Основы высшей математики для инженеров 2009

называется системой в нормальной форме или «нормальной сис темой». В нормальной системе ее правые части не зависят от произ водных искомых функций.

Решением системы (1) называется совокупность функций y1(x), …, yn(x), обращающих равенства (1) в тождества. Для системы (1) спра ведлива теорема существования и единственности решения.

Теорема 1 (теорема Коши). Пусть функции f1, f2, , fn непрерыв2 ны в некоторой области G переменных x, y1, , yn вместе со своими

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Общим решением нормальной системы (1) на зывается совокупность n функций

y1 (1(x, C1, C2, , Cn), y2 (2(x, C1, C2, , Cn),

. . . . . . . . . . . . . . . .

yn (n(x, C1, C2, , Cn)

таких, что:

1)при C1, C2, , Cn это решение системы (1);

2)для x0, y10, y20, , yn0 из области существования решения C10,

C20, …, Cn0 такие, что

(1(x0, C10, , Cn0) y10,

. . . . . . . . . . . . . . .

(n(x0, C10, , Cn0) yn0.

332Глава 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

7.7.2.Решение системы уравнений путем сведения к одному уравнению

высшего порядка. Обратное сведение

Чтобы раскрыть суть последующих исследований и построения об щих решений систем однородных и неоднородных дифференциаль ных уравнений с постоянными коэффициентами, рассмотрим пример системы двух уравнений, решение которой можно направить в уже из вестное нам русло.

Рассмотрим систему двух однородных дифференциальных уравне ний с постоянными коэффициентами

dy1 y1 y2, dx

dy2 y1 y2. dx

С помощью первого уравнения выразим y2 через y1 и подставим во второе уравнение:

dy1 My 1 dx62y1,

ddxy2 2 y1 0.

Теперь мы видим, что из второго уравнения мы получаем два част

а с помощью первого находим два частных решения для функции y2 :

На данном этапе исследований мы можем только предположить, что общее решение будет иметь вид

y1(x) C1y11 C2 y12 ,

y2(x) C1y21 C2 y22 .

Поскольку преобразование системы уравнений к одному диффе ренциальному уравнению не всегда возможно, то рассмотрим другой путь решения, который после полученного уже решения становится достаточно очевидным.

Согласно методу Эйлера частные решения исходной системы двух уравнений будем искать в виде

После подстановки искомых решений в дифференциальные урав нения исходной системы получаем систему двух однородных уравне ний для определения коэффициентов этих решений:

( 1)A B 0,

A ( 1)B 0,

которая имеет ненулевые решения, если определитель матрицы этих уравнений равен нулю:

Таким образом, мы получили характеристическое уравнение дан ной системы дифференциальных уравнений и совершенно аналогично тому, как это делалось для дифференциальных уравнений второго по рядка с постоянными коэффициентами.

Здесь также получаем 12, /2. Подставим 1 в систему урав нений для определения А, В. В итоге первое уравнение дает соот ношение

а второе выполняется при произвольных значениях А. Следовательно, первому корню характеристического уравнения соответствуют

M6B ( 1)2A,

A C1, B ( 1)C1.

И аналогично получим для второго частного решения A C2 , B (2 1)C2.

Данный путь решения указывает на широкие возможности его обобщения на случай большого числа уравнений.

Покажем теперь, что дифференциальное уравнение n го порядка

всегда может быть записано в виде системы уравнений в нормальной

Ясно, что (3) — нормальная система уравнений. Говорят, что сис тема (3) равносильна уравнению (2).

В общем случае нельзя указать приемов интегрирования систем дифференциальных уравнений. Однако в одном важном для прило жений частном случае, когда рассматриваемая система есть система линейных уравнений с постоянными коэффициентами, такой прием мы уже наметили.

7.7.3. Линейные системы с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейную однородную систему с постоянными коэф фициентами

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность п решений системы однородных уравнений (4), определенных и линейно независимых в промежут ке (a, b), называется фундаментальной системой решений в этом про межутке.

Для того чтобы система п решений была фундаментальной в проме2 жутке (a,b), необходимо и достаточно, чтобы вронскиан этих решений был отличен от нуля:

В рассмотренном примере при решении системы двух уравнений мы получили следующий вронскиан:

Отметим, что здесь первый индекс соответствует номеру строки и номеру решения, соответствующего одному корню характеристиче ского уравнения. Поэтому во всех случаях, когда корни характеристи ческого уравнения разные, все элементы каждой строки содержат экс поненту с одинаковым показателем степени. Следовательно, из каж дой строки все экспоненты можно вынести множителем. Тогда общий множитель перед знаком определителя будет следующим:

e(k1 k2 … kn )x,

где k1, k2,…, kn — корни характеристического уравнения. Поэтому если вронскиан равен нулю, то он равен нулю во всех точках рассматривае мого промежутка. А неравенство нулю вронскиана означает линейную независимость векторов, составленных из коэффициентов решений.

Теорема. Общее решение системы (4) имеет вид

Для определения произвольных постоянных необходимая система алгебраических уравнений получается из заданных начальных условий:

7.7.4. Построение фундаментальной системы решений. Метод Эйлера

Решения системы (5) будем искать в виде y )e x, где ) — неко торый вектор. Подставив y в систему (5), получим )e x A)e x или

Равенство (8) означает, что ) должен быть собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному значению .

Вспомним, что собственные значения матрицы А отыскивается из уравнения n й степени

Если 1 — корень характеристического уравнения, то компо ненты )1, )2, , )n вектора ) определяются из системы уравнений

(a11 1))1 a12)2 a1n)n 0,

&an 1)1 an2)2 (ann 1))n 0.

Заметим сразу, что в качестве решения системы (10) можно брать ал гебраические дополнения элементов любой строки ее главного опреде лителя. Будем рассматривать случай, когда все корни характеристиче ского уравнения (9) действительны и различны. Тогда можно выбрать n

Найдем собственные векторы, соответствующие найденным собствен ным значениям. Для 1 3 матрица A 1I имеет вид

В качестве компонентного первого собственного вектора возьмем ал гебраические дополнения первой строки матрицы A 3I:

По формулам (11) получаем

y1(x) C1e3x C2 e6x 2C3e2x, y2(x) C1e3x 2C2 e6x, y3(x) C1e3x C2 e6x C3e2x.

В заключение отметим, что все корни характеристического урав нения действительные числа, если матрица А коэффициентов правых частей уравнений (4) симметричная.

7.8.Линейное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Метод скалярной прогонки

Вводные замечания и постановка задачи. Конечно разностный метод прогонки. Фортран программа решения краевых задач для дифферен циальных уравнений второго порядка методом прогонки.

7.8.1.Вводные замечания и постановка задачи

Винженерной практике, наряду с задачами Коши для обыкновен ных дифференциальных уравнений, возникают и рассматриваются также краевые задачи, когда дополнительные условия, присоединяе мые к дифференциальным уравнениям, задаются на концах отрезка, на котором разыскивается решение. В качестве таких примеров могут служить задача изгиба балки, задача о провисании тяжелой нити с за крепленными концами, задача о распределении напряжения по длине щелевого межэлектродного зазора, заполненного электролитом, ста

ционарные задачи диффузии и многие другие.

Возможности численногоM62решения данных задач при современном уровне компьютерной техники широко используются при проектиро вании элементов конструкций и при отработке и расчете технологиче ских процессов. Поэтому мы предлагаем начать изучение поставлен

которое в частных случаях имеет различный физический смысл. При этом будем учитывать, что коэффициенты уравнения могут быть зада ны не только аналитическими выражениями, но и таблично, а гранич ные условия тоже запишем в общем виде

где hi, gi, ei — заданные числа, соответствующие условиям данной конкретной задачи. В разных частных случаях они имеют определен ный физический смысл. Например, при рассмотрении задачи изгиба балок с шарнирными опорами на концах функция прогиба y(x) долж на удовлетворять однородным условиям

7.8. Линейное уравнение второго порядка с переменными коэффицинтами... 339

но функция f (x) может быть задана разными аналитическими выраже ниями на разных участках длины балки, и алгоритм численного реше ния будет менее трудоемким, чем аналитическое решение.

Общее решение уравнения (1) с переменными коэффициентами можно выразить через элементарные функции лишь в очень редких слу чаях. Поэтому общая схема решения поставленной краевой задачи (1)–(2) может быть разработана лишь на основе численного метода. Мы рас смотрим наиболее эффективный метод конечных разностей с исполь зованием метода Гаусса решения разностных уравнений, который при менительно к решению систем алгебраических уравнений высокого по рядка с трехдиагональной матрицей получил название метода прогонки.

7.8.2. Конечно>разностный метод прогонки

При использовании метода конечных разностей решения диффе ренциальных краевых задач поиск функции y(x) заменяется вычис

и постоянным шагом между ними dx lN. Условие выполнения диф ференциального уравнения во всех точках заданного отрезка ?0, l@ за меняется требованием его выполнения во всех внутренних точках с координатами x2, x3,…, xN , а на концах отрезка x1 0 и xN 1 l должны выполняться граничные условия.

При записи дифференциального уравнения во внутренних узловых точках производные заменяются конечными разностями. При замене первых и вторых производных центральными разностями получаем (N 1) алгебраических уравнений

Здесь следует отметить, что запись производных в каждой точке x xk в виде центральных разностей соответствует квадратичной ин терполяции искомой функции в окрестности точки x xk . Поэтому для записи производных на границах нужно тоже воспользоваться квадратичной интерполяцией. Тогда около левой границы получим следующее выражение для искомой функции

340 Глава 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

и выражение для первой производной на левой границе

это внутренние уравнения (3). Для коэффициентов этих уравнений получены следующие выражения:

k 2, 3, 4, …, N.

Прежде чем сказать о сути метода прогонки решения полученной системы уравнений, преобразуем первое граничное условие, исключив из него y3 с помощью первого внутреннего уравнения, из которого

можно получить

y3 C2 1(B2 y2 A2 y1 d2).

Подставим это выражение в первое граничное условие и предста