Основы высшей математики для инженеров 2009

5.7. Приложения тройного интеграла

Вычисление объема тела. Вычисление массы тела. Статические момен ты и центр тяжести тела.

5.7.1. Вычисление объема тела

Если подынтегральная функция в тройном интеграле тождествен но равна 1, то есть f (x, y, z) J 1, то

DDD f (x, y, z)dV DDDdV V,

VV

где V — объем тела.

Последнее соотношение доказывается непосредственным рассмот рением интегральных сумм.

П р и м е р. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

5.7.2. Вычисление массы тела

Пусть в пространстве OXYZ задано материальное тело. Рассмотрим его малую часть -V , содержащую точку P(x, y, z). Пусть масса этой части равна -m. Средней плотностью тела называется отношение его

массы к объему, т. е. -m . Если существует предел этого отношения

-V

при стягивании тела в точку P(x, y, z), то он называется плотностью тела в точке Р. Плотность является функцией x, y, z и обозначается +(x, y, z).

264 Глава 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

Разобьем теперь наше тело на части -Vi, в каждой из них выберем точку Pi(xi, yi, zi) и положим плотность кусочка -Vi постоянной и рав ной +(xi, yi, zi). Тогда

-mi = +(xi, yi, zi)-Vi,

nn

m F-mi = F+(xi, yi, zi)-Vi.

1 1

Предел интегральной суммы, записанной справа, при стремлении числа частей разбиения к и при стягивании каждой из них в точку равен

m DDD+(x, y, z)dz.

V

П р и м е р. Вычислить массу прямого кругового цилиндра высо ты Н и радиуса R, если плотность в каждой его точке пропорциональ на расстоянию r от этой точки до оси цилиндра с коэффициентом

5.7.3. Статические моменты и центр тяжести тела

Статическим моментом точки относительно плоскости называет ся произведение ее массы m на расстояние до плоскости. Пусть зада но тело с плотностью L(x, y, z). Тогда статические моменты Sxy, Sxz, S yz его относительно плоскостей OXY , OXZ, OYZ вычисляются по следующим формулам:

Sxy DDDz+(x, y, z)dV,

V

Sxz DDD y+(x, y, z)dV,

V

Syz DDD x+(x, y, z)dV.

V

Координаты центра масс x, y, z материального тела определяются формулами

mDDD+(x, y, z)dV

mDDD+(x, y, z)dV

V

Если тело однородное, т. е. +(x, y, z) J +0, то

DDD xdV

DDD ydV

DDDzdV

где V — объем тела.

266Глава 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

5.8.Криволинейный интеграл второго рода

Задачи, приводящие к криволинейному интегралу. Определение криво линейного интеграла. Теорема существования. Вычисление криволи нейного интеграла. Свойства криволинейного интеграла.

5.8.1. Задачи, приводящие к криволинейному интегралу

Пусть точка P(x, y) движется вдоль некоторой кривой L от точки М к точке N. К точке Р приложена сила F(P), которая меняется по вели чине и направлению при перемещении точки Р, т. е. является функ цией точки Р. Вычислим работу силы F по перемещению точки Р от М к N. Для этого разобьем дугу MN на n частей точками M0 M,

M1, …, Mn N и обозначим через -S i вектор

Пусть F(P) F(x, y) X(x, y)i Y(x, y) j, где X(x, y) и Y(x, y) — проекции вектора F(P) на оси OX и OY. Вектор -S i можно в координатной форме представить так:

Если существует предел суммы, стоящей справа в (1), при -xi 0 и -yi 0, то этот предел выражает работу силы F по перемещению точки Р вдоль кривой L от точки М к точке N.

Окончательно получаем формулу для вычисления криволинейного интеграла по дуге L:

D X(x, y, z)dx Y(x, y, z)dy Z(x, y, z)dz

L

*

D{X[((t), >(t), K(t)]((t) Y [((t), >(t), K(t)]>(t) Z[((t), >(t), K(t)]K(t)}dt.

)

5.8.4. Свойства криволинейного интеграла

(N ) (M )

1. D D.

(M ) (N ) M62

Значение криволинейного интеграла зависит от направления, в кото ром проходится кривая L. При изменении направления знак интегра ла меняется на противоположный.

2.Если кривая L состоит из нескольких кривых L1, L2 , …, Lk ,

иинтеграл по каждой кривой Li существует, то существует и интеграл по кривой L, и он равен

D D D D.

П р и м е р. Вычислить интеграл

(N )

J D2 xydx y2 dy z2 dz,

(M )

где MN — один виток винтовой линии x cost, y sin t, z 2t от точки M(1, 0, 0) до точки N(1, 0, 4').

Решение. Здесь t меняется от 0 до 2'.

2'

J D[2 cost sin t( sin t) sin2 t cost 4t2 2]dt

270 Глава 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

П р и м е р. Вычислить интеграл

J D(x2 y2)dx 2 xydy

5.9. Формула Грина – Остроградского. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования

Формула Грина – Остроградского. Независимость криволинейного ин теграла от пути интегрирования

5.9.1. ФормулаM62Остроградского – Грина

Рассмотрим в плоскости XOY область N, ограниченную некоторой кривой L. Пусть в этой области заданы функции P(x, y) и Q(x, y), не прерывные вместе со своими частными производ

ными HP и HQ . Тогда имеет место следующая

где двойной интеграл берется по области N и криволинейный — вдоль контура L, ограничивающего N, при этом контур L обходится в поло жительном направлении, т. е. так, что область N остается слева.

Эта формула была получена знаменитым русским математиком М. В. Остроградским (1801–1861) и английским физиком и математи ком Д. Грином (1793–1841). Она является частным случаем более об щей формулы, полученной Остроградским, с которой мы познако мимся позже.

Доказательство. Предположим, что область N имеет вид, изобра женный на рис. 5.21.