Основы высшей математики для инженеров 2009

7.2. Методы интегрирования некоторых дифференциальных уравнений… 313

Подставляя (17) в (16), получим

7.3. Методы интегрированияM62некоторых дифференциальных уравнений

первого порядка. Приближенное решение дифференциальных уравнений методом Эйлера

Уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах. Прибли женное решение дифференциальных уравнений первого порядка мето дом Эйлера.

7.3.1. Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение вида

Подставим (3) и (4) в (2). Приходим к линейному уравнению

dz (1 n)p(x)z (1 n)q(x). dx

Находя решение этого уравнения и пользуясь (3), находим решение уравнения Бернулли (1).

Считая y независимой переменной,M62видим, что (6) — уравнение Бер нулли относительно x(y). Интегрируя по общей схеме, получим общее

решение уравнения (5):

x (1 y ce y) 1.

7.3.2. Уравнение в полных дифференциалах

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнение

называется уравнением в полных дифференциалах, если M(x, y) и N(x, y) — дифференцируемые функции, для которых выполнено соот ношение

Теорема. Для того, чтобы левая часть уравнения (7) являлась полным дифференциалом некоторой функции двух переменных x, y, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (8).

7.3. Методы интегрирования некоторых дифференциальных уравнений… 315

В сформулированной теореме утверждается, что при выполнении условия (8) левая часть уравнения (7) есть полный дифференциал не которой функции U(x, y), т. е. dU M dx N dy. Тогда уравнение (7) имеет вид dU(x, y) 0 и, следовательно, его общий интеграл есть

U(x, y) C.

Необходимость выполнения условий (8) очевидна, а приведенное ниже доказательство их достаточности дает общую схему построения искомой функции U(x, y).

Пусть HU M(x, y),

Hx

где x0 — абсцисса любой точки из области существования решения. При интегрировании по x мы считаем y постоянным и поэтому

произвольная постоянная интегрирования может зависеть от y. Подберем функцию ((y) M62так, чтобы выполнялось второе из соотно шений (9). Для этого продифференцируем обе части последнего ра венства по y (используя при этом теорему Лейбница о дифферен цировании интеграла по параметру) и результат приравняем к

N(x, y):

HU xD HM dx ((y) N(x, y).

Hy x0 Hy

Но поскольку HM HN , то мы можем записать:

Подставляя найденное ((y) в выражение (9) и приравнивая это выра жение к произвольной постоянной С, получим общий интеграл урав

316Глава 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Пр и м е р. Дано уравнение

Условие (8) выполнено. Для общего решения применим формулу (10), положив x0 0, y0 1, и получим

xy

7.3.3. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера

и начальное условие y y0 при x x0. Требуется на отрезке x0 x b

построить интегральную кривую y y(x) уравнения (11), проходящую через точку P0(x0, y0). M62

Уравнение (11) с заданным начальным условием можно заменить следующим интегральным соотношением:

x

y(x) y0 D f (x, y)dx.

x0

Суть метода Эйлера очень простая и состоит в следующем. Если взять точку x1, достаточно близкую к x0,то y1 y(x1) можно вычислить, заменив интеграл площадью прямоугольника

с основанием x1 x0 и высотой f (x0, y0):

y(x1) y1 y0 f (x0, y0)(x1 x0). Таким способом можно последовательно

продолжить решение и записать рекуррент ное соотношение

Рис. 7.7 yk 1 yk f (xk, yk)(xk 1 xk).

Алгоритм решения очень простой, но при этом необходимо отме тить, что на большом отрезке интегрирования погрешности прибли женного вычисления интеграла заметно накапливаются. Поэтому дан ный метод удобно использовать, когда вычислить неизвестные значе ния у нужно лишь в нескольких точках по соседству с точкой x0.

7.4. Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальное уравнение n го порядка. Задача Коши, теорема Коши, общее решение. Интегрирование уравнений, допускающих пони жение порядка. Задача погони.

7.4.1. Дифференциальное уравнение n>го порядка. Задача Коши, теорема Коши, общее решение

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальным уравнением n го порядка называется уравнение вида

Всякая функция y(x), определенная и непрерывно дифференци руемая n раз в интервале (a, b), называется решением уравнения (1)

((2)), если она обращает уравнение (1) ((2)) в тождество F(x, yM62(x), y (x), , y(n)(x)) J 0,

справедливое для любого x (a, b).

Геометрическое истолкование. Всякому решению уравнения n го порядка, так же как и решению уравнения первого порядка, соответ ствует на плоскости (x, y) некоторая кривая, которая называется инте гральной кривой.

Подобно тому, как уравнение первого порядка задает некоторое общее свойство семейства касательных всех его интегральных кривых, каждое уравнение n го порядка тоже выражает собой некоторое общее геометрическое свойство всех его интегральных кривых. Так, напри мер, уравнение

F(x, y, y , y ) 0

представляет собой связь между координатами, наклоном касательной и кривизной в каждой точке интегральной кривой.

Задача Коши. Для уравнения (2) задача Коши ставится следующим образом: требуется среди всех решений найти решение уравнения (2), удовлетворяющее заданным условиям:

y(x0) y0,

. . . . . . .

y(n 1)(x0) y0(n 1),

где y0, y0, …, y(0n 1) — начальные значения решения (3); x0 — началь ное значение независимой переменной; условия (4) — начальные ус ловия.

В случае уравнения второго порядка

y f (x, y, y )

задача Коши состоит в нахождении решения y y(x), удовлетворяю щего начальным условиям y y0, y y0 при x x0. С геометрической точки зрения эта задача может быть истолкована как задача нахожде ния такой интегральной кривой, которая проходила бы через задан ную точку M0(x0, y0) и имела бы в этой точке заданное направление касательной, т. е. tg )0 y0.

Теорема Коши (теорема существования и единственности реше ния). Если в уравнении (2) функция f (x, y, , y(n 1)) непрерывна вместе со своими частными производными по y, y , …, y(n 1)в некоторой облас2

. . . . . . . . . . . . . .

((n 1)(x0, C10, , Cn0) y0(n 1).

Всякое решение, получающееся из общего при конкретных значе ниях постоянных, называется частным решением.

Соотношение вида E(x, y, C1, C2, , Cn) 0, неявно определяющее общее решение уравнения (2), — общий интеграл этого уравнения.

Формула общего решения y ((x, C1, C2, , Cn) дает возможность за счет выбора соответствующих значений произвольных постоянных C1, C2 , …, Cn решить любую задачу Коши для уравнения (2).

7.4.2. Интегрирование уравнений, допускающих понижение порядка

Для простоты выкладок рассмотрим уравнение второго порядка

y f (x, y, y ),

разрешенное относительно производной y .

Это уравнение допускает понижение порядка, если правая часть имеет следующий вид:

I. y f (x); II. y f (x, y ); III. y f (y, y ).

Рассмотрим каждый из этих случаев.

I. y f (x). Введем замену y v(x), тогда y v (x) и v (x) f (x). Отсюда v(x) M62D f (x)dx C1 F(x) C1,

т. е. y (x) F(x) C1. Окончательно:

y(x) D(F(x) C1)dx DF(x)dx C1 x C2.

v (x) f (x, v). Пусть удалось проинтегрировать последнее уравнение первого порядка: v ((x, C1) — его общее решение. Тогда y ((x, C1) и

yD((x, C1)dx C2 .

Пр и м е р. Найти частное решение уравнения (1 x2)y 2 xy 0,

удовлетворяющее начальным условиям: y(1) 0, y (1) 1. Рассматриваемое уравнение записано в виде, не разрешенном от

носительно y . Однако легко видеть, что его левая часть не содержит в явном виде y, поэтому его сразу можно отнести к случаю II.

Замена y v(x). Тогда y v и уравнение можно переписать

в виде

(1 x2)v 2 xv 0.

Это общее решение.

Для того, чтобы найти частное решение, составим систему уравне

Таким образом, частное решение имеет вид

y(x) 3 x x3 2.

22

III. y f (y, y ).

Воспользуемся заменой y v(y). Тогда

y d(y ) d(v(y)) v y v v,