Основы высшей математики для инженеров 2009

192 Глава 3. Интегральное исчисление функций одной переменной

3.12.3. Интегралы от неограниченных функций (интегралы второго рода)

Пусть функция y f (x) определена на отрезке [a, b], а при x b не ограничена. Тогда точка b называется особой точкой, а интеграл от функции, неограниченной при x b, определяется следующим об разом:

Если предел существует, то интеграл называется сходящимся. Аналогично определяется интеграл от функции, разрывной на ле

вом конце промежутка:

bb

Если f (x) терпит разрыв в точке c (a c b), то

D f (x)dx D f (x)dx D f (x)dx,

если оба интеграла справа существуют.

П р и м е р. Исследовать на сходимость интеграл

b

dx

Da (b x)) .

3.13. Приближенные методы вычисления определенных интегралов

Постановка задачи. Формула прямоугольников. Формула трапеций. Формула парабол (формула Симпсона). Приближенное вычисление интегралов с использованием формулы Тейлора.

3.13.1. Постановка задачи

b

Пусть требуется вычислить D f (x)dx, где f (x) — непрерывная функ

a

ция. Если может быть найдена первообразная от f (x), то можно вос пользоваться формулой Ньютона – Лейбница. Если же первообразная не может быть найдена (интеграл не берущийся), или функция f (x) за дана графически или таблично, то прибегают к приближенным фор мулам, точность которых может быть сделана сколь угодно большой.

Приближенные методы основаны на геометрическом истолкова

b

нии D f (x)dx как площади соответствующей криволинейной трапеции.

Сутьaприближенного вычисленияM62интеграла заключается в том, что кривая y f (x) заменяется новой, достаточно «близкой» к ней кривой, для которой площадь криволинейной трапеции легко вычисляется. Тогда искомая площадь (т. е. искомый интеграл) приближенно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной новой кривой.

В зависимости от выбора новой кривой получаются различные приближенные формулы интегрирования.

Тогда

Аналогичным образом получаются выражения для всех следующих частичных отрезков интегрирования, объединенных попарно:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Складывая данные соотношения, получим

bD f (x)dx = h (y0 4y1M62y2 4y3 y2n 2 4y2n 1 y2n), 3

a

или

где h b a .

2n

(6)— формула Симпсона.

При вычислении интеграла по методу Симпсона поступают сле дующим образом:

1)вычисляют J2n и J4n;

2)сравнивают результаты вычислений и оставляют первые совпа дающие знаки.

За м е ч а н и е. При одном и том же числе точек деления отрезка фор мула Симпсона дает более точный результат, чем формула прямоугольни ков и трапеций.

ГЛАВА 4

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

4.1. Основные понятия и определения. Функции двух переменных и области их определения. График функции двух переменных.

Предел и непрерывность

До сих пор мы изучали совместное изменение двух переменных, из которых одна зависела от другой: значением независимой переменной уже вполне определялось значение зависимой переменной или функ ции. В инженерной практике нередки, однако, случаи, когда незави симых переменных оказывается несколько, и для определения значе ния функции необходимо предварительно установить значения, со вместно принимаемые всемиM62этими независимыми переменными.

1. Так, например, по закону Ома, напряжение U в цепи электри ческого тока связано с сопротивлением R цепи и с силой тока I зави симостью U RI . Если U и R считать данными, то отсюда определит ся I как функция от U и R:

I U . R

2. Пусть температура массы газа, находящегося под поршнем ци линдра, не постоянна: тогда объем V и давление P одного моля газа связаны с ее температурой Т, так называемой, формулой Клапейрона

PV RT (R const).

Отсюда, считая, например, V и Т независимыми переменными, функ цию P можно выразить через них так:

P RT .

V

3. Изучая физическое состояние какого нибудь тела, часто прихо дится наблюдать изменение его свойств от точки к точке. Таковы плот ность, температура, электрический потенциал и т. п. Все эти величины суть «функции точки» или, если угодно, функции от координат x, y, z точки. Если физическое состояние тела меняется во времени, то к этим

независимым переменным присоединяется еще и время, t. В этом слу чае мы имеем дело с функциями от четырех независимых переменных.

Уточнение понятия функции в случае нескольких независимых пе ременных начнем с простейшего случая, когда этих переменных две.

4.1.1. Функции двух переменных и области их определения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцией двух переменных называется прави ло, по которому каждой паре чисел (x, y) M соответствует число z L при условии, что любое число z L соответствует хотя бы одной паре (x, y) M.

x и y — независимые переменные, М — область определения функции, L — множество значений функции, z — зависимая перемен ная. Функциональная зависимость между z и x, y обозначается, анало гично случаю одной независимой переменной, так:

z f (x, y).

M62

Способы задания функции двух перемен ных — табличный и аналитический. При ана литическом способе задания область определе

ния функции часто не задается и ее приходит ся отыскивать. Например,

z 1 x2 y2 1 x2 y2 0 x2 y2 1.

Рис. 4.1

z arcsin(x2 y2 2);

1 x2 y2 2 1 1 x2 y2 3.

Так как каждой паре чисел x, y соответствует единственная точка плоскости P(x, y), то

функцию двух переменных можно рассматри

вать как функцию точки и писать z f (P).

Рис. 4.2

4.1.2. График функции двух переменных

Графиком функции двух переменных является в общем случае по верхность. Действительно, пусть G — область определения функции. Каждой точке P(x, y) из этой области соответствует единственная

200 Глава 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

точка M(x, y, z) некоторой поверхности, где z f (P) f (x, y). Проекция этой точки на плоскость XOY совпадает с Р.

Если поверхность является графиком функции двух переменных, то уравнение z f (x, y), определяющее эту поверхность, называется уравнением поверхности. Так, верхняя часть сферы x2 y2 z2 1 являет

4.1.3. Предел и непрерывность

Введем понятие окрестности точки. Для функции одной перемен ной под окрестностью точки понимается интервал, содержащий эту точку. При введении понятия предела для функции z f (x, y) окрест

ность точки определяется на плоскости XOY.

Окрестностью точки P0(x0, y0) называется множество всех внут ренних точек круга с центром в этой точке. 2 окрестностью будем на

M62

зывать круг радиуса 2 за исключением точек его границы.

Число А называется пределом функции двух переменных z f (x, y) f (P) при P P0, если 1 0 найдется такая 2 окрестность точки P0, что для любой точки P(x, y) из этой окрестности (за исклю чением, может быть, самой точки P0) имеет место неравенство

Здесь P(x, y) P(0, 0), т. е. + 0 (+ — расстояние от P(x, y) до начала координат). Но + x2 y2 .