Основы высшей математики для инженеров 2009
.pdf
7.9. Системы линейных уравнений второго порядка... |
351 |
WRITE(*,*)’ Press Enter!!!’
PAUSE
CALL invertM(A,4,Det,V1,V2)
WRITE(11,’(2x,4F10.4)’)((A(i,j),j=1,4),I=1,4)
WRITE(*,*)’ It is reverse Matrix’
WRITE(*,’(2x,4F10.4)’)((A(i,j),j=1,4),I=1,4)
WRITE(*,’(2x,A,2x,F10.4)’)’Det=’,Det
End Program Example_1
SUBROUTINE invertM(A,N,D,L,M)
DIMENSION A(1),L(1),M(1)
REAL A,L,M
D=1.0
NK= N
DO 80 K=1,N
NK=NK+N
L(K)=K
M(K)=K
KK=NK+K
BIGA=A(KK)
IZ=N*(J 1)
DO 20 J=K,N M62
DO 20 I=K,N
IJ=IZ+I
10 IF(ABS(BIGA) ABS(A(IJ)))15, 0,20
15BIGA=A(IJ)
L(K)=I
M(K)=J
20CONTINUE
!INTERCHANGE ROWS J=L(K)
IF(J K)35,35,25
25KI=K N
DO 30 I=1,N KI=KI+N HOLD= A(KI) JI=KI K+J
A(KI)=A(JI) 30 A(JI)=HOLD
!INTERCHANGE COLUMNS 35 I=M(K)
IF(I K)45,45,38
38JP=N*(I 1)
DO 40 J=1,N JK=NK+J JI=JP+J HOLD= A(JK) A(JK)=A(JI)
352 |
Глава 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения |
|
|
40 |
A(JI)=HOLD |
|
|
!DIVIDE |
COLUMN |
BY MINUS PIVOT (VALUE OF PIVOT ELE |
! |
MENT |
IS |
|
|
!CONTAINED IN |
BIGA) |
|
|
45IF(BIGA)48,46,48
46D=0.0
RETURN
48 DO 55 I=1,N IF(I K)50,55,50
50IK=NK+I
A(IK)=A(IK)/( BIGA)
55CONTINUE
!REDUCE MATRIX
|
DO |
65 |
I=1,N |
|
|
IK=NK+I |
|
|
|
|
HOLD=A(IK) |
|
||
|
IJ=I N |
|
|
|
|
DO |
65 |
J=1,N |
|
|
IJ=IJ+N |
|
|
|
|
IF(I K)60,65,60 |
|||
60 |
KJ=K N |
|
M62 |
|
IF(J K)62,65,62 |
||||
62 |
KJ=IJ I+K |
|
||
|
A(IJ)=HOLD*A(KJ)+A(IJ) |
|||
65 |
CONTINUE |
|
|
|
! |
|
DIVIDE ROW BY PIVOT |
||
|
DO |
75 |
J=1,N |
|
|
KJ=KJ+N |
|
|
|
|
IF(J K)70,75,70 |
|||
70 |
A(KJ)=A(KJ)/BIGA |
|||
75CONTINUE
!PRODUCT OF PIVOTS D=D*BIGA
!REPLACE PIVOT BY RECIPROCAL A(KK)=1.0/BIGA
80CONTINUE
! FINAL ROW AND COLUMN INTERCHANGE K=N
100K=(K 1)
IF(K)150,150,105
105I=L(K)
IF(I K)120,120,108
108JQ=N*(K 1)
JR=N*(I 1)
DO 110 J=1,N JK=JQ+J HOLD=A(JK) JI=JR+J
7.9. Системы линейных уравнений второго порядка... |
353 |
A(JK)= A(JI) 110 A(JI)=HOLD
120J=M(K)
IF(J K)100,100,125
125KI=K N
DO 130 I=1,N KI=KI+N HOLD=A(KI)
JI=KI K+J
A(KI)= A(JI)
130A(JI)=HOLD GOTO 100
150RETURN END
M62
ГЛАВА 8
ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
8.1. Числовые ряды. Определение, свойства, сходимость
Определение числового ряда. Сумма числового ряда, его сходимость. Геометрическая прогрессия. Простейшие свойства числовых рядов. Не обходимый признак сходимости рядов.
Суммирование бесконечных геометрических прогрессий со знаме нателем, меньшим 1, производилось уже в древности Архимедом. Точ ная теория рядов начинается с работ Гаусса (1812), Больцано (1817)
иКоши (1821), где впервые дано современное определение суммы схо дящегося ряда и установлены основные теоремы.
Внастоящее время теория рядов лежит в основе приближенных вычислений. С использованиемM62этой теории составлены таблицы зна чений функции и некоторых интегралов. Теория рядов активно ис пользуется в аналитической теории дифференциальных уравнений. Теория рядов Фурье положена в основу многих приближенных мето дов исследования процессов функционирования технических систем
ирешения многих краевых задач математической физики.
8.1.1. Определение числового ряда
Пусть задана бесконечная последовательность u1, u2 , …, un, … . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Числовым рядом называется выражение
|
|
u1 u2 un Fun. |
(1) |
n 1 |
|
Здесь u1 — 1 й член ряда, u2 — 2 й, … un — n й член (общий член ряда). Ряд считается заданным, если известен его общий член.
П р и м е р ы.
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
— общий член un |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|||||
1 2 2 3 |
n(n 1) |
|
n(n 1) |
||||||
2 6 18 2 3n 1 |
— общий член un 2 3n 1; |
||||||||
1 1 1 ( 1)n 1 |
— общий член un ( 1)n 1. |
||||||||
|
|
8.1. Числовые ряды. Определение, свойства, сходимость |
355 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
8.1.2. Сумма числового ряда, его сходимость |
|
|
||||||||||||||||||||
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Сумма Sn n первых членов ряда называется |
|||||||||||||||||||||||||
n й частичной суммой: Sn u1 u2 un. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
П р и м е р. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n(n 1) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 2 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Sn |
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
; |
||||||
|
|
n(n 1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 2 2 3 |
2 2 3 |
|
|
|
n n 1 |
n 1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
lim Sn |
lim |
1 |
|
|
|
1. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
n 1 |
|
|
|||||||||||||
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности Sn его частичных сумм.
Если этот предел не существуетM62или бесконечен, то ряд называется расходящимся.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Предел S последовательности Sn сходящегося ряда называется суммой ряда.
8.1.3. Геометрическая прогрессия
Рассмотрим ряд вида
a aq aq2 aqn . (2)
Здесь a — первый член ряда, q — его знаменатель. Ряд (2), как извест но, называется геометрической прогрессией. Для нее
Sn a aqn . 1 q
Рассмотрим следующие случаи. 1. | q| 1.
lim Sn |
a |
lim (1 qn) |
a |
, |
|
|
|||
n |
1 q n |
1 q |
||
так как lim qn 0.
n
356 Глава 8. Числовые и функциональные ряды
2. | q| 1: a 1 или q 1: а) q 1,
lim Sn ;
n
б) q 1, тогда lim Sn не существует.
n
Итак, в этом случае ряд (2) расходится. 3. q 1.
Ряд имеет вид a a a и Sn na,
lim Sn .
n
4. q 1. Здесь lim Sn не существует.
n
Итак, в случаях 3 и 4 ряд (2) расходится.
8.1.4. Простейшие свойства числовых рядов |
|
|||||
Теорема 1. Если ряд |
M62 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 u |
un |
(3) |
|||
сходится и имеет сумму S, то ряд |
|
|||||
|
au1 au2 aun |
(4) |
||||
также сходится и имеет сумму aS. |
|
|||||
Доказательство. Составим Nn: |
|
|||||
Nn au1 au2 aun a(u1 u2 un) aSn, |
|
|||||
где Sn — частичная сумма ряда (3). Поэтому |
|
|||||
|
lim Nn |
a lim Sn aS. |
|
|||
|
n |
|
n |
|
||
Теорема 2. Если ряды |
|
|
|
|
|
|
|
u1 u2 un |
(5) |
||||
|
v1 v2 vn |
(6) |
||||
|
|
, то ряд |
|
|||
сходятся и имеют суммы S и S |
|
|||||
(u1 v1) (u2 v2) (un vn) |
(7) |
|||||
|
|
. |
|
|||
также сходится и имеет сумму S S |
|
|||||
8.1. Числовые ряды. Определение, свойства, сходимость |
357 |
Доказательство. Составим частичную сумму ряда (7). Очевидно,
Nn Sn Sn.
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim Nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (Sn Sn) lim Sn lim Sn S S . |
||||||||
n |
n |
n |
n |
|||||
З а м е ч а н и е. Аналогично |
доказывается, что в случае сходимости |
|||||||
рядов (5) и (6) сходится также ряд |
|
|
|
|
|
|||
(u1 v1) (u2 v2) (un vn) .
и его сумма есть S S .
Рассмотрим два ряда |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
u1 u2 uk uk 1 un , |
(8) |
|||||||
|
|
uk 1 un . |
(9) |
||||||
Теорема 3. Если сходится ряд (8), то сходится и ряд (9), полученный |
|||||||||
|
|
M62n k n k |
|
||||||
из ряда (8) отбрасыванием конечного числа k его первых членов. И обрат2 |
|||||||||
но, если сходится ряд (9), то сходится и ряд (8). |
|
||||||||
Доказательство. Обозначим через Sn сумму n членов ряда (8), Sk — |
|||||||||
сумму |
его k членов, N |
— |
сумму членов. |
Очевидно, |
|||||
|
|
Nn k Sn Sk, |
Sn Nn k Sk. |
|
|||||
Пусть |
lim Sn S. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Nn k — это частичные суммы ряда (9). |
|
||||||||
|
lim Nn k lim (Sn Sk) lim Sn Sk S Sk, |
|
|||||||
|
n |
n |
|
n |
|
||||
т. е. ряд (9) сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Обратно, пусть сходится ряд (9), т. е. существует |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim Nn k S |
. |
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
Тогда |
lim Sn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (Nn k Sk) lim Nn k Sk S |
Sk. |
|
||||||
|
n |
n |
|
n |
|
||||
Таким образом, на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.
358 Глава 8. Числовые и функциональные ряды
8.1.5. Необходимый признак сходимости рядов
Теорема. Если ряд u1 u2 un сходится, то
|
lim un 0. |
|
|
n |
|
Доказательство. un Sn Sn 1, |
где |
|
Sn u1 un, |
Sn 1 u1 un 1. |
|
Тогда |
|
|
lim un lim Sn lim Sn 1 0. |
||
n |
n |
n |
Следствие. Если un не стремится к 0 при n , то ряд расхо дится.
П р и м е р ы.
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
n |
|
||
|
|
|
4 |
n 1 |
||||||
2 3 |
|
|
|
|
||||||
|
M62n n 1 |
|||||||||
— расходящийся ряд, так как |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
lim |
|
|
n |
1 0. |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Условие lim un 0 является необходимым условием сходимости
n
ряда, но не достаточным. Например, для ряда
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
lim un lim |
1 |
0. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
n |
|||||||||||||||
Но |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
, |
|
1 |
|
|
1 |
|
, |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Sn |
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|||||||||||||||
и
lim Sn .
n
Следовательно, этот ряд расходится.
8.2. Признаки сходимости знакоположительных рядов |
359 |
8.2. Признаки сходимости знакоположительных рядов
Признаки сравнения рядов. Признак Даламбера. Признак Коши. Инте гральный признак сходимости Коши.
Как мы уже знаем,
S lim Sn,
n
но отыскание этого предела во многих случаях связано с большими трудностями. Сходимость или расходимость ряда во многих случаях удается установить с помощью так называемых достаточных признаков. В этой лекции мы рассмотрим достаточные признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами.
Прежде всего заметим следующее. Так как в знакоположительном ряде все члены положительны, то его частичные суммы S1 u1,
S2 u1 u2 S1, …, Sn Sn 1 un Sn 1 возрастают с увеличением номе ра суммы n. Таким образом, частичные суммы ряда образуют возрас
тающую последовательность
Возможны два случаяM62.S1, S , , Sn, .
1. Последовательность Sn неограничена. Тогда
lim Sn
n
и, следовательно, ряд расходится.
2. При любом n Sn C. В этом случае, как известно, последова тельность Sn имеет предел и, следовательно, ряд сходится.
Таким образом, при доказательстве сходимости того или иного знакоположительного ряда достаточно установить ограниченность по следовательности его частичных сумм.
Рассмотрим некоторые установленные признаки сходимости и рас ходимости рядов.
8.2.1. Признаки сравнения рядов
Теорема 1 (достаточный признак сходимости). Пусть заданы два знакоположительных ряда
u1 u2 |
un , |
(u) |
v1 v2 |
vn , |
(v) |
360 |
Глава 8. Числовые и функциональные ряды |
|
|||
члены которых связаны соотношениями |
|
|
|||
|
u1 v1, |
, |
un vn, |
. |
(1) |
|
Если ряд (v) сходится, то сходится и ряд (u) и его сумма не превос |
||||
ходит суммы ряда (v). |
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Пусть S — сумма ряда (v), Sn — его n я частичная |
||||
сумма, Nn — n я частичная сумма ряда (u). Из (1) следует, что |
|
||||
|
|
Nn Sn S |
при n. |
|
(2) |
Поэтому все Nn ограничены и, следовательно, ряд (u) сходится. Пусть S его сумма. Из (2) следует, что S S.
Теорема 2 (достаточный признак расходимости). Если ряд (u) расхо2 дится, то расходится и ряд (v).
Доказательство. Sn Nn. Так как ряд (u) расходится, и его частич
ные суммы возрастают, то |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. Геометрическая |
|
|
|
lim Nn |
. |
|
|
| q| |
1 |
||
|
M62 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
Тогда и lim Sn , и ряд (v) расходится. |
|
|
|
|
|||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для сравнения часто используют следующие ряды. |
|||||||||||
|
|
прогрессия (сходится при |
|
и расходится |
|||||||
при | q| 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Обобщенный гармонический ряд |
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
F |
. |
|
|
||||
|
p |
p |
p |
p |
|
|
|||||
1 |
2 |
|
|
n |
n 1n |
|
|
||||
Ниже будет показано, что при p 1 он сходится, а при 0 p 1 расхо дится. При p 1 получаем ряд
1 1 1 ,
2n
который называется гармоническим. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
П р и м е р ы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1. |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
3 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||||||||||||||
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Здесь |
1 |
|
|
1 |
|
, |
1 |
|
1 |
|
, …, |
1 |
|
1 |
. Так как |
1 |
|
1 |
|
1 |
— схо |
|||||||||||
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
n |
|
n |
|
2 |
3 |
|
n |
|||||||||||||||||
|
|
2 |
3 |
|
4 |
4 |
|
2 |
|
|
|
n |
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||
дящаяся геометрическая прогрессия, то и ряд (3) сходится.