Основы высшей математики для инженеров 2009

Пусть v ((y, C1) — его решение. Тогда dy ((y, C1) — уравнение с раз dx

деляющимися переменными. Его общий интеграл —

dy

D ((y, C1) x C2.

7.5. Линейные дифференциальные уравнения

Линейные уравнения n го порядка. Теорема Коши. Линейное однород ное уравнение второго порядка. Свойства его решений. Линейное не однородное уравнение. Метод вариации произвольных постоянных.

7.5.1. Линейные уравнения n>го порядка. Теорема Коши

Поэтому для линейного уравнения теорема Коши формулируется следующим образом.

Теорема 1. Пусть функции ai(x) и f (x) непрерывны на (), *), a0(x) 0. Тогда x0 (), *) единственное решение y(x) такое, что y(x0) y0,

y (x0) y0, …, y(n 1)(x0) y(0n 1).

Если в уравнении (1) f (x) J 0 x, то такое уравнение называется однородным. Оно имеет вид

a0(x)y(n) a1(x)y(n 1) an 1(x)y an(x)y 0.

Если же f (x)Ö0, x (), *), то уравнения (1) называется неоднородным.

7.5.2. Линейное однородное уравнение второго порядка. Свойства его решений

В данном разделе мы покажем, что для интегрирования линейного неоднородного уравнения

a0(x)y a1(x)y a2(x)y f (x) (2) достаточно уметь найти общее решение однородного уравнения с той же левой частью

Для этого потребуются определения и теоремы, которые приведе ны ниже без доказательства.

Теорема 2. Если y1(x) и y2(x) — два любых решения уравнения (3), то их линейная комбинация, т. е. функция y(x) C1y1(x) C2 y2(x), где C1 и C2 произвольные постоянные, также является решением этого уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Решения y1(x) и y2(x) уравнения (3) называются линейно зависимыми на (), *), если существует 0 такое, что

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Решения y1(x) и y (x) уравнения (2) называют ся линейно независимыми на (), *), если для x (), *) отличен от нуля

|W(x)| — определитель Вронского (вронскиан).

Теорема 3. Определения (1) и (2) эквивалентны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Совокупность двух решений однородного урав нения (3), определенных и линейно независимых в промежутке (), *), называется фундаментальной системой решений в этом промежутке.

Теорема 4. Если в уравнении (3) коэффициенты ai(x) непрерывны на

(), *) и a0(x) 0 и решения y1(x) и y2(x) этого уравнения образуют фунда2 ментальную систему на (), *), то функция y(x) C1y1(x) C2 y2(x) является

общим решением уравнения (3).

7.5.3. Линейные неоднородные уравнения

Пусть Y(x) C1y1(x) C2 y2(x) — общее решение однородного урав нения (3), где y1 и y2 линейно независимы.

Теорема 5. Если Y(x) — общее решение однородного уравнения (3), а y(x) — какое2либо частное решение неоднородного уравнения (2), то

a0(x) y (x) a1(x) y (x) a2(x) y(x) a0(x)[Y (x) y (x)] a1(x)[Y (x) y (x)]

Определитель системы (7) есть W(x0) (см. теорему 4), поэтому она имеет единственное решение. Теорема 5 доказана.

Рассмотрим один из методов отыскания частного решения неод нородного уравнения в предположении, что известны линейно неза висимые решения однородного уравнения.

7.5.4. Метод вариации произвольных постоянных

Пусть y1(x) и y2(x) — известные линейно независимые решения од нородного уравнения. Частное решение неоднородного уравнения бу дем искать в виде

где C1(x) и C2(x) — функции, подлежащие определению. y (x) C1y1 C1y1 C2 y2 C2 y2.

Пусть C1(x) и C2(x) таковы, что C1y1 C2 y2 0. Тогда a0 y a1y a2 y

C1(a0 y1 a1y1 a2 y1) C2(a0 y2 a1y2 a2 y2) a0(C1y1 C2 y2) f (x).

Так как y1(x) и y2(x) — решения однородного уравнения, то из послед него равенства получаем

a0(C1y1 C2 y2) f (x).

В результате для функций C1(x) и C2(x) получили систему уравнений

y(x) ищем в виде y(x) C1(x)x C2(x)x2 , где C1(x) и C2(x) находим из системы

Поэтому C1(x) x, C2(x) ln | x |,

y(x) x ln | x | x2 x2(ln | x | 1).

По теореме 5 общее решение уравнения (10) имеет вид y(x) C1x C2 x2 x2(ln | x | 1),

где C1 и C2 — произвольные постоянные.

7.6. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 325

7.6. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение. Случай различных корней характери стического уравнения. Случай кратных корней характеристического уравнения. Случай комплексно сопряженных корней характеристиче ского уравнения. Линейные неоднородные уравнения с постоянными ко эффициентами и специальными правыми частями. Уравнение гармони ческого осциллятора. Резонанс.

Согласно теореме 4 предыдущей лекции, для построения общего решения линейного уравнения второго порядка достаточно знать два его частных решения, образующих фундаментальную систему. В об щем случае нельзя дать никаких рекомендаций по отысканию таких решений. Однако в случае, когда коэффициенты ai являются постоян ными, такие решения отыскиваются легко.

Уравнение (3) называют характеристическим уравнением диффе ренциального уравнения (2).

7.6.2. Случай различных корней характеристического уравнения

Может реализоваться одна из следующих возможностей.

I. Корни k1 и k2 уравнения (3) действительны и различны. Тогда уравнение имеет два решения y1 ek1x и y2 ek2x. Эти решения линей но независимы.

Поэтому по теореме 4 предыдущей лекции общее решение уравне

ния (2) имеет вид

y C1ek1x C2 ek2x, где C1 и C2 — произвольные постоянные.

7.6.3.Случай кратных корней характеристического уравнения

II. Корни характеристического уравнения действительные и рав ные: k1 k2 . Покажем, что в этом случае y1 ek1x и y2 xek1x — два ре шения уравнения (2), образующих фундаментальную систему.

поскольку k1 — решение уравнения (3) и по теореме Виетта p 2k1. Далее, определитель Вронского не равен нулю:

Как видим, решения y1 и y2 образуют фундаментальную систему и общее решение в этом случае имеет вид

yC1ek1x C2 xek1x ek1x(C1 C2 x).

7.6.4.Случай комплексно>сопряженных корней характеристического уравнения

III.Корни уравнения (3) комплексно сопряженные:

k1 a bi, k2 a bi.

Тогда, согласно определению показательной функции комплексного аргумента, можем записать:

7.6. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 327

y1 e(a bi)x eax(cosbx i sin bx), y2 e(a bi)x eax(cosbx i sin bx).

Здесь y1 и y2 — решения уравнения (2).

Введем действительные функции y1 и y2 , определенные равен ствами

y1 1 (y1 y2) eax cosbx, 2

y2 1 (y1 y2) eax sin bx. 2i

По теореме 3 гл. 6 y1 и y2 — решения уравнения (2), y1 ctg bx const y2

y1, y2 — линейно независимы. Поэтому общее решение уравне ния (2) имеет вид

yeax(C1 cosbx C2 sin bx).

Пр и м е р. Вернемся кM62примеру о колебаниях шарика под действи ем сил упругости пружин, рис. 7.1.

Силы упругости пружин являются внутренними силами данной механической системы. Внешних воздействий, за исключением на чального отклонения шарика из положения равновесия, нет. Поэтому колебания только под действием внутренних сил упругости называют ся свободными, а уравнение колебаний имеет вид

m d2u Cu 0, dt2

где m — масса шарика; С — коэффициент жесткости пружин; и — функция перемещений; t — время.

Характеристическое уравнение данного уравнения mk2 C 0

имеет чисто мнимые корни k1,2 /i I, I mC . Поэтому общее реше ние имеет вид

u(t) C1 cosIt C2 sin It.

Допустим, что в начальный момент времени t 0 шарик отклонили на величину u0 и отпустили с нулевой скоростью. Тогда начальные ус ловия будут следующими:

После подстановки общего решения в начальные условия опреде ляем константы C1 u0, C2 0 и получаем решение

u(t) u0 cosIt,

которое описывает процесс свободных гармонических колебаний ша рика с круговой частотой I.

7.6.5. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и специальными правыми частями

По теореме 5 предыдущей лекции его общее решение складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения и ча стного решения неоднородного, причем в общем случае частное ре

шение неоднородного уравнения отыскивается методом вариации произвольных постоянныхM62. Однако можно указать некоторые важ ные для приложений частные случаи, когда частное решение ищется в некотором специальном виде.

I. f (x) e)xPn(x), где Pn(x) *0 xn *1xn 1 *n. Тогда:

1) если ) не является корнем характеристического уравнения (3),

Здесь ) 1, n 0. Поскольку ) является корнем характеристического уравнения кратности 1, то частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

y xex A; y Aex xex A, y 2 Aex xex A.

7.6. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 329

Подставляя y, y , y в исходное уравнение, получим

Подберем значения постоянных C1 и C2 так, чтобы выполнялись начальные условия. Искомое частное решение имеет вид

r1(ex e x) 1 xex. 4 2

II.f (x) eax[Pn(x) cosbx Pm(x) sin bx]. Тогда:

1)если a bi не является корнем характеристического уравнения,y

то y ищем в виде

y eax[QN (x) cosbx GN (x) sin bx],

где QN (x) и GN (x) — многочлены степени N max(n, m);

2) если a bi является корнем характеристического уравнения, то

yxeax[QN (x) cosbx GN (xM62) sin bx].

7.6.6.Уравнение гармонического осциллятора. Резонанс

Пр и м е р. Найти общее решение уравнения гармонического ос циллятора, находящегося под воздействием внешней гармонической

Тогда Y C1 cosI1t C2 sin I1t, где C1, C2 произвольные постоянные. Это решение описывает свободные колебания системы, которые также называются собственными колебаниями. При отыскании час тного решения неоднородного уравнения рассмотрим два случая.

1. Частота внешнего воздействия I не равна частоте собственных колебаний I1. В этом случае частное решение ищем в виде

y A cosIt.

Для определения неизвестной константы А подставляем его в

330 Глава 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

В результате общее решение будет

y(t) C1 cosI1t C2 sin I1t A cosIt,

произвольные константы которого как обычно определяются из на чальных условий.

2. Частота внешнего воздействия I равна частоте собственных ко лебаний I1: I I1. В этом случае частное решение ищем в виде

y t(A1cosI1t A2 sin I1t).

Для определения коэффициентов подставляем это решение в (5):

2I1( A1sin I1t A2 cosI1t) r cosI1t,

В результате получаем общее решение неоднородного уравнения в данном случае:

Как видим, в данном M62случае, когда частота внешних воздействий совпадает с частотой собственных колебаний, амплитуда колебаний становится переменной во времени t и неограниченно возрастает. В этом и состоит явление резонанса.

7.7. Системы дифференциальных уравнений

Система в нормальной форме. Общее решение. Решение системы све дением ее к уравнению высшего порядка. Обратное сведение. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Отыскание фундаментальной системы решений.

7.7.1. Система в нормальной форме. Общее решение

Во многих задачах требуется определить сразу несколько функций, связанных определенными соотношениями. Такие задачи приводят к системам дифференциальных уравнений. Мы будем изучать только системы в нормальной форме или «нормальные системы».

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система n уравнений относительно неизвестных функций y1(x), y2(x), …, yn(x), имеющая вид