкой сходимости ряда (1), если же ряд (2) расходится, то точка x0 — точка расходимо сти ряда (1).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность всех точек сходимости функцио нального ряда называется областью его сходимости.