Основы высшей математики для инженеров 2009

и достаточно, чтобы интеграл по любому замкнутому контуру, лежаще2 му в G, был равен 0.

Доказательство. Достаточность. Пусть интеграл по замкнутому контуру в области G равен 0. Пусть А и В — любые точки G. Соеди ним эти точки в G произвольными путями AnB и AmB.

По условию

Необходимость. Пусть интеграл не зависит от пути интегрирова ния, тогда

DPdx Qdy DPdx Qdy,

Теорема доказана.

Теорема 2. Для того, чтобы криволинейный интеграл DPdx Qdy не

L

зависел от пути интегрирования в односвязной области G, необходимо и

достаточно, чтобы в каждой точке этой области HP HQ .

Hy Hx

274 Глава 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

Достаточность. Пусть в области G HP HQ . По формуле Остро

Hy Hx

градского – Грина

то интеграл слева в (3) равен 0, следовательно, и интеграл по контуру L равен 0. Таким образом, интеграл по любому замкнутому контуру равен 0 и, следовательно, по теореме 1 интеграл не зависит от пути интегрирования.

Необходимость. Пусть интеграл DPdx Qdy не зависит от пути интег

HQ(x0, y0) 0. В силу непрерывности HP и HQ существует окрестность

Hx Hy Hx

точки (x0, y0), в которой имеет место неравенство HP HQ 0. Рассмот

Hy Hx

рим круг N столь малого радиуса, что он целиком содержится в этой ок рестности. За контур L примем окружность, ограничивающую этот круг. В силу свойства (3) двойного интеграла и по формуле Остроградско го – Грина

Таким образом, интеграл по замкнутому контуру отличен от 0, а это противоречит утверждению теоремы 1. Теорема доказана.

Вспомним, что условие HP HQ является необходимым и доста

Hy Hx

точным условием того, чтобы выражение P(x, y)dx Q(x, y)dy было дифференциалом du некоторой функции u(x, y). Если функция u(x, y)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует предел суммы (1) при n , -Si 0, который не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора точек Mi, то он называется интегралом по площади поверхности:

Если +(x, y, z) — поверхностная плотность, то масса поверхно сти S есть

m DD+(x, y, z)dS.

S

В этом состоит физический смысл интеграла.

Интеграл (2) обладает теми же свойствами, что и двойной.

1. Если S S1 S2 , то

M62DD DD DD.

S S1 S

2. Если f (x, y, z) 0, то

DD f (x, y, z)dS 0.

S

Пусть поверхность площади S задана уравнением z ((x, y), где ((x, y) — непрерывная вместе с частными производными 1 го порядка функция.

Теорема существования. Для всякой непрерывной функции f (x, y, z) су2 ществует поверхностный интеграл первого рода.

5.10.3. Вычисление поверхностного интеграла первого рода

Пусть N — проекция поверхности S на плоскость XOY, а u f (x, y, z) — непрерывная функция, определенная во всех точках по верхности S. Разобьем N на части -N1, -N2 , …, -Nn. Тогда S разобьется на части -S1, -S2, , -Sn, при этом -Si — часть поверхности, которая проектируется в -Ni.

278 Глава 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

Перейдем к пределу при n , считая, что -Ni 0. Сумма (3) являет ся интегральной суммойM62по области N для непрерывной функции

f (x, y, ((x, y)) 1 (x2 (y2 . Поэтому ее предел есть двойной интеграл по области N:

DD f (x, y, ((x, y))1 (x2(x, y) (y2(x, y) dN.

N

Но, с другой стороны,

Таким образом, окончательно,

DD f (x, y, z)dS DD f (x, y, ((x, y))1 (x2(x, y) (y2(x, y) dN.

SN

2 ждой точке пропорциональна квадрату расстояния от этой точки

до оси OZ.

5.11. Поверхностные интегралы второго рода

Задача о потоке жидкости. Определение поверхностного интеграла вто рого рода. Вычисление поверхностного интеграла второго рода.

5.11.1. Задача о потоке жидкости через поверхность

Рассмотрим движение жидкости в пространстве. Пусть скорость v частицы, протекающей через данную точку М пространства, зависит только от этой точки, т. е.

v v(x, y, z)

или

v vx(x, y, z)i vy(x, y, z)j vz(x, y, z)k.

Вычислим поток жидкости через поверхность S за единицу времени,

ленно равно объему цилиндра: Q S h, где h — высота.

Пусть n — единичный вектор нормали к S. Угол между векторами

2. Пусть v v(x, y, z), а S — произвольная поверхность. Пусть в произвольной точке М этой поверхности определен единичный нор мальный вектор n cos) i cos* j cos L k , направляющие косинусы которого являются непрерывными функциями координат точек по верхности.

Найдем количество жидкости Q, протекающей в единицу времени через эту поверхность. Поскольку v меняется от точки к точке по величи не и направлению, то непосредственно применить формулу (1) нельзя. Поэтому разобьем поверхность S на n частей -S1, -S2 , …, -Sn и выберем

280 Глава 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

в каждой части точку Mi(xi, yi, zi). Пусть ni i cos)i j cos*i k cos Li — единичный вектор нормали к поверхности S в точке Mi.

Будем считать, что в пределах -Si скорость v const и равна ее значению vi в точке Mi:

vi vx(xi, yi, zi)i vy(xi, yi, zi)j vz(xi, yi, zi)k.

Будем также предполагать, что область -Si практически плоская. Тогда

-Qi = (vi, ni)-Si

nn

Q F-Qi = F(v, ni)-Si.

Расписывая скалярное произведение (v, ni) в координатной форме, по лучим

n

max -S i 0 i 1

В равенстве (2) справа записана интегральная сумма для непрерывной функции vx(x, y, z) cos) vy(x, y, z) cos* vz cos L. Поэтому

Итак, количество жидкости, протекающей в единицу времени че рез данную поверхность S, или, как говорят, поток жидкости через эту поверхность есть интеграл по поверхности S, определенный в соответ ствии с формулой (3).

5.11.2. Определение поверхностного интеграла второго рода